cours de m2 introduction`a la g´eom´etrie alg´ebrique ´ecole

Yves Laszlo
COURS DE M2
INTRODUCTION ` A LA
G´ EOM´ ETRIE ALG´ EBRIQUE
´
ECOLE POLYTECHNIQUE 2004-2005

Yves Laszlo
´
Ecole Polytechnique, CMLS, 91128 Palaiseau, France.
E-mail : [email protected]

COURS DE M2
INTRODUCTION ` A LA G´ EOM´ ETRIE ALG´ EBRIQUE
´
ECOLE POLYTECHNIQUE 2004-2005
Yves Laszlo

TABLE DES MATI` ERES
1. Introduction .......................................................................... 9
2. Motivations g´eom´etriques .......................................................... 11
2.1. Fonctions continues sur les compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Fonctions alg´ebriques sur l’espace affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Le th´eor`eme des z´eros de Hilbert et ses variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4. Vari´et´es alg´ebriques affines sur un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5. Spectres finis ...................................................................... 16
3. La notion de sch´ema ................................................................ 19
3.1. Spectre d’anneau : espace topologique sous-jacent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Irr´eductibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3. Spectre d’anneau : faisceau structural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4. Morphismes d’espaces localement annel´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5. Sch´emas affines : morphismes ...................................................... 25
3.6. Annel´e ou localement annel´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.7. La notion de sch´ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.8. Le morphismes de Frobenius absolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4. Faisceaux-quasi coh´erents, sous-sch´emas .......................................... 31
4.1. Faisceaux quasi-coh´erents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2. Op´erations sur les faisceaux quasi-coh´erents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3. La notion de sous-sch´ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4. Points d’un S-sch´ema .............................................................. 36
5. Construction de sch´emas ............................................................ 39
5.1. Foncteurs repr´esentables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2. L’exemple de la droite affine ........................................................ 40
5.3. L’exemple du recollement .......................................................... 41
5.4. Recollement g´en´eraux .............................................................. 43
5.5. Produit ............................................................................ 45
5.6. Le morphisme de Frobenius relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.7. Fibres .............................................................................. 47
5.8. Projectif et recollement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.9. La construction Proj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.10. Coordonn´ees homog`enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.11. Foncteurs des points du projectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.12. La terminologie des syst`emes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.13. Faisceaux quasi-coh´erents sur le projectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58