Topologie, analyse fonctionnelle

Pr´epa-agreg 2007-2008
Topologie, analyse fonctionnelle
I “Questions de cours”
1Tout ouvert born´e de Rest-il r´eunion finie d’intervalles ouverts?
2Montrer que l’ensemble des matrices orthogonales est un compact de Mn(R).
3Soit f:Rn→Rune application continue v´erifiant limkxk→∞ f(x) = +∞. Montrer
que fest minor´ee et atteint sa borne inf´erieure.
4Montrer qu’il existe un unique x∈[1; ∞[ v´erifiant x−4 = 3 sin 1
e−arctan(x) π.
5Soit Xun espace vectoriel norm´e, et soit Eun sous-espace vectoriel de Xde
dimension finie. Montrer que Eest ferm´e dans X.
6Soit D⊂Run ensemble d´enombrable. Montrer que R\Dest dense dans R.
7Soit Xun espace de Banach, et soit T∈ L(X) un op´erateur compact. Montrer
que Ker(T−Id) est de dimension finie.
8Soit (K, d) un espace m´etrique compact. Montrer que l’ensemble des fonctions
lipschitziennes est dense dans C(K, R).
9Soit (fn) une suite de fonctions de classe C1sur [0; 1], telle que fn(0) = 0 et
R1
0|f0
n(t)|2dt ≤1 pour tout n∈N. Montrer que (fn) poss`ede une sous-suite uni-
form´ement convergente.
10 Soit Hun espace de Hilbert, et soit Eun sous-espace vectoriel de H. Montrer
que Eest dense dans Hsi et seulement si E⊥={0}.
II Exercices courts
Exercice 1 Soit Eun espace topologique s´epar´e et soit (xn)n∈Nune suite d’´elements
de E, convergente vers a∈E. Montrer que S={xn;∈N}∪{a}est compact.
Exercice 2 Soit (X, d) un espace m´etrique, et soit Aune partie non vide de X.
Pour x∈X, on pose d(x, A) = inf{d(x, u); u∈A}. Montrer que l’application
x7→ d(x, A) est 1-lipschitzienne.
Exercice 3 Soit Xun espace topologique s´epar´e.
1Montrer que si K1, K2sont deux compacts de Xtels que K1∩K2=∅, alors il
existe deux ouverts V1, V2tels que Ki⊂Viet V1∩V2=∅.
1

2
2Montrer que si Xest un espace m´etrique, le mˆeme r´esultat vaut pour des ferm´es
K1, K2.
Exercice 4 Soient E, E0deux espaces m´etriques, fune application continue de E
dans E0,Kune partie compacte de E. On suppose que la restriction f|Kde f`a K
est injective et que pour tout x∈K, il existe un voisinage ouvert Vxde xdans E
tel que la restriction f|Vxde f`a Vxsoit injective. Prouver que dans ces conditions il
existe un voisinage de Ude Kdans Etel que la restriction de f`a Usoit injective.
Exercice 5 Montrer que tout espace m´etrique compact est s´eparable.
Exercice 6 Soit Xun espace topologique, et soit C(X) l’alg`ebre des fonctions con-
tinues f:X→R. Pour f∈ C(X), on pose Z(f) = {x∈X;f(x) = 0}. D’autre
part, on dit qu’une fonction e∈ C(X) est un idempotent de C(X) si e2=e. Mon-
trer que l’application e7→ Z(e) est une bijection de l’ensemble des idempotents de
C(X) sur l’ensemble des parties ouvertes et ferm´ees de X. Donner une CNS pour la
connexit´e de Xportant sur les idempotents de C(X).
Exercice 7 (Suite d´ecroissante de compacts connexes)
D´efinition g´en´erale: Soit Xun ensemble. Un pr´efiltre sur Xest une famille Ede
parties de Xayant les propri´et´es suivantes: toute intersection finie d’´el´ements de E
est non vide et pour tous A, B ∈ E, il existe C∈ E, C ⊂A∩B.
1On suppose que Xest un espace topologique et que tous les ´el´ements du pr´efiltre E
sont des compacts connexes. Montrer que leur intersection est un compact connexe.
2Soit (Kn) une suite d´ecroissante de compacts connexes d’un espace topologique X.
Montrer que ∩nKnest connexe.
3Le r´esultat de 2est-il encore valable si les Knsont seulement suppos´es ferm´es?
Exercice 8 (th´eor`emes de Dini)
Soit Kun espace topologique compact, et soit (fn) une suite de fonctions, fn:K→
R. On suppose que la suite (fn) converge simplement vers une fonction f:K→R.
Montrer que dans chacun des deux cas suivants, la convergence est uniforme.
aLa suite (fn) est croissante, et les fonctions fet fnsont continues.
bK= [0; 1], les fonctions fnsont croissantes, et la fonction fest continue.
Exercice 9 Montrer que GLn(C) est un ouvert connexe et dense de Mn(C).
Exercice 10 Soient Xun espace vectoriel norm´e, Eun sous-espace vectoriel ferm´e
de X, et x0∈X.
1Montrer que si Fest de dimension finie, alors il existe un point u∈Etel que
kx0−uk=d(x0, E). Y a-t-il toujours unicit´e de ce point u?

3
2Que peut-on dire si dim(F) = ∞?
Exercice 11 Dans chacun des cas suivants, montrer que l’espace vectoriel norm´e E
est complet.
1Eest l’espace des fonctions lipschitzienne f: [0; 1] →R, et kfk=kfk∞+
supx6=y
|f(x)−f(y)|
|x−y|.
2E={x= (xn)n∈N∈RN;P∞
0|xn|<∞} et kxk=P∞ 0|xn|.
3Eest l’espace des fonctions continues f:R+→Radmettant une limite finie en
+∞, et kfk= supx∈R+|f(x)|.
Exercice 12 Soit `1:= {x= (xn)n∈N∈RN;P∞
0|xn|<∞}, muni de sa norme
naturelle. On pose K={x∈`1;∀n∈N|xn| ≤ 2−n}. Montrer que Kest un
compact de `1.
Exercice 13 Soit Xun espace de Banach.
1Montrer que si u∈ L(X) v´erifie kuk<1, alors Id −uest inversible, avec de plus
k(Id −u)−1k ≤ (1 − kuk)−1.
2Montrer que l’ensemble des op´erateurs inversibles est un ouvert de L(X).
Exercice 14 Soient X,Ydeux espaces de Banach, et soit T∈ L(X, Y ). Montrer
que les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes.
(1) Il existe une constante c > 0 telle que kT(x)k ≥ ckxkpour tout x∈X.
(2) Test injectif et `a image ferm´ee.
Exercice 15 Soient Xet Ydeux espaces vectoriels norm´es, et soit (Tn) une suite
dans L(X, Y ). On fait les hypoth`eses suivantes.
(a) supnkTnk<∞.
(b) Il existe une partie dense D⊂Xtelle que Tn(z)→0 pour tout z∈D.
Montrer que Tn(x)→0 pour tout x∈X.
Exercice 16 (normes matricielles subordonn´ees)
1Si k.kest une norme sur Rn, on note ||| .||| la norme subordonn´ee sur Mn(R).
D´eterminer ||| .||| dans les cas suivants.
akxk=Pn
1|xi|.
bkxk= supi|xi|.
ck.kest la norme euclidienne.
2Pour A= (aij)∈Mn(C), on pose kAk2
2=X
1≤i,j≤n
|aij|2.Montrer que k.k2est une
norme sur Mn(C), et qu’elle est sous-multiplicative (kABk2≤ kAk2kBk2,). Est-elle
subordonn´ee `a une norme sur Cn?

4
Exercice 17 (normes de formes lin´eaires)
1Soit El’espace vectoriel des polynˆomes d’une variable r´eelle x, muni de la norme
k.k∞d´efinie par kPk∞= max0≤x≤1|P(x)|. Pour a∈R, on note Φa:E→R
la forme lin´eaire d´efinie par Φa(P) = P(a). D´eterminer pour quels a∈Rla forme
lin´eaire Φaest continue, et calculer kΦakdans ce cas.
2Soit E=C([0; 1],R), muni de la norme de la convergence uniforme. Soit (an)n≥1
une suite dense dans [0,1], par exemple Q∩[0,1] convenablement num´erot´e. Montrer
que la forme lin´eaire φd´efinie par
φ(f) =
∞
X
n=1
(−1)n
2nf(an)
est continue sur E, avec kφk= 1.
3Soit toujours E=C([0,1],R). Soit φ:E→Rla forme lin´eaire d´efinie par
φ(f) = Z1
2
0
f(t)dt −Z1
1
2
f(t)dt.
Montrer que φest continue, calculer sa norme et montrer que cette norme n’est pas
atteinte, i.e. il n’existe aucune f∈Etelle que kfk= 1 et |φ(f)|=kφk.
Exercice 18 (applications du th´eor`eme du point fixe)
ASoit f: ]0; ∞[→]0; ∞[ une application de classe C1v´erifiant |f0(x)| ≤ f(x)
2xpour
tout x > 0.
1Montrer que ∀x, y |Logf(x)−Logf(y)| ≤ 1
2|Log(x)−Log(y)|.
2Montrer que fposs`ede un unique point fixe.
BSoient λ, µ ∈Rv´erifiant k2:= λ2+µ2<1. Montrer que pour tout (a, b)∈R2le
syst`eme d’´equations
x+λcos x+µsin y=a
y−λsin x+µcos y=b
poss`ede une unique solution (x, y)∈R2.
CSoit φ: [0; 1] →[0; 1] une fonction continue non identiquement ´egale `a 1.
1On pose k=R1
0φ(t)dt. Montrer que k < 1.
2Montrer que pour tout α∈R, il existe une unique fonction f∈ C1([0; 1],R)
v´erifiant f(0) = αet f0(x) = f(φ(x)) pour tout x∈[0; 1].
Exercice 19 Soit (E, d) un espace m´etrique complet, et soit f:E→Eune appli-
cation v´erifiant
∀x, y ∈E x 6=y d(f(x), f(y)) < d(x, y).
1Peut-on affirmer que fposs`ede un point fixe?
2Que peut-on dire si Eest compact?

5
Exercice 20 Montrer que toute fonction continue f: [0; 1] →[0; 1] poss`ede un point
fixe, et de mˆeme pour toute fonction croissante f: [0; 1] →[0; 1].
Exercice 21 (lemme d’Osgood)
1Soit Xun espace m´etrique complet, et soit Fune famille de fonctions continues
sur X, `a valeurs r´eelles, ayant la propri´et´e suivante: pour tout x∈Xil existe une
constante Mx≥0 telle que
∀f∈ F |f(x)| ≤ Mx.
Montrer qu’il existe alors un ouvert non vide Ω ⊂Xet une constante M≥0 telle
que |f(x)| ≤ Mpour tout x∈Ω et tout f∈ F.
2´ Enoncer et d´emontrer le th´eor`eme de Banach-Steinhaus.
Exercice 22 Montrer que R[X] n’est complet pour aucune norme. On pourra poser
Fn={P∈R[X]; deg(P)≤n}.
III Mini-probl`emes
Probl`eme 1 (espaces bien enchain´es)
AComment d´emontre-t-on que dans un espace vectoriel norm´e, tout ouvert connexe
est connexe par arcs?
BSoit (X, d) un espace m´etrique. Pour ε > 0 donn´e, on appelle ε-chaine dans X
toute suite finie (x0, . . . , xN)⊂Xtelle que d(xi, xi+1)< ε pour tout i<N. On dit
que Xest bien enchain´e si pour tout ε > 0, deux points quelconques a, b ∈Xpeuvent
toujours ˆetre reli´es par une ε-chaine, i.e. on peut trouver une ε-chaine (x0, . . . , xN)
avec x0=aet xN=b.
1Montrer que si l’espace m´etrique Xest connexe, alors il est bien enchain´e.
2Montrer que si (X, d) est compact et bien enchain´e, alors Xest connexe.
3Que peut-on dire si Xn’est pas compact?
CSoit (E, d) un espace m´etrique, et soit ε > 0. On suppose que Eest recouvert
par des boules ouvertes B1, . . . , BKde rayon ε. Montrer que pour toute ε-chaine
(x0, . . . , xN)⊂E, on peut trouver une ε-chaine (x0
0, . . . , x0
2K) de longueur 2K+ 1
ayant les mˆemes extr´emit´es, avec x0
i∈ {x0;. . . ;xN}pour tout i.
DSoit (E, d) un espace m´etrique compact, et soit (xn) une suite de points de E. On
suppose qu’on a limn→∞ d(xn, xn+1) = 0.
1Soient a, b deux valeurs d’adh´erences de la suite (xn), et soit ε > 0. Montrer qu’on
peut trouver M∈N∗tel que la propri´et´e suivante ait lieu: pour tout n∈N, on peut
trouver une ε-chaine de la forme (a, xn,0, . . . , xn,M , b) avec xn,i ∈ {xk;. . . k > n}pour
tout i∈ {0, . . . ;M}.