SOLUTIONS FAIBLES D`UNE INCLUSION DIFFÉRENTIELLE

ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA
Volume 32, Number 1, 2007, pp. 61-70
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SOLUTIONS FAIBLES D’UNE INCLUSION DIFFÉRENTIELLE
FONCTIONNELLE SEMI-LINÉAIRE À RETARD INFINI SUR
UN ESPACE DE BANACH
SGHIR ABDELHAQ
Abstract. The aim of this note is to prove the existence of mild solutions
for functional di-erential inclusion with in/nite delay in a Banach space:
x (t) Lxt + F (t, xt ), t [0, a] (a > 0)
x(t) = (t),
t ]- , 0].
The results are proved by using a variation of suitable constants formula with
in/nite delay and a direct application of topological transversality methods
based on the degree theory for - Lipschitz multimappings.
1. Introduction
Soit E un espace de Banach réel de norme notée |.|E et soit B := BE l’espace
de phases satisfaisant les axiomes fondamentaux introduits par Hale et Kato
[7]. Si x : IR
E, alors pour tout t
IR+ , nous dé nissons une application
xt : IR
E par xt ( ) = x(t + ).
En 1995 Arino-Sanchez [1] ont donné une formule de variation de la constante
pour le problème de Cauchy non homogène associé à l’équation di1érentielle
fonctionnelle à retard ni sur un espace de Banach
x (t) = Lxt + h(t) t
0
où L : C := C ([ r, 0] ; E)
E est un opérateur linéaire continu et
h : IR+
E est une fonction continue.
En 1997 nous avons étudié dans [14] en première partie le même problème de
Cauchy lorsque le retard est in ni ensuite, par utilisation de la formule de variation de la constante trouvée, nous avons étudié l’existence des solutions du
problème semi-linéaire à retard in ni sur un espace de Banach
x (t) = Lxt + f (t, xt ), t
x0 =
I := [0, a]
Received June 13, 2006; in revised form October 2, 2006.
2000 Mathematics Subject Classi cation. Primary 34 K30.
Key words and phrases. Inclusion di-érentielle fonctionnelle semi-linéaire à retard in/ni;
formule de variation de la constante, multiapplication -Lipschitzienne, théorie du degré
topologique.
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SGHIR ABDELHAQ
où (a, ) R+ × B sont donnés et f : I × B E est une fonction complètement
continue véri ant une certaine propriété de bornage.
En 1999 voir [15], en utilisant la formule de variation de la constante sur un
espace de Banach pour un retard ni et la notion de degré topologique pour les
multiapplications -Lipschitziennes, nous avons donné l’existence de solutions
faibles de l’inclusion di1érentielle fonctionnelle à retard ni
x (t)
x0 =
P( )
Lxt + F (t, xt ), t
I
où L : C
E est un opérateur linéaire continu et F est une multiapplication Lipschitzienne à valeurs dans CC(E), sous-ensemble de parties non vides convexes
et compactes de E, véri ant certaines hypothèses.
Dans ce papier, nous allons étudier la même inclusion di1érentielle fonctionnelle
mais à retard in ni sous une hypothèse plus faible sur le bornage de F .
Dans [4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 15, 16, ..] le lecteur trouvera des informations et références
sur les inclusions di1érentielles (ou fonctionnelles) et leurs applications.
2. Préliminaires
Désignons par B := B(IR ; E) l’espace vectoriel des fonctions dé nies sur IR à
valeurs dans E muni d’une semi-norme notée |.|B .
E[a] = {x : ]
, a]
E : x0 B et x|I est continue} pour a > 0.
E = {x : IR
E : x0 B et x|IR+ est continue }.
Dans la suite de ce travail, nous supposons que l’espace de phases B satisfait les
axiomes suivants:
A) B est un espace complet.
xt est continue pour
B1 ) Si x E[a] (resp. E), alors xt B et la fonction t
tout t I (resp. t IR+ ).
B2 ) Il existe une constante l > 0 et deux fonctions K, M : IR+
IR+ telles que
+
- K est continue sur IR ;
- M est localement bornée;
- pour toute fonction x E[a] (resp. E) et tout t I (resp. t IR+ ),
1
|x(t)|E
l
C) Si (
n)
|xt |B
K(t) sup |x(s)|E + M (t)|x0 |B .
0 s t
est une suite de Cauchy dans B et si lim sup |
tout compact K
Nous notons par
n
IR , alors
B et lim |
Ka = supK(t)
t I
n
et
n
n(
)
( )|E = 0 pour
K
|B = 0.
Ma = supM (t).
t I
Pour des exemples d’espaces de phases B qui véri ent les axiomes précédents voir
par exemple [7, 8, 14, · · · ].
SOLUTIONS FAIBLES D’UNE INCLUSION DIFFÉRENTIELLE
63
Rappelons (voir [14]) que le problème de Cauchy non homogène
x (t) = Lxt + h(t), t
x0 = ,
B
(N.H)
x(t) =
C 1 (IR+ ; E) donnée par
E
admet une unique solution x
0
(T (t) )(0) +
(t)
t
0 U (t
s)(h(s))ds si t
si t
où pour tout t
0, l’opérateur T (t) : B
l’opérateur U (t) : E
E est dé ni par
0
0
B est dé ni par T (t)
U (t) e = (xe ) (t), t
= xt et
0
où xe est l’unique solution du problème
x (t) = Lxt + e, t
x0 = 0.
0 et e
E
U (t) est un opérateur linéaire continu et la famille d’opérateurs (T (t))t 0 dé nie
un semi-groupe linéaire de classe (C0 ) satisfaisant la propriété de translation:
(T (t) )( ) =
pour t
IR+ ,
IR et
(t + )
si t +
(T (t + ) )(0) si t +
0
0
B.
Soit B un sous-ensemble borné de E, la mesure de non-compacité de B est le
nombre réel (B) (voir par exemple, [5, 11]) dé ni par
(B) = inf
d > 0 : B est recouvert par un nombre ni de
sous-ensembles de E de diamètre
d
.
En n, soit K un sous-ensemble convexe et fermé de E, ? K un ouvert borné
relativement à la topologie de K, ? et ? désignent respectivement la fermeture
et le bord de ? par rapport à la topologie de K.
Soit @ : ?
CC(K) une multiapplication fermée et -Lipschitzienne, i.e.
k
[0, 1[: B
?
(@(B))
k (B).
Supposons que l’ensemble des points xes de @ : F ix@ = {x ? : x @(x)},
n’a pas d’intersection avec le bord ?. Alors, par les travaux [2, 3], le degré
topologique deg(@, ?) peut être dé ni. Ce degré topologique a les propriétés
suivantes:
i)
deg (@, ?) =
1 si @(?)
0 si @(?)
?
K\?.
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SGHIR ABDELHAQ
ii) Si les multiapplications fermées et -Lipschitziennes @0 , @1 : ?
CC(K)
sont homotopiques, i.e. il existe une famille de multiapplications fermées et Lipschitziennes, H : ? × [0, 1]
CC(K) telles que
[
F ixH(., )]
?=
[0,1]
alors deg(@0 , ?) = deg(@1 , ?).
iii) Si deg(@, ?) = 0 alors = F ix@
et H(., 0) = @0 , H(., 1) = @1 ,
?.
Dans la suite de ce travail, nous supposons que E est un espace de Banach
séparable.
3. Inclusion semi-linéaire
Considérons le problème semi-linéaire suivant
P( )
x (t)
x0 =
Lxt + F (t, xt ), t
I
où (a, ) IR+ × B, L et F véri ent les hypothèses suivantes:
H1 ) L : B
E est un opérateur linéaire continu.
H2 ) F : I × B
CC(E) (ensemble non vide de parties convexes et compactes de
E) est une multiapplication véri ant les conditions suivantes:
F1 ) Pour tout ! B, la multiapplication F (., !) admet une sélection mesurable.
En particulier (F1 ) est satisfaite si F (., !) est mesurable pour tout ! B (voir,
[4]);
F2 ) pour presque tout t
I, la multiapplication F (t, .) est semi-continue
supérieurement (s.c.s. en bref), i.e. {! B : F (t, !) V } est un sous-ensemble
ouvert de B pour tout ouvert V
E;
F3 ) pour tout sous-ensemble borné non vide B
B, il existe une fonction
m L1+ (I) telle que, pour tout ! B et pour presque tout t I
F (t, !) := sup{|y|E : y
F (t, !)}
m(t)h(|!|B )
où h est une fonction continue strictement croissante sur [0, + [ et h > 0 sur
]0, + [;
F4 ) il existe un réel k
0 tel que, pour tout borné non vide B
B et tout
t I
(F (t, B))
où
0
k
0 (B)
est la mesure de non-compacité sur B, k <
1
N
et N = sup U (t) .
t I
Pour x E[a], posons Gx : I
CC(E) la multiapplication dé nie par
Gx (t) = F (t, xt ). Par les conditions F1 ) F3 ) il résulte que pour tout x
1
IG
x
:= {f
1
L (I; E) : f (t)
Gx (t) p.p.} =
.
E[a]
SOLUTIONS FAIBLES D’UNE INCLUSION DIFFÉRENTIELLE
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Dé nition 3.1. Une fonction x E[a] est dite une solution faible du problème
1 telle que
P( ) s’il existe une fonction f IG
x
x(t) =
t
0 U (t
(T (t) )(0) +
(t)
s)(f (s))ds si
si
t I
t ]- , 0].
Notons par
E [a] = {x :]- , a]
E : x0 =
C0 = {y
Pour tout y
et x|I est continue },
C(I; E) : y(0) = 0}.
C0 , considérons la fonction ỹ
E[a] dé nie par
0
si t
y(t) si t
ỹ(t) =
0
I.
B,
Posons pour
(t)
si t
(T (t) )(0) si t
˜(t) =
D’après l’axiome B1 ) ˜t , ỹt B et les fonctions t
sur I.
Considérons l’opérateur @ dé ni sur C0 par
0
I.
˜t , t
ỹt sont continues
t
@y = {z
C0 : z(t) =
0
U (t
s)(f (s))ds pour t
I et f
1
IG
}.
y+ ˜
Il est facile de voir que x E [a] est une solution faible du problème P( ) si, et
seulement si, x = ỹ + ˜ où y @y et que l’ensemble @y est non vide et convexe
pour tout y C0 .
Par des raisonnements classiques (voir [10, 15]), nous obtenons le lemme suivant:
Lemme 3.1. L’opérateur @ est fermé.
Pour tout borné ? C0 , l’ensemble @? est borné et équicontinu.
Pour tout borné ? C0
1
0 (@?)
où
1
0
k1
1
0 (?)
est la mesure de non-compacité sur C0 avec k1 = kN < 1.
Théorèm 3.1. Sous les hypothèses (H1 ) , (H2 ) et s’il existe une constante ( > 0
telle que sup |x(t)|E < (, pour chaque x solution faible du problème
t I
P ( )
x (t)
x0 =
Lxt + F (t, xt ), t
I,
[0, 1]
alors, le problème P( ) admet au moins une solution faible.
66
SGHIR ABDELHAQ
Démonstration. A n d’appliquer le principe du degré topologique, nous posons
? =
y
C0 : y < (
où ( > ( + lsup T (t) | |B ,
t I
K = Co({0}
@?) et ?K = ?
K,
où Co({0} @?) est l’enveloppe convexe fermée de {0} @?.
Nous savons que la multiapplication @ : ?K CC(K) est fermée et 10 -Lipschitzienne. De plus pour tout
[0, 1] et tout y
F ix @ alors x = y + est une
solution faible du problème P ( ), donc pour tout t I
|y(t)|E = |x(t) (T (t) )(0)|E
|x(t)|E + l sup T (t) .| |B
t I
< ( + lsup T (t) | |B < (
t I
et donc (F ix @)
?K = .
Prenons @0 = 0 et @1 = @, alors il existe une famille de multiapplications fermées
-Lipschitziennes H : ?K × [0, 1]
CC(K) telles que
F ixH(., )
?K = , H(., 0) = @0 et H(., 1) = @1
[0,1]
(il suDt de prendre H(., ) = @); ainsi @0 et @1 sont homotopiques et donc
deg(@0 , ?K ) = deg(@1 , ?K ). Mais deg(@0 , ?K ) = 1 car 0
?K , ce qui donne
deg(@, ?K ) = deg(@1 , ?K ) = 1, et donc = F ix@ ?K . Par suite, le problème
P( ) admet au moins une solution faible.
Si nous remplacons l’hypothèse (H2 ) par (H2 ) : (F1 ), (F2 ), (F4 ) et (F3 ) c’est à
dire il existe une fonction m L1+ (I) telle que pour tout ! B et pour presque
tout t I
F (t, !)
m(t)h(|!|B ),
où h est une fonction continue strictement croissante sur [0, + [ et h > 0 sur
]0, + [; alors on a le théorème suivant.
Théorèm 3.2. Sous les hypothèses (H1 ) et (H2 ), le problème P( ) admet au
moins une solution faible, si pour tout c > 0
c
0
ds
<+
h(s)
+
et
0
ds
=+
h(s)
ou si
+
a
N Ka
m(s)ds <
0
c1
ds
( )
h(s)
où c1 = (lM Ka + Ma )| |B avec M = sup T (t) .
t I
( )
SOLUTIONS FAIBLES D’UNE INCLUSION DIFFÉRENTIELLE
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Démonstration. Pour montrer l’existence de solutions faibles de P( ), nous appliquons le théorème 3.1. A n d’appliquer ce théorème nous allons établir un
bornage a priori sur les solutions de P ( ). Soit x une solution de P ( ), alors
pour tout t I
t
x(t) = (T (t) )(0) +
0
U (t
s)(f (s))ds, t
I and f
1
IG
,
x
et donc
t
|x(t)|E
|(T (t) )(0)|E +
U (t
0
s) |f (s)|E ds
t
l |T (t) |B +
U (t
0
s) |f (s)|E ds
t
l M | |B + N
0
m(s)h(|xs |B )ds.
En utilisant la même idée vue dans [14], posons pour tout t
z(t) = sup{|xs |B : 0
s
I
t}
alors on démontre (voir [14] p.142) que
z(t) = |xt̄ |B
K(t̄) sup |x(s)|E + M (t̄)| |B
0 s t̄
s
Ka sup [lM | |B + N
0 s t̄
0
m(+)h(|x |B )d+] + Ma .| |B
t
(lM Ka + Ma )| |B + N Ka
m(s)h(|xs |B )ds
0
t
(lM Ka + Ma )| |B + N Ka
On a z(t)
u(t) pour tout t
m(s)h(z(s))ds := u(t).
0
I, u(0) = (lM Ka + Ma )| |B et
u (t) = N Ka m(t)h(z(t))
N Ka m(t)h(u(t)).
Ainsi,
t
0
u (s)
ds
h(u(s))
t
N Ka
m(s)ds
0
ce qui donne
u(t)
u(0)
a
ds
h(s)
N Ka
m(s)ds < +
0
Si nous faisons l’hypothèse ( ) nous obtenons
u(t)
0
ds
<+ .
h(s)
.
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SGHIR ABDELHAQ
Ce qui donne,
(>0: t
I, z(t)
( et par l’axiome B2 )
l|xt |B
|x(t)|E
ainsi sup|x(t)|E
l(,
l(.
t I
Si nous utilisons l’hypothèse ( )
u(t)
u(0)
+
a
ds
h(s)
N Ka
m(s)ds <
0
c1
ds
.
h(s)
Cette inégalité implique qu’il existe une constante ( > 0 telle que pour tout
t I, u(t) (, donc z(t) ( et comme précédemment sup|x(t)|E l(.
t I
4. Application
Dans cette section, nous allons donner une application intervenant dans la théorie
du contrôle optimale.
Soit E = C(I; IR) avec I = [0, a] (a > 0)
Soit f : I × I × IR
IR une fonction telle que
i) |f (t, s, x)| m1 (t)h1 (t) où m1 L1+ (I), h1 est une fonction continue croisc
sante sur [0, + [, h > 0 sur ]0, + [ et véri ant pour tout c > 0, 0 h1ds(s) et
+
0
ds
h1 (s)
=+ ;
ii) - > 0 : |f (t, s, x) f (t, s, y)| - |x y| ;
iii) f engendre un opérateur continu f: I × E
E dé ni par
f(t, e)(s) = f (t, s, e(s)).
Soit W : E
CC(U ) une multiapplication s.c.s. où U est un intervalle compact
de IR.
Soient : I
IR+ une fonction continue et k : IR
IR+ une fonction telle qu’
0
e
|k( )| d
K pour tout / > 0.
il existe K > 0 :
Considérons maintenant le problème suivant:
t v(t, s)
(P)
Posons B = C := {!
supe
0
0
=
k( )v(t + , s)d + f (t, s, v(t, s))w(t)
où t, s I et w(t) W(v(t
(t), .))
avec w une fonction mesurable sur I
v( , s) = ( )(s) pour tous
0, s I.
C(]-
|!( )|E . Supposons que
, 0]; E) : lim e !( ) existe dans E} et |!|B :=
B.
Alors on sait (voir par exemple [7, 8, 14]) que cet espace véri e les axiomes fondamentaux de Hale et Kato.
SOLUTIONS FAIBLES D’UNE INCLUSION DIFFÉRENTIELLE
Posons x(t)(s) = v(t, s) pour tous t ]dé ni par
, a], s
I. Soient L : B
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E l’opérateur
0
(L!)(s) =
et F : I × B
k( )!( )(s)d
CC(E) la multiapplication dé nie par
F (t, !) = {w(t)f(t, !(0)) : w(t)
W(!(
(t))}.
Alors L est un opérateur linéaire continu et F est une multiapplication véri ant
les hypothèses (F1 ) (F4 ) ; en e1et
(F1 ) résulte du fait que f est continu et de la mesurabilité de w,
(F2 ) résulte du fait que W est s.c.s.
(F3 ) résulte du bornage de U avec m(t) = |w(t)| m1 (t) wa m1 (t) où
wa = sup |w(t)| et h(t) = h1 (lt) = h1 (t) car l = 1 pour l’espace C .
t I
(F4 ) résulte du bornage de U et de l’hypothèse (ii) sur la fonction f (voir [10])
avec k = wa -.
Donc si nous choisissons un k < e al où l = L car il est facile de montrer que
eal (voir [14, p. 136]), alors le problème (P) admet au moins une
sup U (t)
t I
solution.
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BP: 2390. Marrakech 40000, Maroc.