TRIGONOMETRIE I

1er S TRIGONOMETRIE
Objectifs : Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d’un angle orienté, mesure principale.
Déterminer les cosinus et les sinus d’angles associés.
Résoudre dans
!
les équations d’inconnue x : cos x = cos a et sin x = sin a.
I- Cercle trigonométrique, Radian
Rappel de 2nd
1) Cercle trigonométrique
Soit (O ; I, J) un repère orthonormal du plan.
Le cercle de centre O, de rayon OI = 1, d’origine I et de sens de parcours
positif (ou sens direct), est appelé cercle trigonométrique.
Par convention le sens direct correspond au sens inverse des aiguilles
d’une montre.
L’autre sens est alors appelé le sens indirect.
2) Le Radian
Le radian est une unité de mesure des angles proportionnelle au degré, de sorte qu’un angle plat (180°)
mesure π radians. On la note rad.
Un tour complet (360°) correspond à un angle mesurant
2 !
rad.
Lorsqu’un cercle a pour rayon R, la longueur de ce cercle est
2 ! R
Comme il y a proportionnalité entre longueur de l’arc et mesure de l’angle au centre qui l’intercepte, on
a :
→ un angle au centre de 1 radian intercepte un arc de longueur R (Fig.1)
→ un angle au centre de θ radians (avec θ∈[0 ; 2π]) intercepte un arc de longueur R×θ ( Fig2)
Fig. 1 Fig.2
Lorsque le cercle a pour rayon 1, la longueur de ce cercle est
2 !
→ un angle au centre de 1 radian intercepte un arc de longueur 1. (Fig.3)
→ un angle au centre de θ radians (avec θ∈[0 ; 2π]) intercepte un arc de longueur θ. (Fig.4)
Avec un cercle de rayon 1, c’est le même nombre θ qui donne à la fois longueur de l’arc et mesure
en radians de l’angle au centre qui l’intercepte.
Fig. 3 Fig.4

OI
JK
A
B
2
3
π
-1
-2
-3
-π
1
Exercice 1 : Compléter le tableau de conversion suivant :
Angle en
radians
0
Angle en
degrés
0
30
45
60
90
180
360
3) Cosinus et sinus d’un nombre réel
!"#$%&d)%'(%)*"#$+%$(,-+,$+%(.%/+*/'+%+,%01%2,%,"$+%3%'+%4"#,$%)+%/""*)",,5+6%
&7%8%791%%
2,% :.,#$% &d9% ).% *+4;*+% &0%8% 391% <+$$+% )*"#$+% *+4*56+,$+% '(% )*"#$+% )+6%
,":=*+6%*5+'61%
>+%/+*/'+%$*#-",":5$*#?.+%(%4".*%*(@",%7%)",/%6",%45*#:;$*+%+6$%5-('%A%
2 !
.%
π
%B%)(,6%'C.,#$5%)+%'",-.+.*%/D"#6#+B%+6$%'(%'",-.+.*%).%)+:#E/+*/'+% C 1%
!
FG,*".'",6F%&d9%6.*%'+%/+*/'+1%>+6%4"#,$6%)+%&d9%H#+,,+,$%+,%/"I,/#)+,/+%
(H+/%'+6%4"#,$6%).%/+*/'+1%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
GJ+:4'+%K%%%L%+6$%'+%4"#,$%)+%&d9%H5*#M#(,$%
IA
!
%N%πB%%%
>(%'",-.+.*%)+%
IJ
!
+6$%π
OB%%
IB
!
=3!
2
%%
P+:(*?.+%K%
IOJ
!
=90"=
!
2
rad
B%
IOA
!
=180"= !
%*()%B%
%%
L% ,Q#:4"*$+% ?.+'%
,":=*+% *5+'% xB% ",% 4+.$% M(#*+% /"**+64",)*+% .,%
4"#,$% 6.*% '+% /+*/'+% $*#-",":5$*#?.+% $+'% ?.+%
IOM
!
%N%x%*()1%%
Définition! K% !"#$% R% .,% 4"#,$% ).% /+*/'+%
$*#-",":5$*#?.+%%$+'%?.+%
IOM
!
%N%x%*()%%1%
Le!cosinus'de'x,!noté!cos'x,!est!l’abscisse!de!
M.!
Le!sinus'de'x,!noté!sin!x,!est!l’ordonnée!de!M.!
>(% tangente' de' x%B% ,"$5% $(,% x%B% +6$% )",,5% 4(*%
'Q(=6/#66+%)+%S%6.*%'Q(J+%&%0%S%9%+$%",%(%%$(,%x%
!!
%
$(,%x%N%
sin x
cos x
%4".*%$".$%x%
k
2
π
≠+π
B%T%
!!
%
GJ+:4'+6%K%/"6%U%N%7%%+$%%6#,%U%N%U%%8%%/"6%π%N%E7%%
+$%%6#,%π%N%U%%8%%/"6%π
O%N%U%%+$%%6#,%π O%N%71%
V*"4*#5$56%K%Pour!tout!x!réel,!!81!≤!cos!x!≤!1!;!!81!≤!sin!x!≤!1!!;!!cos²!x!+!sin²!x!!=!1!;%%
cos(8x)!=!cos!x!!!;!!sin(8x)!=!8!sin!x!;!!!cos(!x!+!2π)!=!cos!x!!!!;!!sin!(!x'+!2π)!=!sin!x!

Valeurs remarquables
x'en'
radian!
0!
π
6!
π
4!
π
3!
π
2!
x!en!
degré!
0!
30°!
45°!
60°!
90°!
cos!x!
1!
3
2!
2
2!
1
2!
0!
sin!x'
0!
1
2!
2
2!
3
2!
1!
Exercice 2 : a) Construire un cercle trigonométrique et placer sur ce cercle les points correspondant aux
nombres
!
4;5
!
6;"2
!
3;7
!
2; 5
!
b) Déterminer les valeurs exactes des cosinus et sinus des nombres précédents.
Exercice 3 : On considère
x!
"
2;
"
#
$
%&
'
(
et sin x =
3
4
. Déterminer la valeur exacte de cos x.
II- Mesure d’un angle orienté de vecteurs non nuls du plan
1) Mesures d’un angle de vecteurs non nuls du plan orienté
%
!"#+,$%%
!
u
%+$%
!
v
%)+.J%H+/$+.*6%%,",%,.'6%).%4'(,%
"*#+,$51%%
2,%/D"#6#$%.,%4"#,$%2%?.+'/",?.+%).%4'(,1%
0'%+J#6$+%)+.J%4"#,$6%.,#?.+6%LC%+$%WC%$+'6%?.+%
OA '
! "!!
=" u
%+$%
OB '
! "!!
=" v
1%
0'%+J#6$+%)+.J%4"#,$6%.,#?.+6%L%+$%W%#,$+*6+/$#",%
).%/+*/'+%$*#-",":5$*#?.+%)+%/+,$*+%2%(H+/%'+6%
)+:#E)*"#$+6%X2LC9%+$%X2WC91%
%
2,%,"$+% α %'(%'",-.+.*%(44(*$+,(,$%A%XU%8%OYX%)+%
'C(*/%).%/+*/'+%$*#-"1%4(*/".*.%)+%L%H+*6%W%)(,6%
'+%6+,6%4"6#$#M1%
%
%
2,%(44+''+%:+6.*+6%)+%'C(,-'+%"*#+,$5%)+%H+/$+.*6%
!
u,! v
( )
B%$".6%'+6%,":=*+6%
! = " +k#2 $ avec k%!
%
>G!%RG!ZPG!%[CZ\%L\]>G%2P0G\SG%[G%^G<SGZP!%!2\S%G\%PL[0L\!1%
%
!
%)56#-,+%'C+,6+:='+%)+6%,":=*+6%+,$#+*6%,5-($#M6B%4"6#$#M6%".%,.'1%
V(*%/"::")#$5B%",%/",M",)%'C(,-'+%+$%6+6%:+6.*+6%+$%",%5/*#$%
!
u,! v
( )
= ! +k"2 # avec k$"
%
%".%+,/"*+%
!
u,! v
( )
= ! +2k " , k#"
%
%".%+,/"*+%
!
u,! v
( )
! " !![2 # ]
%%
/+%?.#%6+%'#$%
!
u,! v
( )
/",-*.%A% α $:").'"%OY%
V(*M"#6B%",%5/*#$%6#:4'+:+,$%
!
u,! v
( )
= !
%6#-,#M#(,$%?.Cune%:+6.*+%)+%
!
u,! v
( )
%+6$% α %
Remarque :
AOB
!
= !

2) Mesure principale
V(*:#%$".$+6%'+6%:+6.*+6%)+%'C(,-'+%"*#+,$5%)+%H+/$+.*6%
!
u,! v
( )
%'(%6+.'+%?.#%(44(*$#+,$%A%'C#,$+*H(''+%
! " !;! "
] ]
%+6$%(44+'5+%:+6.*+%4*#,/#4('+1%
GJ+:4'+%K%4".*%$".$%H+/$+.*%
!
u
%,",%,.'%",%(%K%%
_%
!
u,! u
( )
=0+2k ! !,!k""
%
L#,6#B%U%8%OY%8%`Y%8%aOY%8%a
`Yb%6",$%)+6%:+6.*+6%)+%
!
u,! u
( )
B%%6(%:+6.*+%4*#,/#4('+%
+6$%U1%
%
_%
!
u,!! u
( )
=(!! u,! u)= " +2k " !,!k#"
%
L#,6#B%Y%8%cY%8%dY%8%aY%8%acY%8%a
dYb%6",$%)+6%:+6.*+6%)+%
!
u,!! u
( )
B%
6(%:+6.*+%4*#,/#4('+%+6$%Y1%
%
Exercice 4 : Déterminer la mesure principale des angles orientés
!
u,! v
( )
%)",$%.,+%:+6.*+%+6$%K%
(9%
37 !
6
% % =9%
202 !
3
% % /9%
89 !
12
%
%
3) Cosinus et sinus d’angle orienté
%
Si a et b sont deux mesures en radians d’un angle orienté
!
u,! v
( )
, alors%il existe un entier relatif k tel que
a = b + 2k%YB%(#,6#%%%%/"6%a%N%/"6%b$%%%%+$%%%%%%6#,%a%N%6#,%b1%
Définition : Le cosinus (ou le sinus) d’un angle orienté de vecteur est le cosinus (ou le sinus) de l’une
quelconque des mesures en radian de cet angle. On note cos
!
u,! v
( )
et sin
!
u,! v
( )
.
Exercice 5 : Construire un carré ABCD direct, et un triangle équilatéral ABE direct (à l’intérieur du
carré). Déterminer une mesure de
AD
! "!!
,AE
! "!!
( )
et de
CE
! "!!
,CB
! "!!
( )
; puis cos
AD
! "!!
,AE
! "!!
( )
; sin
AD
! "!!
,AE
! "!!
( )
.
III- Propriétés des angles orientés
1) Angle orienté et colinéarité
Propriété : Soient
u
!
et
v
!
sont des vecteurs non nuls.
•
u
!
et
v
!
sont colinéaires de même sens si et seulement si
!
u,! v
( )
= 0.
•
u
!
et
v
!
sont colinéaires de sens contraires si et seulement si
!
u,! v
( )
= Y.
2) Relation de Chasles
Théorème (admis) : Pour tous vecteurs non nuls
u
!
,v
!
et w
"!
, on a :
u
!
,v
!
( )
+v
!
,w
"!
( )
=u
!
,w
"!
( )
Conséquences*de*la*relation*de*Chasles*
!
u
%+$%
!
v
%)56#-,+,$%)+.J%H+/$+.*6%%,",%,.'6%).%4'(,%"*#+,$51%%
X7e%%
!
v,! u
( )
=!! u,! v
( )
%
%
Xce%%
!!
u,!! v
( )
=! u,! v
( )
%
%

XOe%
!
u,!! v
( )
=! u,! v
( )
+ "
%
%
X`e%
!!
u,! v
( )
=! u,! v
( )
+ "
%
%
GJ+*/#/+%f%K%!(/D(,$%?.+%
AB
! "!!
,AC
! "!!
( )
= !
1%[",,+*%.,+%:+6.*+%)+%
AB
! "!!
,CA
! "!!
( )
B%
AC
! "!!
,AB
! "!!
( )
B%
BA
! "!!
,CA
! "!!
( )
%+$%
AC
! "!!
,BA
! "!!
( )
%
3) Cosinus et sinus d’angles associés
Sur le cercle trigonométrique on place un point M tel que
(OI
! "!
, OM
! "!!
)
= x + 2k π et N, P, R symétriques de M par
rapport aux axes et au centre du cercle alors :
(OI
! "!
; ON
! "!!
)= -x +2k !
%
(OI
! "!
; OP
! "!!
)= ! -x +2k !
(OI
! "!
; OR
! "!!
)= ! +x +2k !
cos (-x) = cos x
sin (-x) = -sin x
tan (-x) = -tan x
cos (π+x) = -cos x
sin (π+x) = -sin x
tan (π+x) = tan x
cos (π-x) = -cos x
sin (π-x) = sin x
tan (π-x) = -tan x
cos (
2
π
+x) = -sin x
sin (
2
π
+x) = cos x
tan (
2
π
+x) = -
xtan
1
cos (
2
π
-x) = sin x
sin (
2
π
-x) = cos x
tan (
2
π
-x) =
xtan
1
Exercice 7 : On donne :
sin
!
12
=6"2
4
.Déterminer la valeur exacte de
cos
!
12
; puis en déduire les
valeurs exactes du sinus et du cosinus de
5 !
12 ;7
!
12 ;11
!
12
.
4) Equations trigonométriques
Equation du type cos x =cos a
Alors
x=a+2k !
x="a+2k !
#
$
%,k&!
Equation du type sin x = sin a
Alors
x=a+2k !
x= ! !a+2k !
"
#
$,k%!
Exercice 8 : a) Résoudre l’équation cos x =
!3
2
sur
!
, puis sur
! " ; "
] ]
.
b) Résoudre l’équation sin x =
2
2
sur
!
, puis sur
! " ; "
] ]
.