Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4

École Normale Supérieure 24, rue Lhomond - 75231 PARIS CEDEX 05
LICENCE - MASTER DES SCIENCES DE LA PLANÈTE TERRE - L3 29 mars 2012
MATHÉMATIQUES - Examen partiel du 30 mars 2012
Durée de l’examen partiel : 2 heures. Tous les exercices sont indépendants. L’exercice 2 est probablement l’exercice exigeant
le plus de calculs. L’exercice 4 a pour objectif de montrer que la convergence de la méthode de Newton, pour résoudre
l’équation f(x) = 0, ne peut être que locale. C’est le seul exercice qui demande un peu d’analyse élémentaire. Jusqu’à
l’item 3.b la preuve se fait en quelques lignes - voire en deux lignes. La clarté de la rédaction sera évidemment prise en
compte. Les documents distribués sont autorisés.
Exercice 1
Soit la formule de Simpson
Zb
a
f(x)dx ≈b−a
6 f(a) + 4f(a+b 2) + f(b)!.
Montrer que cette formule d’intégration numérique est exacte pour tout polynôme de degré inférieur ou
égal à trois.
Exercice 2
Résoudre le système :
˙x=
−3 0 2
1−1 0
−2−1 0 
x,
sous la condition initiale x= (1,0,0)T.
Exercice 3
Trouver, par la méthode de Gauss sans stratégie de pivot, l’inverse de la matrice symétrique
M= a b
b c !,
en supposant que Mest inversible. On fait l’hypothèse que a6= 0.
Vérifier que MM−1=Iet en déduire le déterminant de la matrice M−1. Vérifier la valeur de ce déterminant
en le calculant directement avec l’expression de M−1.
N.B. : Soit une matrice A, il est faux d’écrire det(λA) = λdet(A)où λest un scalaire. Il est trivial de vérifier que
det(λA) = λ2det(A)si la matrice Aest d’ordre 2. L’exposant de λest celui de l’ordre de la matrice.
Exercice 4
Soit fune fonction d’un intervalle I= [a, b]dans Rde classe C2. On suppose que f(a)<0,f(b)>0et que
f′(x)>0pour tout x∈I. On veut trouver x∈Itel que f(x) = 0 par la méthode de Newton.
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MATHÉMATIQUES - Examen partiel du 30 mars 2012
1) a. Montrer que l’équation f(x) = 0 a une unique solution αdans I.
b. Soit x0∈I, déterminer l’abscisse du point d’intersection de l’axe des abscisses avec la tangente à f en x0.
2) On définit la fonction gpar :
g:x∈I7→ x−f(x)
f′(x)∈R(1)
a. Montrer que gest de classe C1.
b. Calculer g(α)et g′(α).
3) On suppose que f′est décroissante.
a. Dessiner le graphe d’une fonction fvérifiant toutes les conditions de l’énoncé. On pourra penser à la
fonction logarithme.
b. Soit la suite (xn)définie par x0=aet par xn+1 =g(xn)pour tout n∈N. Montrer que, pour tout n∈N,
⋄xn+1 est bien défini.
⋄xn+1 ≥xn.
⋄f(xn+1)−f(xn)
xn+1−xn≤f′(xn),puis que xn+1α.
⋄xn+1 ≤α.
Indication : On conseille d’utiliser le théorème des accroissements finis qui affirme que : si fest une fonction
réelle continue de l’intervalle fermé [a, b]dans R, dérivable sur l’intervalle ouvert ]a, b[, il existe un réel c
strictement compris entre aet btel que f′(c) = (f(b)−f(a))/(b−a).
c. Montrer que la suite (xn)converge vers α.
N.B. : La preuve précédente de la convergence de la méthode de Newton utilise, de façon essentielle, l’hypo-
thèse que f′est décroissante. On part de x0=aet la méthode de Newton converge. Dans le cas général, f′
n’est pas nécessairement décroissante et la démonstration précédente n’opère pas. Cependant, on prouve, par
le théorème de point fixe vu dans le cours, qu’en partant d’un point x0suffisamment proche de α, la méthode
de Newton converge. Comme g′(α) = 0, l’idée est qu’il existe un intervalle Jcentré en αtel que |g′(x)|<1
pour tout x∈J- ce qui exige de connaître la localisation de la solution α. Dès lors on peut appliquer le
théorème de point fixe à gdéfinie dans J, en partant d’un point x0∈J.
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