Matrices

Matrices
1 Questions de cours
1. Montrer que le produit matriciel est as-
sociatif.
2. Soient Eet Fdeux espaces vectoriels de
dimension finie, avec respectivement des
bases Bet B0. Montrer que pour tout
x∈E,
matB0(f(x)) = matB,B0(f) matB(x).
3. Montrer que toute matrice de Mn(K)
s’écrit de façon unique comme somme
d’une matrice symétrique et d’une ma-
trice antisymétrique.
2 Applications
1. Pour une matrice Aon note σ(A)la
somme de tous les termes de A. Soit J
la matrice dont tous les coefficients va-
lent 1. Montrer que pour toute matrice
A
JAJ =σ(A)J.
2. Donner une condition nécessaire et suff-
isante pour que le produit de deux matri-
ces symétriques soit encore symétrique.
3. Montrer que ((1,0,1),(0,1,0),(1,0,−1))
est une base de R3, et donner la matrice
de f: (x, y, z)7→ (z, y, x)dans cette
base.
3 Exercices
1. Soit f:Mn(K)→Knon constante,
telle que f(AB) = f(A)f(B)pour toutes
matrices Aet B.
Montrer que Aest inversible si et seule-
ment si f(A)6= 0.
2. On appelle matrice positive toute matrice
dont les coefficients sont tous positifs ou
nuls, et on note A>0.
Montrer que A>0si et seulement si
pour tout vecteur colonne X,X>0⇒
AX >0.
3. Soit A= (ai,j )∈Mn(C)àdiagonale
dominante,i.e
∀i, X
j6=i
|ai,j |<|ai,i|.
Montrer que Aest inversible.
4. Soient A, B ∈Mn(K)telles que AB =
A+B. Montrer que Aet Bcommutent.
1

5. Soit Nune matrice carrée. On dit que
Nest nilpotente s’il existe p∈Ntel que
Np= 0. Montrer que si Nest nilpotente,
alors I−Nest inversible. En déduire l’in-
verse de
1a b c
0 1 a b
0 0 1 a
0 0 0 1
6. Soit (Ai)16i6n2une base de Mn(C), et
soit X∈Mn,1(C)une matrice non
nulle. Montrer que (AiX)16i6nengendre
Mn,1(C).
7. Soient A, B, C ∈Mn(K)non nulles véri-
fiant
ABC = 0.
Montrer que deux au moins des matrices
A, B, C ne sont pas inversibles.
8. Soit Eun K-espace vectoriel de dimen-
sion 3, et soit f∈L(E)telle que f26= 0
et f3= 0. Montrer que dans une certaine
base de E, la matrice de fest
0 0 0
1 0 0
0 1 0 
9. Soient Aet Bdeux matrices carrées d’or-
dre 3telles que AB = 0. Montrer que
l’une des deux est de rang au plus 1.
2

4 Corrections
4.1 Applications
1. Un calcul explicite des coefficients de la matrice JAJ donne le résultat.
2. On remarque t(AB) = tBtA=BA. Donc AB est symétrique si et seulement si Aet B
commutent.
3. On remarque que
rg 
1 0 1
0 1 0
1 0 −1
= 3
et donc les trois vecteurs forment bien une base. On a alors
matB(f) = 
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
.
4.2 Exercices
1. On a f(0) = f(0)2et f(I) = f(I)2, et donc f(0), f(I)∈ {0,1}. Si on avait f(0) = 1, alors
pour toute A,
f(A) = f(A)f(0)
=f(A0)
= 1
ce qui contredit la non constance de f. On montre de même que f(I) = 1.
Soit Aune matrice inversible. Alors
f(A)f(A−1) = f(AA−1)
=f(In)
= 1
et donc f(A)6= 0.
Réciproquement, soit Aune matrice non inversible. On remarque que pour toute matrice
Béquivalente à A, on a f(A) = 0 si et seulement si f(B)=0.
Il suffit donc de trouver une matrice équivalente à Adont l’image par fest nulle. On sait
que l’équivalence est exactement le rang, et donc on cherche une matrice Bde même rang
que A.
3

Prenons Kr= 0Irg(A)
0 0 !. Alors Krest nilpotente, c’est-à-dire que pour un certain p,
Kp
r= 0. Donc f(Kr)=0. De plus, on voit que rg(Kr) = r, et donc Krest équivalente à
A.
2. On voit tout de suite que le produit de deux matrices positives est positif, d’où le sens
direct.
Pour le sens réciproque, on remarque que les vecteurs colonnes de la base canonique
e1, . . . , ensont positifs, et donc les vecteurs colonnes de A Ae1, . . . , Aenle sont aussi.
3. Supposons que les vecteurs colonnes de Asont liés :
∃λ1, . . . , λn∈C,∀i,
n
X
j=1
λjai,j = 0,
les λinon tous nuls. Soit ktel que |λk|= supi|λi|>0. On a alors à la ligne k
n
X
j=1
λjak,j = 0,
donc
ak,k =−X
j6=k
λj
λk
ak,j ,
et donc
|ak,k |6X
j6=k
|λj|
|λk||ak,j |
6X
j6=k
|ak,j |
D’où une contradiction.
4. On a AB =A+B, et donc I−A−B+AB =I, soit (In−A)(In−B) = I.
Donc I−Aest inversible, d’inverse I−B. Comme l’inverse à gauche et à droite sont
égaux, on a aussi (I−B)(I−A) = I, ce qui donne BA =B+A=A+B.
5. On a (I−N)×(I+N+· · · +Np−1) = I, et donc I−Nest inversible.
On a alors, en appelant Nla matrice
0−a−b−c
0 0 −a−b
0 0 0 −a
0 0 0 0
et Mla matrice de l’énoncé, M=I−N. On vérifie alors que Nest nilpotente, et on
trouve finalement
M−1=
1−a a2−b2−a3+ 2ab −c
0 1 −a a2−b2
0 0 1 −a
0 0 0 1
4

6. Soit Yun vecteur de Mn,1(C). Si on montre qu’il existe un endomorphisme de Cnqui
envoie Xsur Y, alors en décomposant la matrice de cet endomorphisme sur la base (Ai),
on aura le résultat.
(X)est libre, donc on peut la compléter en une base B= (X, e2, . . . , en)de Cn. On définit
fsur la base par f(X) = Yet f(ei) = 0, et c’est bon.
7. Si deux sont inversibles, on a trois cas
–Aet B: alors en multipliant à gauche par B−1A−1, on a C= 0. Non.
–Bet C: idem.
–Aet C: on multiplie à gauche par A−1et à droite par C−1, on trouve B= 0. Non.
8. On a f26= 0, donc il existe x∈Etel que f2(x)6= 0.
Posons e1=x,e2=f(x)et e3=f2(x).
On vérifie que la famille est libre, et donc est une base, et alors dans cette base, la matrice
de fest de la forme voulue.
9. Soient uet vles endomorphismes de R3associés à Aet B. On a donc u◦v= 0, donc
Im(v)⊆ker(u). De plus,
rg(v)=3−dim ker(v)6dim ker(u).
On a donc dim ker(u) + dim ker(v)>3, donc dim ker(u)>2ou dim ker(v)>2.
On a alors rg(u)61ou rg(v)61.
5