Topologie, analyse fonctionnelle

Prépa-agreg 2007-2008
Topologie, analyse fonctionnelle
I “Questions de cours”
1 Tout ouvert borné de R est-il réunion finie d’intervalles ouverts?
2 Montrer que l’ensemble des matrices orthogonales est un compact de Mn (R).
3 Soit f : Rn → R une application continue vérifiant limkxk→∞ f (x) = +∞. Montrer
que f est minorée et atteint sa borne inférieure.
arctan(x)
1
.
4 Montrer qu’il existe un unique x ∈ [1; ∞[ vérifiant x − 4 = 3 sin e −
π
5 Soit X un espace vectoriel normé, et soit E un sous-espace vectoriel de X de
dimension finie. Montrer que E est fermé dans X.
6 Soit D ⊂ R un ensemble dénombrable. Montrer que R \ D est dense dans R.
7 Soit X un espace de Banach, et soit T ∈ L(X) un opérateur compact. Montrer
que Ker(T − Id) est de dimension finie.
8 Soit (K, d) un espace métrique compact. Montrer que l’ensemble des fonctions
lipschitziennes est dense dans C(K, R).
9
(fn ) une suite de fonctions de classe C 1 sur [0; 1], telle que fn (0) = 0 et
R 1Soit
|fn0 (t)|2 dt ≤ 1 pour tout n ∈ N. Montrer que (fn ) possède une sous-suite uni0
formément convergente.
10 Soit H un espace de Hilbert, et soit E un sous-espace vectoriel de H. Montrer
que E est dense dans H si et seulement si E ⊥ = {0}.
II Exercices courts
Exercice 1 Soit E un espace topologique séparé et soit (xn )n∈N une suite d’élements
de E, convergente vers a ∈ E. Montrer que S = {xn ; ∈ N} ∪ {a} est compact.
Exercice 2 Soit (X, d) un espace métrique, et soit A une partie non vide de X.
Pour x ∈ X, on pose d(x, A) = inf{d(x, u); u ∈ A}. Montrer que l’application
x 7→ d(x, A) est 1-lipschitzienne.
Exercice 3 Soit X un espace topologique séparé.
1 Montrer que si K1 , K2 sont deux compacts de X tels que K1 ∩ K2 = ∅, alors il
existe deux ouverts V1 , V2 tels que Ki ⊂ Vi et V1 ∩ V2 = ∅.
1
2
2 Montrer que si X est un espace métrique, le même résultat vaut pour des fermés
K1 , K2 .
Exercice 4 Soient E, E 0 deux espaces métriques, f une application continue de E
dans E 0 , K une partie compacte de E. On suppose que la restriction f|K de f à K
est injective et que pour tout x ∈ K, il existe un voisinage ouvert Vx de x dans E
tel que la restriction f|Vx de f à Vx soit injective. Prouver que dans ces conditions il
existe un voisinage de U de K dans E tel que la restriction de f à U soit injective.
Exercice 5 Montrer que tout espace métrique compact est séparable.
Exercice 6 Soit X un espace topologique, et soit C(X) l’algèbre des fonctions continues f : X → R. Pour f ∈ C(X), on pose Z(f ) = {x ∈ X; f (x) = 0}. D’autre
part, on dit qu’une fonction e ∈ C(X) est un idempotent de C(X) si e2 = e. Montrer que l’application e 7→ Z(e) est une bijection de l’ensemble des idempotents de
C(X) sur l’ensemble des parties ouvertes et fermées de X. Donner une CNS pour la
connexité de X portant sur les idempotents de C(X).
Exercice 7 (Suite décroissante de compacts connexes)
Définition générale: Soit X un ensemble. Un préfiltre sur X est une famille E de
parties de X ayant les propriétés suivantes: toute intersection finie d’éléments de E
est non vide et pour tous A, B ∈ E, il existe C ∈ E, C ⊂ A ∩ B.
1 On suppose que X est un espace topologique et que tous les éléments du préfiltre E
sont des compacts connexes. Montrer que leur intersection est un compact connexe.
2 Soit (Kn ) une suite décroissante de compacts connexes d’un espace topologique X.
Montrer que ∩n Kn est connexe.
3 Le résultat de 2 est-il encore valable si les Kn sont seulement supposés fermés?
Exercice 8 (théorèmes de Dini)
Soit K un espace topologique compact, et soit (fn ) une suite de fonctions, fn : K →
R. On suppose que la suite (fn ) converge simplement vers une fonction f : K → R.
Montrer que dans chacun des deux cas suivants, la convergence est uniforme.
a La suite (fn ) est croissante, et les fonctions f et fn sont continues.
b K = [0; 1], les fonctions fn sont croissantes, et la fonction f est continue.
Exercice 9 Montrer que GLn (C) est un ouvert connexe et dense de Mn (C).
Exercice 10 Soient X un espace vectoriel normé, E un sous-espace vectoriel fermé
de X, et x0 ∈ X.
1 Montrer que si F est de dimension finie, alors il existe un point u ∈ E tel que
kx0 − uk = d(x0 , E). Y a-t-il toujours unicité de ce point u?
3
2 Que peut-on dire si dim(F ) = ∞?
Exercice 11 Dans chacun des cas suivants, montrer que l’espace vectoriel normé E
est complet.
1 E est l’espace des fonctions lipschitzienne f : [0; 1] → R, et kf k = kf k∞ +
(y)|
supx6=y |f (x)−f
.
|x−y|
P
P∞
2 E = {x = (xn )n∈N ∈ RN ; ∞
0 |xn | < ∞} et kxk =
0 |xn |.
3 E est l’espace des fonctions continues f : R+ → R admettant une limite finie en
+∞, et kf k = supx∈R+ |f (x)|.
P∞
Exercice 12 Soit `1 := {x = (xn )n∈N ∈ RN ;
0 |xn | < ∞}, muni de sa norme
naturelle. On pose K = {x ∈ `1 ; ∀n ∈ N |xn | ≤ 2−n }. Montrer que K est un
compact de `1 .
Exercice 13 Soit X un espace de Banach.
1 Montrer que si u ∈ L(X) vérifie kuk < 1, alors Id − u est inversible, avec de plus
k(Id − u)−1 k ≤ (1 − kuk)−1 .
2 Montrer que l’ensemble des opérateurs inversibles est un ouvert de L(X).
Exercice 14 Soient X, Y deux espaces de Banach, et soit T ∈ L(X, Y ). Montrer
que les propriétés suivantes sont équivalentes.
(1) Il existe une constante c > 0 telle que kT (x)k ≥ c kxk pour tout x ∈ X.
(2) T est injectif et à image fermée.
Exercice 15 Soient X et Y deux espaces vectoriels normés, et soit (Tn ) une suite
dans L(X, Y ). On fait les hypothèses suivantes.
(a) supn kTn k < ∞.
(b) Il existe une partie dense D ⊂ X telle que Tn (z) → 0 pour tout z ∈ D.
Montrer que Tn (x) → 0 pour tout x ∈ X.
Exercice 16 (normes matricielles subordonnées)
1 Si k . k est une norme sur Rn , on note ||| . ||| la norme subordonnée sur Mn (R).
DéterminerP
||| . ||| dans les cas suivants.
a kxk = n1 |xi |.
b kxk = supi |xi |.
c k . k est la norme euclidienne.
X
2 Pour A = (aij ) ∈ Mn (C), on pose kAk22 =
|aij |2 . Montrer que k . k2 est une
1≤i,j≤n
norme sur Mn (C), et qu’elle est sous-multiplicative (kABk2 ≤ kAk2 kBk2 ,). Est-elle
subordonnée à une norme sur Cn ?
4
Exercice 17 (normes de formes linéaires)
1 Soit E l’espace vectoriel des polynômes d’une variable réelle x, muni de la norme
k . k∞ définie par kP k∞ = max0≤x≤1 |P (x)|. Pour a ∈ R, on note Φa : E → R
la forme linéaire définie par Φa (P ) = P (a). Déterminer pour quels a ∈ R la forme
linéaire Φa est continue, et calculer kΦa k dans ce cas.
2 Soit E = C([0; 1], R), muni de la norme de la convergence uniforme. Soit (an )n≥1
une suite dense dans [0, 1], par exemple Q∩[0, 1] convenablement numéroté. Montrer
que la forme linéaire φ définie par
∞
X
(−1)n
φ(f ) =
f (an )
2n
n=1
est continue sur E, avec kφk = 1.
3 Soit toujours E = C([0, 1], R). Soit φ : E → R la forme linéaire définie par
Z 1
Z 1
2
f (t)dt −
f (t)dt.
φ(f ) =
0
1
2
Montrer que φ est continue, calculer sa norme et montrer que cette norme n’est pas
atteinte, i.e. il n’existe aucune f ∈ E telle que kf k = 1 et |φ(f )| = kφk.
Exercice 18 (applications du théorème du point fixe)
A Soit f : ]0; ∞[→]0; ∞[ une application de classe C 1 vérifiant |f 0 (x)| ≤
tout x > 0.
1 Montrer que ∀x, y |Logf (x) − Logf (y)| ≤ 12 |Log(x) − Log(y)|.
2 Montrer que f possède un unique point fixe.
f (x)
2x
pour
B Soient λ, µ ∈ R vérifiant k 2 := λ2 + µ2 < 1. Montrer que pour tout (a, b) ∈ R2 le
système d’équations
x + λ cos x + µ sin y = a
y − λ sin x + µ cos y = b
possède une unique solution (x, y) ∈ R2 .
C Soit φ : [0; 1] R→ [0; 1] une fonction continue non identiquement égale à 1.
1
1 On pose k = 0 φ(t)dt. Montrer que k < 1.
2 Montrer que pour tout α ∈ R, il existe une unique fonction f ∈ C 1 ([0; 1], R)
vérifiant f (0) = α et f 0 (x) = f (φ(x)) pour tout x ∈ [0; 1].
Exercice 19 Soit (E, d) un espace métrique complet, et soit f : E → E une application vérifiant
∀x, y ∈ E x 6= y d(f (x), f (y)) < d(x, y) .
1 Peut-on affirmer que f possède un point fixe?
2 Que peut-on dire si E est compact?
5
Exercice 20 Montrer que toute fonction continue f : [0; 1] → [0; 1] possède un point
fixe, et de même pour toute fonction croissante f : [0; 1] → [0; 1].
Exercice 21 (lemme d’Osgood)
1 Soit X un espace métrique complet, et soit F une famille de fonctions continues
sur X, à valeurs réelles, ayant la propriété suivante: pour tout x ∈ X il existe une
constante Mx ≥ 0 telle que
∀f ∈ F |f (x)| ≤ Mx .
Montrer qu’il existe alors un ouvert non vide Ω ⊂ X et une constante M ≥ 0 telle
que |f (x)| ≤ M pour tout x ∈ Ω et tout f ∈ F.
2 Énoncer et démontrer le théorème de Banach-Steinhaus.
Exercice 22 Montrer que R[X] n’est complet pour aucune norme. On pourra poser
Fn = {P ∈ R[X]; deg(P ) ≤ n}.
III Mini-problèmes
Problème 1 (espaces bien enchainés)
A Comment démontre-t-on que dans un espace vectoriel normé, tout ouvert connexe
est connexe par arcs?
B Soit (X, d) un espace métrique. Pour ε > 0 donné, on appelle ε-chaine dans X
toute suite finie (x0 , . . . , xN ) ⊂ X telle que d(xi , xi+1 ) < ε pour tout i < N . On dit
que X est bien enchainé si pour tout ε > 0, deux points quelconques a, b ∈ X peuvent
toujours être reliés par une ε-chaine, i.e. on peut trouver une ε-chaine (x0 , . . . , xN )
avec x0 = a et xN = b.
1 Montrer que si l’espace métrique X est connexe, alors il est bien enchainé.
2 Montrer que si (X, d) est compact et bien enchainé, alors X est connexe.
3 Que peut-on dire si X n’est pas compact?
C Soit (E, d) un espace métrique, et soit ε > 0. On suppose que E est recouvert
par des boules ouvertes B1 , . . . , BK de rayon ε. Montrer que pour toute ε-chaine
(x0 , . . . , xN ) ⊂ E, on peut trouver une ε-chaine (x00 , . . . , x02K ) de longueur 2K + 1
ayant les mêmes extrémités, avec x0i ∈ {x0 ; . . . ; xN } pour tout i.
D Soit (E, d) un espace métrique compact, et soit (xn ) une suite de points de E. On
suppose qu’on a limn→∞ d(xn , xn+1 ) = 0.
1 Soient a, b deux valeurs d’adhérences de la suite (xn ), et soit ε > 0. Montrer qu’on
peut trouver M ∈ N∗ tel que la propriété suivante ait lieu: pour tout n ∈ N, on peut
trouver une ε-chaine de la forme (a, xn,0 , . . . , xn,M , b) avec xn,i ∈ {xk ; . . . k > n} pour
tout i ∈ {0, . . . ; M }.
6
2 Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite (xn ) est connexe.
E Soit E un espace métrique, et soit (Kn )n∈N une suite
T décroissante de compacts
connexes de E. Utiliser B et C pour montrer que K = n∈N Kn est connexe.
F Démontrer directement les résultats de D2 et E (!).
Problème 2 Soit (E, d) un espace métrique compact. On munit l’espace C(E, E) de
la topologie de la convergence uniforme et on considère l’ensemble G des isométries
de E dans E.
1a Soit a ∈ E et f ∈ G. Montrer que la suite (f n (a))n∈N admet a pour valeur
d’adhérence (f n = f ◦ · · · ◦ f ).
1b En déduire que toute isométrie f : E → E est bijective. Ce résultat serait-il vrai
avec un espace E non compact?
2 Montrer que G est un compact de C(E, E).
Problème 3 (idéaux de C(K))
Si K est un espace topologique, on note C(K) l’algèbre des fonctions continues f :
K → R.
1 Soient f1 , f2 , · · · , fn ∈ C(K). On suppose que les fi n’ont pas de zéros communs: ∩ni=1 fi−1 (0) = ∅. Montrer qu’on peut trouver u1 , . . . , un ∈ C(K) telles que
u1 (x)f1 (x) + u2 (x)f2 (x) + · · · un (x)fn (x) = 1 pour tout x ∈ K. Que peut on dire de
l’idéal engendré par les fi dans C(K) ?
2 Soit I un idéal de C(K).
a On suppose K compact. Montrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour
que I = C(K) est ∩f ∈I f −1 (0) = ∅.
b Montrer par un contre-exemple que si K n’est pas compact, cette condition n’est
plus suffisante .
3 On suppose K compact. Pour a ∈ K on pose Ia = {f ∈ C(K); f (a) = 0}.
a Montrer que Ia est un idéal maximal de C(K).
b Montrer que tout idéal maximal de C(K) est du type Ia .
Problème 4 (Théorème de Korovkin; polynômes de Bernstein)
Soit E = C([0, 1], R) muni de la norme k . k∞ . On dit qu’une application linéaire
u : E → E est un opérateur positif si:
f ∈ E, f ≥ 0 ⇒ u(f ) ≥ 0.
1 Montrer que tout opérateur positif est continu.
2 Soit f ∈ E, et soit ε > 0. Montrer qu’il existe c > 0 tel que pour tout (x, y) ∈ [0, 1]2 :
|f (x) − f (y)| ≤ + c(y − x)2 .
7
3 Pour tout k ∈ N, on note ek l’élément de E, ek (x) = xk . Soit (un )n∈N ∈ L(E)N
une suite d’opérateurs positifs. On suppose que (un (ek ))n≥0 converge vers ek dans E
pour k = 0, 1, 2. Montrer que pour tout f ∈ E, (un (f ))n converge vers f dans E.
4 Pour toute fonction f : [0; 1] → R, on définit des polynômes Bn f , n ∈ N par la
formule
n
X
k
k
Bn f (x) =
Cn f
xk (1 − x)n−k .
n
k=0
Déduire de ce qui précède que pour toute fonction continue f : [0; 1] → R, les
polynômes Bn f convergent uniformément vers f sur [0; 1].
Problème 5 (mauvaise approximation)
Soit X un espace de Banach de dimension infinie, et soit (en )n∈N une suite de vecteurs
de X linéairement indépendants. On pose E0 = {0} et En = V ect{x1 ; . . . ; n} pour
n ≥. Enfin, soit (αn )n∈N une suite décroissante de nombres strictement positifs
tendant vers 0.
1 Soit k ∈ N. Montrer que si z ∈ X et si α ≥ d(z, Ek+1 ), alors on peut trouver λ ∈ R
tel que d(z + λek+1 , Ek ) = α.
2 Montrer que pour tout n ∈ N, on peut trouver un vecteur xn ∈ En+1 tel que
d(xn , Ek ) = αk pour tout k ∈ {0; . . . ; n} et kxn k = α0 .
3 Soit A = {xn ; n ∈ N}. Montrer que pour tout ε > 0, il existe un sous-espace de
dimension finie E ⊂ X tel que A ⊂ {x; d(x, E) < ε}. En déduire que A est une
partie relativement compacte de X.
4 Montrer qu’il existe un vecteur x ∈ X tel que d(x, En ) = αn pour tout n ∈ N.
Problème 6 Soit E = C([0 ; 1]), muni de la norme k . k∞ . Pour f ∈ E, on définit
T f ∈ E par
Z x
T f (x) =
f (t) dt .
0
1 Montrer que T est linéaire continue, et calculer kT k.
n
2 Montrer que ∀n ∈ N ∀x ∈ [0 ; 1] |T n f (x)| ≤ xn! kf k∞ . En déduire la valeur de
kT n k, n ∈ N.
1 1/|λ|
3 Montrer que pour tout λ 6= 0, λId − T est inversible et k(λId − T )−1 k ≤ |λ|
e
.
Que peut-on dire pour λ = 0?
Problème 7 (formule du rayon spectral)
1 Soit (αn )n∈N une suite de réels positifs telle que αm+n ≤ αm αn pour tous entiers
1/n
1/n
m et n. Montrer que la suite (αn ) converge vers inf n>0 αn .
2a Déduire de 1 que pour toute matrice A ∈ Md (C) et pour toute norme faisant de
8
Md (C) une algèbre normée (i.e. kABk ≤ kAk kBk), la suite (kAn k1/n ) est convergente.
2b Montrer que si k . k est une norme quelconque sur Md (C), alors la suite (kAn k1/n )
est convergente, et sa limite est indépendante de k . k. On note cette limite ρ(A).
3a Soit A ∈ Md (C). Montrer que si λ ∈ C est une valeur propre de A, alors
|λ| ≤ ρ(A).
3b Soit A ∈ Md (C). On suppose que toutes les valeurs propres de A sont de module
strictement inférieur à 1. En utilisant la décomposition D + N , montrer que An → 0
quand n → ∞. En déduire que ρ(A) < 1.
3c On note σ(A) l’ensemble des valeurs propres d’une matrice A. Montrer que pour
toute matrice A ∈ Md (C), on a
ρ(A) = sup{|λ|; λ ∈ σ(A)} .
Problème 8 (Théorème de Stampacchia)
Dans tout l’exercice, H est un espace de Hilbert réel, et a : H × H → R est une
forme bilinéaire. On suppose que a est continue, et qu’il existe une constante c > 0
telle que
∀x ∈ H a(x, x) ≥ c kxk2 .
On fixe également une forme linéaire continue Φ : H → R, et un convexe fermé non
vide K ⊂ H. Le but de l’exercice est d’établir le résultat suivant: il existe un unique
u ∈ K tel que
(1)
∀h ∈ K a(u, h − u) ≥ Φ(h − u) .
A Pour tout x ∈ H, on note pK (x) le projeté de x sur K, i.e. l’unique point de K
vérifiant kx − pK (x)k = d(x, K).
1 Montrer que pK (x) est l’unique point p ∈ K vérifiant ∀h ∈ K hx − p, h − pi ≤ 0.
2 Montrer que l’application pK : H → K est 1-lipschitzienne.
B Soit A : H → H un opérateur linéaire continu vérifiant
∀x ∈ H hA(x), xi ≥ c kxk2 .
1 Montrer qu’on peut trouver ε > 0 tel que kId − εAk < 1.
2 Montrer que pour tout f ∈ H, il existe un unique u ∈ K tel que
pK (ε(f − A(u)) + u) = u.
C Démontrer le résultat souhaité. On pourra appliquer B à un opérateur A convenable et à un vecteur f ∈ H “représentant” la forme linéaire Φ.
D Que devient (1) lorsque K est un sous-espace vectoriel (fermé) de H? Donner une
démonstration directe du résultat dans ce cas, en supposant que la forme bilinéaire
a est symétrique.
9
Problème 9 (théorème du point fixe de Brouwer)
On note B la boule unité ouverte euclidienne de Rn . Le but de l’exercice est de
démontrer le théorème de Brouwer : toute application continue f : B → B
possède un point fixe.
A1 Soit f : B → B continue. En utilisant le théorème de Stone-Weierestrass,
montrer que pour tout ε >, il existe une fonction polynomiale Qε : Rn → Rn telle
que Qε (B) ⊂ B et
sup kf (x) − Qε (x)k ≤ ε .
x∈B
A2 En déduire que le théorème de Brouwer est équivalent à l’énoncé suivant: toute
application f ∈ C ∞ (Rn , Rn ) telle que f (B) ⊂ B possède un point fixe dans B.
B1 Soit g : Rn → Rn une application de classe C 1 . On suppose qu’on a g(B) ⊂ B et
g(ξ) = ξ pour tout ξ ∈ ∂B. Pour t ∈ [0; 1], on définit vt : Rn → Rn par
vt (x) = (1 − t)x + tg(x) .
a Montrer qu’on peut trouver ε0 > 0 tel que pour tout t ≤ ε0 , l’application vt est
injective sur B et vérifie Jvt (x) > 0 sur B, où la lettre J désigne le déterminant
jacobien.
b Montrer qu’on a vt (B) ⊂ B pour tout t ∈ [0; 1[, et que si t ≤ ε0 , alors vt est un
C 1 -difféomorphisme de B sur B. On pourra vérifier que vt (B) est ouvert et fermé
dans B.
R
c Soit m la mesure de Lebesgue sur Rn . Montrer que la fonction t 7→ B Jvt (x) dm(x)
est polynomiale sur R.
d Déduire des questions précédentes que pour tout t ∈ [0; 1], on a
Z
Jvt (x) dm(x) = m(B) .
B
n
B2 Montrer que si g : R → Rn est de classe C 1 et si V ⊂ Rn est un ouvert tel que
g(V ) ⊂ ∂B, alors Jg (x) ≡ 0 dans V .
B3 Montrer qu’il n’existe pas d’application g : Rn → Rn de classe C 1 vérifiant
g(B) ⊂ ∂B et g(ξ) = ξ pour tout ξ ∈ ∂B.
B Soit f : Rn → Rn de classe C 1 et vérifiant kf (x)k < 1 pour tout x ∈ Rn .
1 On suppose que f ne possède pas de point fixe. Pour x ∈ Rn , on note g(x) le
point d’intersection de la demi-droite ∆x = [f (x); x) avec ∂B. Justifier la définition,
et montrer que l’application g est de classe C 1 sur Rn .
2 Montrer que f possède un point fixe.
C Conclure.
Problème 10 (théorème du point fixe de Browder)
10
Dans tout le problème, K est une partie convexe fermée bornée non vide d’un espace
de Hilbert réel H, et T : K → K est une application 1-lipschitzienne, c’est-à-dire
vérifiant
∀x, y ∈ K kT (x) − T (y)k ≤ d(x, y) .
Le but du problème est de montrer que T possède un point fixe.
A Soit a ∈ K. Pour n ∈ N∗ , on définit Tn : K → E par Tn (x) = 1 −
1 Montrer que Tn possède un unique point fixe xn ∈ K.
2 Quelle est la limite de la suite (xn − T (xn ))?
3 On suppose K compact. Démontrer le résultat souhaité.
1
n
T (x) + n1 a.
B Dans cette partie, ϕ : H → H une application continue vérifiant
∀x, y ∈ H
hϕ(y) − ϕ(x), y − xi ≥ 0 .
1 Soit (xn ) une suite de points de H. On suppose que (xn ) converge faiblement vers
un point x ∈ H, et que (ϕ(xn )) converge en norme vers un point l ∈ H.
a Montrer que hϕ(xn ), xn i tend vers hl, xi.
b En déduire qu’on a hl − ϕ(y), x − yi ≥ 0 pour tout y ∈ H, et par conséquent
hl − ϕ(x ± εh), ±εhi ≥ 0 pour tout h ∈ H et tout ε > 0.
c Montrer que l = ϕ(x).
3 Déduire de 1 que ϕ(K) est une partie fermée de H.
C On rappelle que pour tout x ∈ H, il existe un unique point p(x) ∈ K tel que
||x − p(x)|| = d(x, K). De plus, p(x) est caractérisé par la propriété suivante :
∀z ∈ K
hz − p(x), x − p(x)i ≤ 0 .
1a Montrer que pour x, y ∈ H, on a ||p(x) − p(y)||2 ≤ hp(x) − p(y), x − y)i. En
déduire que l’application p : H → K est 1-lipschitzienne.
1b Montrer que T ◦ p est également 1-lipschitzienne.
2 En utilisant B, en déduire que l’ensemble {x − T (x); x ∈ K} est une partie fermée
de H.
D Conclure.
Problème 11 (bases de Schauder)
Dans tout l’exercice, X est un espace de Banach sur K = R ou C. On dit qu’une
suite (ei )i∈N ⊂ X est une base de Schauder pour X si la propriété suivante est
vérifiée : pour tout x ∈ X, il existe une unique suite (xi ) ∈ KN telle que
x=
∞
X
i=0
où la série converge dans X.
xi e i ,
11
A Dans cette partie, on prend X = `p (N), 1 ≤ p ≤ ∞. Pour i ∈ N, soit ei ∈ `p (N)
définie par ei = (0, . . . , 1, 0, 0, . . . ), où le “1” apparait en position i.
1 Montrer que si p < ∞, alors la suite(ei )i∈N est une base de Schauder de X.
2 Que peut on dire si p = ∞?
B On revient au cas général. On suppose que X possède une base de Schauder
(ei )i∈N . Pour n ∈ N, on définit une application linéaire πn : X → X par
!
∞
n
X
X
πn
xi ei =
xi ei .
i=0
i=0
1 Montrer que les πn sont des projections.
2 Pour x ∈ X, on pose |||x||| = supn∈N kπn (x)k.
a Montrer que ||| . ||| est une norme sur X.
b Soit (xk )k∈N ⊂ X une suite de Cauchy pour la norme ||| . |||. Montrer que pour
tout n ∈ N, la suite (πn (xk ))k∈N converge (au sens de la norme originelle de X) vers
un point zn ∈ X, et que la suite (zn ) converge vers un point x ∈ X. Montrer ensuite
que si n ≤ m, alors πn (zm ) = zn , puis que πn (x) = zn pour tout n ∈ N.
c Montrer que l’espace (X, ||| . |||) est complet. En déduire que ||| . ||| est équivalente
à la norme originelle de X.
3 Conclure que toutes les projections πn sont continues, et qu’on a
sup kπn k < ∞ .
n
C On suppose que X possède une base de Schauder. Montrer que si Z est un
espace de Banach, alors tout opérateur compact T : Z → X est limite d’une suite
d’opérateurs de rangs finis.
D On suppose qu’il existe une suite de projections continue πn : X → X vérifiant
les propriétés suivantes:
(i) πn est de rang n + 1 pour tout n ∈ N;
(ii) πn+1 πn = πn = πn πn+1 ;
(iii) πn (x) → x pour tout x ∈ X.
1 Comment se traduit (ii) en termes d’images et de noyaux? Montrer que Im(πn ) ∩
ker(πn−1 ) est de dimension 1 pour tout n ≥ 1.
3 Soit e0 un vecteur non nul de Im(π0 ), et pour tout n ≥ 1, soit en ∈ Im(πn ) ∩
ker(πn−1 ). Montrer que (en )n∈N est une base de Schauder de X.
E Dans cette question, X est l’espace C([0; 1], R) des fonctions continues sur [0; 1],
muni de sa norme naturelle.
1 Soit t0 , . . . , tn ∈ [0; 1[ deux à deux distincts, avec t0 = 0. Pour f ∈ X, on note π(f )
l’unique fonction continue interpolant f aux points t0 , . . . , tn , 1 et affine par morceaux
avec “noeuds” 0 = t0 , . . . , tn , 1. Montrer que π : X → X est une projection linéaire
continue et calculer kπk.
12
2 Montrer que X possède une base de Schauder.
F On suppose que X possède une base de Schauder (en )n∈N . Pour n ∈ N, on note
e∗n ∈ X ∗ la n-ième “forme linéaire coordonnée”, définie par
*
+
∞
X
∗
en ,
xi ei = xn .
i=0
e∗n
sont continues.
0 Montrer que les
P
∗
1 Soit (fn )n∈N une suite d’éléments de X vérifiant ∞
n=0 ken k kfn − en k < 1 .
a Montrer que la formule
R(x) =
∞
X
he∗n , xi (fn − en )
n=0
définit un opérateur linéaire continu R : X → X, et que Id + R est inversible.
b Montrer que (fn ) est une base de Schauder de X
2 Dans cette question, on prend X = C([0; 1], R).
a Montrer que X possède une base de Schauder formée de fonctions polynomiales.
b On pose gn (t) = tn . La suite (gn )n∈N est-elle une base de Schauder de X?
Problème 12 (formule de Poisson opératorielle; inégalité de von Neumann)
A (formule de Poisson)
1 Pour S ∈ L(H) vérifiant kSk < 1, on pose
PS =
∞
X
1
n
S + Id +
∞
X
S ∗n ,
1
où S ∗ est l’adjoint de l’opérateur S. Justifier la définition de PS en montrant que les
deux séries convergent en norme dans L(H).
2 Soit T ∈ L(H) vérifiant kT k < 1.
a Montrer que l’application θ 7→ Pe−iθ T est continue
de R dans L(H).
R 2π inθ
b Pour n ∈ N, calculer l’intégrale (vectorielle) 0 e Pe−iθ T dθ.
c En déduire que pour tout polynôme Q ∈ C[X], on a la “formule de Poisson”
Z 2π
dθ
Q(T ) =
Q(eiθ )Pe−iθ T
·
2π
0
B (inégalité de von Neumann)
1 Montrer que si S ∈ L(H) vérifie kSk < 1, alors on peut écrire
PS = (Id − S ∗ )−1 − Id + (Id − S)−1 = (Id − S ∗ )−1 (Id − S ∗ S) (Id − S)−1 .
En déduire que PS est un opérateur auto-adjoint et positif, c’est-à-dire vérifiant
hPS x, xi ≥ 0 pour tout x ∈ H.
13
2 Soit [a ; b] un intervalle de R, et soit u : [a ; b] → L(H) continue. On suppose
que pour tout t ∈ [a ; b], l’opérateur u(t) est auto-adjoint positif. Soit également
ϕ : [a ; b] → C continue.
Rb
a On note A l’opérateur a ϕ(t)u(t) dt. Montrer que si x, y ∈ H, alors
Z b
1/2 Z b
1/2
|hAx, yi| ≤ kϕk∞
hu(t)x, xi dt
hu(t)y, yi dt
.
a
a
b Déduire de a qu’on a
Z b
Z b
ϕ(t)u(t) dt
u(t) dt
≤ kϕk∞ .
a
a
3 Pour Q ∈ C[X], on pose kQk∞ = sup {|Q(ζ)|; |ζ| = 1}. Montrer que si T ∈ L(H)
vérifie kT k < 1, alors
kQ(T )k ≤ kQk∞
pour tout polynôme Q ∈ C[X].
4 Montrer que l’inégalité précédente est encore valable si on suppose seulement kT k ≤
1. Cette inégalité s’appelle l’inégalité de von Neumann.
Problème 13 (théorème ergodique de von Neumann)
Dans tout l’exercice, H est un espace de Hilbert réel, et T : H → H une application
linéaire continue vérifiant kT k ≤ 1. Pour n ∈ N∗ , on pose
1
Sn = (Id + T + · · · + T n−1 ) .
n
1a Montrer que pour tout x ∈ H, on a
||T ∗ (x) − x||2 ≤ 2 ||x||2 − hx, T (x)i .
1b En utilisant a, montrer qu’on a Ker(Id − T ) = Ker(Id − T ∗ ). En déduire une
décomposition de H à l’aide de Ker(Id − T ) et de Im(Id − T ).
2 Calculer Sn (x) pour x ∈ Ker(Id − T ), et déterminer limn→∞ Sn (x) pour x ∈
Im(Id − T ).
3 Montrer que pour tout x ∈ H, la suite (Sn (x)) converge vers π(x), où π est la
projection orthogonale sur Ker(Id − T ).
Problème 14 (projections)
Dans tout l’exercice, Z est un espace vectoriel normé sur R. On dit qu’une application
linéaire p : Z → Z est une projection de Z si elle vérifie p ◦ p = p. Si E est un
sous-espace vectoriel de Z, on appelle projection de Z sur E toute projection p
de Z vérifiant Im(p) = E. Si p est une projection non continue, on pose ||p|| = ∞.
A Montrer que pour tout sous-espace vectoriel E ⊂ Z, il existe une projection de Z
sur E.
14
B1 Montrer que si p est une projection de Z, alors Im(p) = Ker(Id − p) et Z =
Ker(p) ⊕ Im(p).
B2 Soit p une projection de Z.
a Montrer que si p est continue, alors Ker(p) et Im(p) sont fermés dans Z.
b On suppose que Z est un espace de Banach. Montrer que p est continue si et
seulement si Ker(p) et Im(p) sont fermés dans Z.
B3 Soit p : Z → Z une projection continue, avec p 6= 0.
a Montrer qu’on a ||p|| ≥ 1.
b On suppose que Z est un espace de Hilbert. Montrer qu’on a ||p|| = 1 si et
seulement si p est une projection orthogonale.
C Soit E un sous-espace vectoriel fermé de Z.
1 On suppose que E est de codimension finie. Montrer que toutes les projections de
Z sur E sont continues.
2 On suppose que E est de dimension finie. Soit (e1 , . . . , en ) une base de E.
a Montrer qu’on peut trouver des formes linéaires continues x∗1 , . . . , x∗n ∈ Z ∗ vérifiant
hx∗i , ei i = 1 pour tout i et hx∗i , ej i = 0 si i 6= j.
b Montrer
existe une projection continue de Z sur E, de norme inférieure ou
Pn qu’il
∗
égale à 1 kxi k kei k.
D Dans cette partie, E est un sous-espace fermé de Z. On pose
π(E, Z) = inf{||p||; p projection de Z sur E} .
1 Combien vaut π(E, Z) si Z est un espace de Hilbert?
2 Dans cette question, on prend Z = (Rn , || . ||∞ ), et E est l’hyperplan d’équation
x1 + · · · + xn = 0.
a Soit T ∈ L(Z), et soit MT = (aij ) la matrice de T dans la base canonique de Rn .
Montrer qu’on a
||T || = max
1≤i≤n
n
X
|aij | .
j=1
P
b Soit α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Rn vérifiant n1 αi = 1. On note pα la projection de Rn
sur E dans la direction de la droite Rα.
(i) Pour t ∈ R, on pose ϕ(t) = |1 − t| + (n − 1)|t|. Calculer ||pα || en fonction de
ϕ(α1 ), . . . , ϕ(αn ).
(ii) En déduire qu’on a ||pα || ≥ 2(1 − n1 ). On pourra par exemple observer que la
fonction ϕ est convexe.
c Calculer π(E, Z).
3 Dans cette question, Z est quelconque, et on suppose que E est de dimension finie.
On pose n = dim(E).
15
a Soit f une base de E. On définit Φ : E n → R par Φ(x1 , . . . , xn ) = | det(x1 , . . . , xn )|,
où le déterminant est pris dans la base f . Montrer qu’il existe (e1 , . . . , en ) vérifiant
∀(x1 , . . . xn ) ∈ BEn
Φ(e1 , . . . , en ) ≥ Φ(x1 , . . . , xn ) ,
où on a noté BE la boule unité de E.
b Montrer que (e1 , . . . , en ) est une base de E, et qu’on a ||ei || = 1 pour tout i ∈
{1; . . . ; n}.
c On note (e∗1 , . . . , e∗n ) la base duale de (e1 , . . . , en ) dans E ∗ .
(i) Pour x ∈ E et i ∈ {1; . . . ; n}, exprimer |he∗i , xi| à l’aide de Φ.
(ii) Montrer que les formes linéaires e∗i sont toutes de norme 1.
d Montrer qu’on a π(E, Z) ≤ dim(E).
E On note `∞ l’ensemble des suites bornées de nombres réels. On considèrera les
éléments de `∞ comme des fonctions x : N → R. On munit `∞ de la norme k . k∞ ,
et on note c0 le sous-espace (fermé) de `∞ constitué par les suites tendant vers 0 à
l’infini. Le but de cette partie est de démontrer le résultat suivant: il n’existe pas de
projection continue de `∞ sur c0 .
1 Soit (fi )i∈I une famille non dénombrable d’éléments de `∞ , avec fi 6= 0 pour tout
i ∈ I.
a Montrer qu’il existe n ∈ N et ε > 0 tels que l’ensemble {i ∈ I; |fi (n)| ≥ ε} est non
dénombrable.
P
f
;
J
⊂
I
,
J
fini
n’est pas borné dans `∞ .
b En déduire que l’ensemble
i
i∈J
2a Montrer qu’il existe une famille non dénombrable (Ai )i∈I de parties de N vérifiant
les propriétés suivantes:
(1) tous les ensembles Ai sont infinis;
(2) Ai ∩ Aj est fini si i 6= j.
Pour x ∈ R, on pourra considérer un ensemble du type Ax = {rn (x); n ∈ N}, où
(rn (x)) est une suite strictement croissante de rationnels tendant vers x.
2b Montrer que pour tout ensemble fini J ⊂ I, on a
X
1 A i ∈ c0 .
1Si∈J Ai −
i∈J
∞
Ici, bien sûr, on note 1A ∈ ` la fonction indicatrice d’un ensemble A ⊂ N.
3 Soit p une projection de l∞ sur c0 , et soit q = Id − p. En utilisant 2b et 1 avec
fi = q(1Ai ), montrer que q n’est pas continue. Conclure.
Problème 15 Si K est un espace métrique compact, on note C(K) l’ensemble des
fonctions continues sur K. Le but de l’exercice est d’établir le résultat suivant: pour
un espace de Banach X, les propriétés suivantes sont équivalentes:
(1) X est séparable;
(2) X est linéairement isométrique à un sous-espace fermé de C(K), pour un
certain espace métrique compact K.
16
A Soit (K, d) un espace métrique compact.
1 Montrer que K est séparable.
2 Soit D = {an ; n ∈ N} un ensemble dénombrable dense dans K. Pour n ∈ N, on
définit fn : K → R par fn (x) = d(an , x). Montrer que si x, y ∈ K et x 6= y, alors il
existe un entier n tel que fn (x) 6= fn (y).
3 Montrer que si F = {fn ; n ∈ N} est une partie dénombrable de C(K), alors la
sous-algèbre de C(K) engendrée par F est séparable.
4 Montrer que l’espace de Banach C(K) est séparable.
B Soit X un espace de Banach séparable. On note K la boule unité de X ∗ .
1 Soit D = {ai ; i ∈ N} un ensemble dénombrable et dense dans la boule unité de
X. Pour x∗ , y ∗ ∈ K, on pose
∞
X
∗ ∗
d(x , y ) =
2−i |hx∗ , ai i − hy ∗ , ai i| .
0
a Montrer que d est une distance sur K.
b Montrer qu’une suite (x∗n ) ⊂ K converge dans K pour la distance d si et seulement
si hx∗n , xi converge pour tout x ∈ X, et qu’il revient encore au même de dire que (x∗n )
converge en tout point d’une partie dense de X.
2 Pour x ∈ X, on définit une fonction fx : K → R par fx (x∗ ) = hx∗ , xi. Montrer
que fx est une fonction continue bornée sur (K, d), et qu’on a ||fx ||∞ = ||x||.
C Conclure.
Problème 16 (adjoint Banachique)
Dans tout l’exercice, X et Y sont des espaces de Banach, et T : X → Y est une
application linéaire continue.
A1 Montrer que si y ∗ ∈ Y ∗ , on définit une forme linéaire continue T ∗ (y ∗ ) sur X en
posant
hT ∗ (y ∗ ), xi = hy ∗ , T (x)i .
A2 Montrer que l’application T ∗ : Y ∗ → X ∗ est linéaire continue. On dit que T ∗ est
l’adjoint de l’opérateur T .
A3 Montrer qu’on a kT ∗ k = kT k.
A4 Dans le cas où X et Y sont des espaces de Hilbert, quel rapport y a-t-il entre T ∗
et l’adjoint hilbertien de T ?
B Montrer que T ∗ est injectif si et seulement si Im(T ) est dense dans Y .
C Dans cette partie, on veut montrer l’équivalence des trois propriétés suivantes:
(1) T est surjectif;
(2) il existe une constante c > 0 telle que ∀y ∗ ∈ Y ∗ ||T ∗ (y ∗ )|| ≥ c ||y ∗ ||;
17
(3) T ∗ est injectif et à image fermée.
1 Montrer que (1) entraı̂ne (2) à l’aide du théorème de l’image ouverte.
2 Montrer que (2) et (3) sont équivalentes.
3a On suppose que (2) est vérifiée. En notant B la boule unité de X, montrer
que C = T (B) contient la boule B(0, c). On pourra raisonner par l’absurde en
remarquant que C est un convexe fermé de Y et en utilisant la forme géométrique
du théorème de Hahn-Banach.
3b Soit toujours B la boule unité de X, et soit α > 0. On suppose que T (αB)
contient la boule B(0, 1). Montrer que pour tout y ∈ Y vérifiant kyk ≤ 1, on peut
construire une suite (xn ) ⊂ X telle que kxn k ≤ α et
!
n
X
−i
2 xi ≤ 2−n−1
y − T
i=0
pour tout n ∈ N.
3c Montrer que (2) entraı̂ne (1).
D On pose Y1 = Im(T ), et on note T1 l’opérateur T considéré comme application
linéaire continue de X dans Y1 . Montrer qu’on a Im(T1∗ ) = Im(T ∗ ).
E Montrer que Im(T ) est fermé dans Y si et seulement si Im(T ∗ ) est fermé dans X ∗ .
Problème 17 (quotients)
Dans tout l’exercice, X est un espace vectoriel normé, et F est un sous-espace vectoriel fermé de X. Pour x ∈ X, on note [x] la classe de x dans l’espace vectoriel
quotient X/F .
1 Montrer que si x ∈ X, alors dist (x, F ) = inf{kx − f k; f ∈ F } ne dépend que de
[x].
2 Montrer qu’on définit une norme sur X/F en posant k[x]k = dist (x, F ). Cette
norme s’appelle la norme quotient sur X/F .
3 On suppose que X est un espace de Banach. Montrer que X/F muni de la norme
quotient est un espace de Banach. On pourra montrer que toute série absolument
convergente à termes dans X/F est convergente.
4 Montrer que le dual de X/F s’identifie isométriquement à
F ⊥ := x∗ ∈ X ∗ ; x∗|F = 0 .
5 Soit E un sous-espace vectoriel de X.
isométriquement à X ∗ /E ⊥ .
Montrer que le dual de E s’identifie
Problème 18 Dans tout le problème, (K, d) est un espace métrique compact. On
note C(K) l’espace des fonctions continues sur K, à valeurs complexes.
18
A Dans cette partie, N est un fermé de K. On veut établir le théorème d’extension
de Tietze: si f : N → C est une fonction continue, alors il existe une fonction
f˜ : K → C telle que f˜|N = f et kf˜k∞ = kf k∞ .
1 Soit T : C(K) → C(N ) l’application linéaire définie par T (u) = u|N . Montrer que
T est continue et calculer kT k.
2 Montrer que A = Im(T ) est dense dans C(N ).
3a Montrer que pour toute fonction g ∈ Im(T ), on peut trouver une fonction g̃ ∈
C(K) telle que T (g̃) = g et kg̃k∞ = kgk∞ . On pourra commencer par vérifier que
pour tout réel M ≥ 0, on peut trouver une fonction continue θM : C → C telle que
θM (z) = z si |z| ≤ M et |θM (z)| ≤ M pour tout z ∈ C.
3b Montrer que Im(T ) est complet pour la norme k . k∞ . On pourra vérifier, à l’aide
de a, que toute série absolument convergente à termes dans Im(T ) converge dans
Im(T ).
4 Démontrer le résultat souhaité.
B On dit qu’un point x ∈ K est un point isolé de K si le singleton {x} est un
ouvert de K. De manière équivalente, x est isolé si on peut trouver r > 0 tel que la
boule ouverte B(x, r) ne contienne pas d’autre point que x. Dans toute la suite du
problème, on notera Isol(K) l’ensemble des points
1 isolés de∗ K.
1 Dans cette question, on prend K = [1 ; 2] ∪ n ; n ∈ N ∪ {0}. Quels sont les
points isolés de K?
2 Montrer que si K est dénombrable, alors K possède au moins un point isolé. On
pourra penser au théorème de Baire.
3 Que peut-on dire de K si tous les points de K sont isolés?
4 Montrer que Isol(K) est (au plus) dénombrable.
5 Montrer qu’un point x ∈ K est isolé si et seulement si x possède un voisinage N
de cardinalité finie.
D Dans cette partie, on fixe une fonction φ ∈ C(K), et on considère l’opérateur
Tφ : C(K) → C(K) défini par Tφ (f ) = φf . On veut établir le résultat suivant :
l’opérateur Tφ est compact si et seulement si la fonction φ est nulle en tout point non
isolé de K.
1 Justifier la continuité de Tφ , et calculer kTφ k.
2 Dans cette question, on suppose que l’opérateur Tφ est compact.
a Soit x0 ∈ K tel que φ(x0 ) 6= 0.
(i) Justifier l’existence d’un nombre r > 0 tel que φ ne s’annule pas sur N := B(x0 , r),
puis montrer que l’opérateur Tφ|N : C(N ) → C(N ) est inversible.
(ii) En utilisant A, montrer que l’opérateur Tφ|N est également compact. Que peut-on
en déduire sur la dimension de l’espace vectoriel C(N )?
b En utilisant a et C5, montrer que φ est identiquement nulle sur K \ Isol(K).
3 Dans cette question, on suppose que φ est identiquement nulle sur K \ Isol(K).
Montrer que l’opérateur Tφ est compact.
19
Problème 19 (opérateurs intégraux)
A Soit K : [0; 1] × [0; 1] → C une fonction mesurable. On suppose que pour tout
x ∈ [0; 1], la fonction Kx : [0; 1] → C définie par Kx (y) = K(x, y) est intégrable, et
que l’application x 7→ Kx est continue de [0; 1] dans L1 ([0; 1]).
1 Montrer que ces hypothèses sont vérifiées si K est une fonction continue.
2 Pour f ∈ L∞ [0; 1], on def́init TK f : [0; 1] → C par
Z 1
K(x, y)f (y) dy .
TK f (x) =
0
a Justifier la définition, et montrer que TK f est une fonction continue.
b Montrer que TK : L∞ ([0; 1]) → C([0; 1]) est une application linéaire continue.
c Montrer que TK est un opérateur compact.
B Soit θ :]0; 1] → R une fonction continue. On suppose qu’on a θ(x) 6= 0 pour
x
tout x > 0, et limx→0 θ(x)
= 0. Montrer qu’on définit un opérateur compact
∞
T : L ([0; 1]) → C([0; 1]) en posant T f (0) = 0 et
Z x
1
T f (x) =
f (t) dt
θ(x) 0
pour x > 0.
C RPour f ∈ C([0; 1]), on définit T f : [0; 1] → C par T f (0) = f (0) et T f (x) =
x
1
f (t) dt si x > 0.
x 0
1 Montrer que T est une application linéaire continue de C([0; 1]) dans C([0; 1]).
2a Pour ε ∈ ]0; 1/4[, on note fε : [0; 1] → R la fonction continue valant 1 sur [2ε, 3ε],
nulle sur [0; ε] et [4ε; 1], affine sur [ε; 2ε] et [3ε; 4ε]. Montrer que si ε < 4ε0 < 1/4,
alors kT (fε ) − T (fε0 )k∞ ≥ 31 .
2b L’opérateur T est-il compact?
Problème 20 (interpolation de Lagrange)
Pour n ∈ N, on note Pn ⊂ C([0; 1], R) l’ensemble des fonctions polynomiales de degré
(n)
inférieur ou égal à n. Pour n ∈ N et i ∈ {0; . . . ; n}, on pose xi = ni .
A Soit f ∈ C([0; 1]), et soit n ∈ N.
a Quel est le noyau de l’application linéaire T : Pn → Rn+1 définie par T (P ) =
(n)
(n)
(P (x0 ), . . . , P (xn ))?
b Montrer qu’il existe une unique fonction polynomiale P ∈ Pn vérifiant ∀i ∈
(n)
(n)
{0; . . . ; n} P (xi ) = f (xi ). Dans toute la suite ce polynôme sera noté πn (f ).
c Montrer que πn est une projection de C([0; 1]) sur Pn .
20
B Soit n ∈ N. Pour i ∈ {0; . . . ; n}, on définit lin ∈ Pn par
lin (x)
=
Y x − x(n)
j
(n)
j6=i
xi
(n)
− xj
.
1 Vérifier que si f ∈ C([0; 1]), alors
πn (f ) =
n
X
(n)
(n)
f (xi )li .
i=0
2 Montrer que la projection πn est continue.
P
(n)
3 On pose λn (x) = ni=0 |li (x)|, et Λn = ||λn ||∞ . Calculer ||πn || en fonction de Λn .
Q
C1 Montrer que si n ∈ N∗ , alors nj=0 | 12 − j| ≥ 41 (n − 1)!. En déduire que pour tout
(n)
i
Cn
1
)| ≥ 4n
i ∈ {0; . . . ; n}, on a |li ( 2n
2.
C2 Montrer qu’on a limn→∞ Λn = +∞.
D Est-il vrai que pour toute fonction f ∈ C([0; 1]), la suite (πn (f )) converge uniformément vers f ?
E1 Soit f ∈ C([0; 1]). Montrer que pour tout n ∈ N, on a
||f − πn (f )||∞ ≤ (1 + Λn )d(f, Pn ) .
On pourra commencer par montrer que si P ∈ Pn , alors ||f −πn (f )||∞ ≤ ||f −P ||∞ +
||πn (f − P )||∞ .
E2 On admet qu’on a Λn ≤ 2n pour tout n ∈ N. Montrer que si f ∈ C([0; 1]) est
la somme d’une série entière de rayon de convergence R > 2, alors (πn (f )) converge
uniformément vers f .
Problème 21 (interpolation de Lagrange, bis)
Le but du problème est de montrer que l’interpolation de Lagrange n’est jamais un
bon procédé d’approximation uniforme pour toutes les fonctions continues.
A On note C2π l’espace des fonctions continues 2π-périodiques sur R (à valeurs complexes) muni de la norme k . k∞ . Pour n ∈ N, on note Pn ⊂ C2π l’ensemble des
polynômes trigonométriques de degré au plus n. Si f ∈ C2π , on note Sn f sa n-ième
somme partielle de Fourier,
Sn f (x) =
n
X
−n
cn (f )eikx .
21
1a Montrer que Sn est une projection linéaire continue de C2π sur Pn , de norme
inférieure ou égale à ||Dn ||1 , où Dn est le noyau de Dirichlet :
sin(n + 21 )t
·
Dn (t) =
sin 2t
1b Montrer qu’on a en fait ||Sn || = ||Dn ||1 .
2 Soit n ∈ N et soit L une projection linéaire continue de C2π sur Pn .
a Pour λ ∈ R, on Rdéfinit τλ : C2π → C2π par τλ f (t) = f (t − λ). Pour x ∈ R fixé,
2π
calculer l’intégrale 0 τλ L τ−λ f (x) dλ lorsque f est de la forme f (t) = eimt , m ∈ Z.
b Montrer que pour toute fonction f ∈ C2π et pour tout x ∈ R, on a
Z 2π
1
Sn f (x) =
τλ L τ−λ f (x) dλ .
2π 0
3 Soit n ∈ N. Montrer que si L est une projection linéaire continue de C2π sur Pn ,
alors
||L|| ≥ ||Dn ||1 .
+
4 On note C2π
le sous-espace de C2π constitué par les fonctions paires, et Pn+ l’ensemble
des polynômes trigonométriques pairs de degré au plus n. Établir le même résultat
+
qu’en 3 pour une projection linéaire continue de C2π
sur Pn+ .
B Si σ est une subdivision d’un intervalle [a ; b] et si f ∈ C([a ; b]), on note Lσ f
le polynôme d’interpolation de Lagrange de f aux points de σ. En notant σ =
(a0 , . . . , an ), le polynôme Pσ est par définition l’unique polynôme de degré inférieur
ou égal à n vérifiant P (ai ) = f (ai ) pour tout i ∈ {0; . . . ; n}.
1 Soit σ une subdivision de [−1; 1], et soit n+1 le nombre de points de σ. Montrer que
Lσ est une projection linéaire continue de C([−1; 1]) sur le sous-espace des polynômes
de degré inférieur ou égal à n.
2 On définit J : C([−1; 1]) → C2π par Jf (t) = f (cos t). Montrer que J est une
isométrie linéaire de C([−1; 1]) dans C2π . Quelle est l’image de J?
3 Soit σ une subdivision de [−1; 1] et soit n + 1 le nombre de points de σ. Montrer
+
qu’il existe une projection linéaire continue L de C2π
sur Pn+ telle que ||L|| ≤ ||Lσ ||.
C Soit [a ; b] un intervalle compact (non trivial) de R. Montrer que si (σk ) est une
suite de subdivisions de [a ; b] de pas tendant vers 0, alors il existe une fonction
f ∈ C([a ; b]) telle que Lσk f ne converge pas uniformément vers f quand k tend vers
l’infini.
Problème 22 (opérateurs hypercycliques)
22
A Dans cette partie, X est un espace de Banach séparable, et T : X → X est une
application linéaire continue. Pour tout x ∈ X, on pose
OT (x) = {T n (x); n ∈ N} ,
où T n = T ◦ · · · ◦ T (n fois), avec la convention T 0 = Id. On dit qu’un vecteur x ∈ X
est hypercyclique pour T si OT (x) est dense dans X. On note HC(T ) l’ensemble
des vecteurs hypercycliques pour T , et on dit que l’opérateur T est hypercyclique
si HC(T ) 6= ∅.
1 Montrer qu’il existe une famille dénombrable de boules ouvertes (Bi )i∈I vérifiant
la propriété suivante : pour tout ouvert non vide V ⊂ X, on peut trouver i ∈ I tel
que Bi ⊂ V .
2 Pour i ∈ I, on pose Gi = {x ∈ X; ∃n ∈ N T n (x) ∈ Bi }.
a Montrer que les Gi sont desTouverts de X.
b Montrer qu’on a HC(T ) = i∈I Gi .
3 On suppose qu’il existe une partie dense Z ⊂ X et une application S : X → X
vérifiant les propriétés suivantes :
(1) T ◦ S = Id;
(2) pour tout z ∈ Z, on a lim T n (z) = 0 = lim S n (z).
n→∞
n→∞
n
a Soient u, v ∈ Z. Pour n ∈ N, on pose xn = u + S (v). Quelles sont les limites des
suites (xn ) et (T n (xn ))?
b Déduire de a que la propriété suivante est vérifiée : pour tout couple (U, V )
d’ouverts non vides de X, on peut trouver un point x ∈ U et un entier n ∈ N tels
que T n (x) ∈ V .
c En utilisant 2 et b, montrer que T est hypercyclique.
1
B Dans cette partie, on note `P
l’espace vectoriel constitué par toutes les suites
∞
N
x = (x(n))n∈N ∈ C vérifiant 0 |x(n)| < ∞. On munit `1 de la norme k . k1
définie par
∞
X
kxk1 =
|x(n)| .
0
1
1 Montrer que ` est un espace de Banach.
2 Pour i ∈ N, on note ei l’élément de `1 défini par ei (i) = 1 et ei (n) = 0 si n 6= i.
Montrer que l’espace vectoriel Z engendré par la famille {ei ; i ∈ N} est dense dans
l1 .
3 Soit B : `1 → `1 l’application linéaire définie de la façon suivante : pour x =
(x(0), x(1), x(2), . . . ) ∈ `1 , on pose B(x) = (x(1), x(2), . . . ).
a Montrer que B est continue et calculer kBk.
b Montrer qu’il existe une application linéaire B̃ : `1 → `1 vérifiant B B̃ = Id et
kB̃(x)k = kxk pour tout x ∈ `1 .
4 Montrer que l’opérateur T = 2B est hypercyclique.
23
Problème 23 (fonctions continues nulle-part dérivables)
Le but de cet exercice est de montrer qu’il existe “beaucoup” de fonctions f : [0; 1] →
R qui sont continues sur [0; 1], mais dérivables en aucun point. Pour tout réel λ > 0,
on posera
|f (y) − f (x)|
Uλ = f ∈ C([0; 1]); ∀x ∈ [0; 1] sup
>λ .
|y − x|
y6=x
Autrement dit:
Uλ = {f ∈ C([0; 1]); ∀x ∈ [0; 1] ∃y |f (y) − f (x)| > λ|y − x|} .
1 Montrer que pour tout λ > 0, l’ensemble Uλ est un ouvert de C([0; 1]).
2 Soit λ > 0. Montrer que pour tout ε > 0, on peut trouver une fonction φ ∈ Uλ
telle que kφk∞ < ε.
3 Soit f : [0; 1] → R une fonction lipschitzienne. On note k la constante de Lipschitz
de f . Soit également µ > 0. Montrer que si φ ∈ Uµ et si µ > k, alors f + φ ∈ Uµ−k .
4 Déduire de 2 et 3 que pour tout λ > 0, l’ouvert Uλ est dense dans C([0; 1]).
5 Montrer que l’ensemble des fonctions f : [0; 1] → R continues et nulle part
dérivables est dense dans C([0; 1]).
Problème 24 (théorème d’Ekeland)
Dans tout le problème, X est un espace de Banach réel. On note Lip(X) l’ensemble
des fonctions ϕ : X → R lipschitziennes bornées. Pour ϕ ∈ Lip(X), on pose
|ϕ(x) − ϕ(y)|
kϕkLip = kϕk∞ + sup
; x, y ∈ X, x 6= y .
kx − yk
1 Montrer que (Lip(X), k . kLip ) est un espace de Banach.
2 Soit α > 0. Montrer que pour tout ε > 0, on peut trouver b ∈ Lip(X) vérifiant
b(0) > 0, kbkLip < ε et b(x) = 0 si kxk ≥ α.
3 Soit f : X → R bornée inférieurement, et soit α > 0. On pose
Uα = {ϕ ∈ Lip(X); ∃u ∈ X (f − ϕ)(u) < inf{(f − ϕ)(x); kx − uk ≥ α}} .
a Montrer que Uα est un ouvert de Lip(X).
b En utilisant des fonctions du type x 7→ b(x − u), pour b et u bien choisis, montrer
que Uα est dense dans Lip(X).
4 Soit g : X → R continue et bornée inférieurement. On suppose qu’il existe une
suite (un ) ⊂ X telle que pour tout n ∈ N, on ait
g(un ) < inf g(x); kx − un k ≥ 2−n .
a Montrer par l’absurde que si p ≤ q, alors kup − uq k < 2−p .
b Montrer que g atteint sa borne inférieure.
24
5 Soit f : X → R continue et bornée inférieurement. Montrer que l’ensemble
{ϕ ∈ Lip(X); f − ϕ atteint sa borne inférieure}
est dense dans Lip(X).
6 Démontrer le théorème d’Ekeland : si f : X → R est continue et bornée
inférieurement, alors, pour tout ε > 0, on peut trouver un point x0 ∈ X tel que
∀x ∈ X f (x0 ) ≤ f (x) + εkx − x0 k .
7 Soit f : X → R différentiable et bornée inférieurement.
a Montrer que pour tout ε > 0, on peut trouver un point x ∈ X tel que kDf (x)k ≤ ε.
b Peut-on toujours trouver un point x tel que Df (x) = 0?