2011-2012 - Gloria FACCANONI

Analyse
numérique
M43
USTV
L2
2011/2012
Recueil d’exercices corrigés
et aide-mémoire
G. FACCANONI
Dernière mise-à-jour
Jeudi 10 mai 2012

Avertissement : ces notes sont régulièrement mises à jour et corrigées, ne vous étonnez pas si vous découvrez des erreurs.
Merci de me les communiquer. Toutes les remarques ou questions permettant d’en améliorer la rédaction peuvent être en-
voyées à l’adresse [e-mail]
Gloria FACCANONI
IMATH Bâtiment U-318 T0033 (0)4 94 14 23 81
Université du Sud Toulon-Var
Avenue de l’université [e-mail]
83957 LA GARDE - FRANCE ihttp://faccanoni.univ-tln.fr
2

Table des matières
1. Résolution d’équations non linéaires 5
2. Interpolation 25
3. Quadrature 41
4. Systèmes linéaires 61
5. Équations différentielles ordinaires 85
Schémas numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
A. Rappels d’analyse et d’algèbre linéaire 105
A.1. Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
A.2. Primitives et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
A.3. Matrices et calcul pratique d’un déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A.4. Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
A.5. Équations différentielles d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3

1. Résolution d’équations non linéaires
Recherche de la solution de l’équation non linéaire f(x)=0 où fest une fonction donnée
Théorème des zéros d’une fonction continue
Soit une fonction continue f: [a,b]→R, si f(a)f(b)<0, alors il existe α∈]a,b[ tel que f(α)=0.
Méthode de dichotomie et méthode de LAGRANGE
Soit deux points a0et b0(avec a0<b0) d’images par fde signe contraire (i.e. f (a0)·f(b0)<0). En partant de I0=[a0,b0],
les méthodes de dichotomie et de LAGRANGE (appelée aussi Regula falsi) produisent une suite de sous-intervalles Ik=
[ak,bk], k≥0, avec Ik⊂Ik−1pour k≥1 et tels que f(ak)·f(bk)<0.
BDans la méthode de dichotomie, on découpe l’intervalle [ak;bk] en deux intervalles de même longueur, i.e. on divise
[ak;bk] en [ak;ck] et [ck;bk] où ckest
ck=ak+bk
2.
BDans la méthode de Lagrange, plutôt que de diviser l’intervalle [ak;bk] en deux intervalles de même longueur, on
découpe [ak;bk] en [ak;ck] et [ck;bk] où ckest l’abscisse du point d’intersection de la droite passant par (ak,f(ak))
et (bk,f(bk)) et l’axe des abscisses, i.e. le zéro de la fonction
g(c)=f(bk)−f(ak)
bk−ak
(c−ak)+f(ak)
qui est
ck=ak−bk−ak
f(bk)−f(ak)f(ak)=akf(bk)−bkf(ak) f(bk)−f(ak).
Dans les deux cas, pour l’itération suivante, on pose soit [ak+1;bk+1]=[ak;ck] soit [ak+1;bk+1]=[ck;bk] de sorte à ce que
f(ak+1)·f(bk+1)<0. Les algorithmes s’écrivent alors comme suit :
DICHOTOMIE :
Require: a,b,ε,f: [a,b]→R
k←0
ak←a
bk←b
xk←ak+bk
2
while |bk−ak|>εdo
if f(ak)f(xk)<0then
ak+1←ak
bk+1←xk
else
ak+1←xk
bk+1←bk
end if
xk+1←ak+1+bk+1
2
k←k+1
end while
LAGRANGE :
Require: a,b,ε,f: [a,b]→R
k←0
ak←a
bk←b
xk←ak−bk−ak
f(bk)−f(ak)f(ak)
while |bk−ak|>εdo
if f(ak)f(xk)<0then
ak+1←ak
bk+1←xk
else
ak+1←xk
bk+1←bk
end if
xk+1←ak+1−bk+1−ak+1
f(bk+1)−f(ak+1)f(ak+1)
k←k+1
end while
Remarque
Avec la méthode de la dichotomie, les itération s’achèvent à la m-ème étape quand |xm−α| ≤ |Im| < ε, où εest une
tolérance fixée et |Im|désigne la longueur de l’intervalle Im. Clairement Ik=b−a
2k, donc pour avoir une erreur |xm−α|<ε
5