SOLUTIONS FAIBLES D`UNE INCLUSION DIFFÉRENTIELLE

ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA 61
Volume 32, Number 1, 2007, pp. 61-70
SOLUTIONS FAIBLES D’UNE INCLUSION DIFF ´ ERENTIELLE
FONCTIONNELLE SEMI-LIN´ EAIRE ` A RETARD INFINI SUR
UN ESPACE DE BANACH
SGHIR ABDELHAQ
Abstract. The aim of this note is to prove the existence of mild solutions
for functional di-erential inclusion with in/nite delay in a Banach space:
x(t)Lxt+F(t, xt),t[0,a](a>0)
x(t)=(t),t]-,0].
The results are proved by using a variation of suitable constants formula with
in/nite delay and a direct application of topological transversality methods
based on the degree theory for - Lipschitz multimappings.
1. Introduction
Soit Eun espace de Banach r´eel de norme not´ee |.|Eet soit B:= BEl’espace
de phases satisfaisant les axiomes fondamentaux introduits par Hale et Kato
[7]. Si x:IR E, alors pour tout tIR +, nous d´e nissons une application
xt:IR Epar xt()=x(t+).
En 1995 Arino-Sanchez [1] ont donn´e une formule de variation de la constante
pour le probl`eme de Cauchy non homog`eneassoci´e`al’´equation di1´erentielle
fonctionnelle `a retard ni sur un espace de Banach
x(t)=Lxt+h(t)t0
o`uL:C:= C([r, 0] ; E)Eest un op´erateur lin´eaire continu et
h:IR +Eest une fonction continue.
En 1997 nous avons ´etudi´e dans [14] en premi`erepartielemˆeme probl`eme de
Cauchy lorsque le retard est in ni ensuite, par utilisation de la formule de vari-
ation de la constante trouv´ee, nous avons ´etudi´e l’existence des solutions du
probl`eme semi-lin´eaire `a retard in ni sur un espace de Banach
x(t)=Lxt+f(t, xt),tI:= [0,a]
x0=
Received June 13, 2006; in revised form October 2, 2006.
2000 Mathematics Subject Classication. Primary 34 K30.
Key words and phrases. Inclusion di-´e rentielle fonctionnelle semi-lin´eaire `a retard in/ni;
formule de variation de la constante, multiapplication -Lipschitzienne, th´eorie du degr´e
topologique.

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o`u(a, )R+
×B sont donn´esetf:I×BEest une fonction compl`etement
continue v´eri ant une certaine propri´et´e de bornage.
En 1999 voir [15], en utilisant la formule de variation de la constante sur un
espace de Banach pour un retard ni et la notion de degr´e topologique pour les
multiapplications -Lipschitziennes, nous avons donn´e l’existence de solutions
faibles de l’inclusion di1´erentielle fonctionnelle `a retard ni
P()x(t)Lxt+F(t, xt),tI
x0=
o`uL:CEest un op´erateur lin´eaire continu et Fest une multiapplication -
Lipschitzienne `a valeurs dans CC(E), sous-ensemble de parties non vides convexes
et compactes de E,v´eri ant certaines hypoth`eses.
Dans ce papier, nous allons ´etudier la mˆeme inclusion di1´erentielle fonctionnelle
mais `a retard in ni sous une hypoth`ese plus faible sur le bornage de F.
Dans [4,5,6,9,10,11,12,15,16,..] le lecteur trouvera des informations et r´ef´erences
sur les inclusions di1´erentielles (ou fonctionnelles) et leurs applications.
2. Pr´ eliminaires
D´esignons par B:= B(IR ;E) l’espace vectoriel des fonctions d´e nies sur IR `a
valeurs dans Emuni d’une semi-norme not´ee |.|B.
E[a]={x:],a]E:x0Bet x|Iest continue}pour a>0.
E={x:IR E:x0Bet x|IR +est continue }.
Dans la suite de ce travail, nous supposons que l’espace de phases Bsatisfait les
axiomes suivants:
A)Best un espace complet.
B1)SixE[a] (resp. E), alors xtBet la fonction t xtest continue pour
tout tI(resp. tIR +).
B2) Il existe une constante l>0 et deux fonctions K, M :IR +IR +telles que
-Kest continue sur IR +;
-Mest localement born´ee;
- pour toute fonction xE[a] (resp. E)ettouttI(resp. tIR +),
1
l|x(t)|E|xt|BK(t)sup
0st
|x(s)|E+M(t)|x0|B.
C)Si(n) est une suite de Cauchy dans Bet si lim
nsup
K
|n()()|E=0pour
tout compact KIR ,alorsBet lim
n|n|B=0.
Nous notons par
Ka=sup
tI
K(t)etMa=sup
tI
M(t).
Pour des exemples d’espaces de phases Bqui v´eri ent les axiomes pr´ec´edents voir
par exemple [7,8,14,···].

SOLUTIONS FAIBLES D’UNE INCLUSION DIFF´ ERENTIELLE 63
Rappelons (voir [14]) que le probl`eme de Cauchy non homog`ene
(N.H)x(t)=Lxt+h(t),t0
x0=,B
admet une unique solution xEC1(IR +;E) donn´eepar
x(t)=(T(t))(0) + t
0U(ts)(h(s))ds si t0
(t)sit0
o`u pour tout t0, l’op´erateur T(t):BBest d´e ni par T(t)=xtet
l’op´erateur U(t):EEest d´e ni par
U(t)e=(xe)(t),t0
o`uxeest l’unique solution du probl`eme
x(t)=Lxt+e, t 0eteE
x0=0.
U(t)estunop´erateur lin´eaire continu et la famille d’op´erateurs (T(t))t0d´e nie
un semi-groupe lin´eaire de classe (C0) satisfaisant la propri´et´e de translation:
(T(t))()=(t+)sit+0
(T(t+))(0) si t+0
pour tIR +,IR et B.
Soit Bun sous-ensemble born´edeE, la mesure de non-compacit´edeBest le
nombre r´eel (B) (voir par exemple, [5,11]) d´e ni par
(B)=infd>0:Best recouvert par un nombre ni de
sous-ensembles de Ede diam`etre d.
En n, soit Kun sous-ensemble convexe et ferm´edeE,?Kun ouvert born´e
relativement `a la topologie de K,?et ?d´esignent respectivement la fermeture
et le bord de ?par rapport `a la topologie de K.
Soit @:?CC(K) une multiapplication ferm´eeet-Lipschitzienne, i.e.
k[0,1[: B?(@(B)) k(B).
Supposons que l’ensemble des points xes de @:Fix@={x?:x@(x)},
n’a pas d’intersection avec le bord ?. Alors, par les travaux [2,3], le degr´e
topologique deg(@,?)peutˆetre d´e ni. Ce degr´e topologique a les propri´et´es
suivantes:
i)
deg (@,?)=1si@(?)?
0si@(?)K\?.

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ii) Si les multiapplications ferm´ees et -Lipschitziennes @0,@1:?CC(K)
sont homotopiques, i.e. il existe une famille de multiapplications ferm´ees et -
Lipschitziennes, H:?×[0,1] CC(K) telles que
[
[0,1]FixH(., )] ?=et H(., 0) = @0,H(., 1) = @1,
alors deg(@0,?) = deg(@1,?).
iii) Si deg(@,?)=0alors=Fix@?.
Dans la suite de ce travail, nous supposons que Eest un espace de Banach
s´eparable.
3. Inclusion semi-lin´ eaire
Consid´erons le probl`eme semi-lin´eaire suivant
P()x(t)Lxt+F(t, xt),tI
x0=
o`u(a, )IR +
×B,Let Fv´eri ent les hypoth`eses suivantes:
H1)L:BEest un op´erateur lin´eaire continu.
H2)F:I×B CC(E) (ensemble non vide de parties convexes et compactes de
E) est une multiapplication v´eri ant les conditions suivantes:
F1)Pourtout!B,la multiapplication F(., !) admet une s´election mesurable.
Enparticulier(F1) est satisfaite si F(., !) est mesurable pour tout !B(voir,
[4]);
F2) pour presque tout tI, la multiapplication F(t, .) est semi-continue
sup´erieurement (s.c.s. en bref), i.e. {!B:F(t, !)V}est un sous-ensemble
ouvert de Bpour tout ouvert VE;
F3) pour tout sous-ensemble born´e non vide BB, il existe une fonction
mL1
+(I) telle que, pour tout !Bet pour presque tout tI
F(t, !):= sup{|y|E:yF(t, !)}m(t)h(|!|B)
o`uhest une fonction continue strictement croissante sur [0,+[eth>0sur
]0,+[;
F4)ilexisteunr´eel k0 tel que, pour tout born´e non vide BBet tout
tI
(F(t, B)) k0(B)
o`u0est la mesure de non-compacit´e sur B,k< 1
Net N=sup
tI
U(t).
Pour xE[a],posons Gx:ICC(E) la multiapplication d´e nie par
Gx(t)=F(t, xt).Par les conditions F1)F3)ilr´esulte que pour tout xE[a]
I1
Gx:= {fL1(I;E):f(t)Gx(t) p.p.}=.

SOLUTIONS FAIBLES D’UNE INCLUSION DIFF´ ERENTIELLE 65
D´enition 3.1. Une fonction xE[a] est dite une solution faible du probl`eme
P() s’il existe une fonction fI1
Gxtelle que
x(t)=(T(t))(0) + t
0U(ts)(f(s))ds si tI
(t)sit]-,0].
Notons par
E[a]={x:]-,a]E:x0=etx
|Iest continue },
C0={yC(I;E):y(0) = 0}.
Pour tout yC0,consid´erons la fonction ˜yE[a]d´e nie par
˜y(t)=0sit0
y(t)sitI.
Posons pour B,
˜(t)=(t)sit0
(T(t))(0) si tI.
D’apr`es l’axiome B1)˜t,˜ytBet les fonctions t ˜t,t ˜ytsont continues
sur I.
Consid´erons l’op´erateur @d´e ni sur C0par
@y={zC0:z(t)=t
0
U(ts)(f(s))ds pour tIet fI1
Gy+˜}.
IlestfaciledevoirquexE[a] est une solution faible du probl`eme P()si,et
seulement si, x=˜y+˜o`uy@yet que l’ensemble @yest non vide et convexe
pour tout yC0.
Par des raisonnements classiques (voir [10,15]), nous obtenons le lemme suivant:
Lemme 3.1. L’op´erateur @est ferm´e.
Pour tout born´e ?C0, l’ensemble @? est born´eet´equicontinu.
Pour tout born´e ?C0
1
0(@?)k11 0(?)
o`u1
0est la mesure de non-compacit´esurC0avec k1=kN < 1.
Th´eor`em3.1. Sous les hypoth`eses (H1),(H2)et s’il existe une constante (>0
telle que sup
tI
|x(t)|E<(, pour chaque xsolution faible du probl`eme
P()x(t)Lxt+ F(t, xt),tI, [0,1]
x0=
alors, le probl`eme P()admet au moins une solution faible.