DEA Méthodes Algébriques (2005

DEA M´ethodes Alg´ebriques (2005-2006)
cours de Laszlo ‘G´eom´etrie alg´ebrique’
Feuille d’exercises N02
1) Soit Xun sch´ema, Spec A, Spec B⊂Xdeux ouverts affines et xun point de Spec A∩Spec B.
Montrer qu’ils existent a∈A, b ∈Btel que les ouverts Spec Aaet Spec Bbde Xcoincident et
contiennent le point x.
2) Soit kun corps alg´ebriquement clos, f∈k[x1, x2, x3] un polynˆome homog`ene et Y⊂P2
kle
sous-sch´ema ferm´e definit par f. Supposons que pour tout k-point p∈Y(k) au moins une des
valeurs df
dxi(p) est non nul. Alors, fest irr´eductible et Yn’a pas de points singuliers.
3) Le groupe multiplicatif est Gm= Spec Z[t, t−1]. Le groupe additif est Ga= Spec Z[t].
D´efinir une structure de sch´ema en groupe sur Gmet Ga. Montrer que pour un sch´ema S
on a Hom(S, Ga) = H0(X, O) et Hom(S, Gm) = {´elements enversibles de H0(X, O)}comme les
groupes ab´eliens.
Montrer que tout homomorphisme des sch´emas en groupes Ga→Gmest trivial. De mˆeme
pour les homomorphismes Gm→Ga. Montrer que tout homomorphisme Gm→Gmest de la
forme x7→ xdpour d∈Z.
4) Soit Xun sch´ema entier (c’est-a-dire, irr´eductible et r´eduit) et quasi-compact. Soit Kle corps
de fonctions de X(c’est-a-dire, l’anneau local au point g´en´erique). Notons A= H0(X, O). On
suppose que Kest le corps des fractions de A. Soit f:X→Spec Ale morphisme qui correspond
`a id : Af→H0(X, O). Montrer qu’il existe un ´el´ement α∈Atel que f:f−1(D(α)) →D(α) est
un isomorphisme, o`u D(f) = Spec Aα.
5a) Lemme de representabilit´e de Grothendieck.
Soit Sun sch´ema et F: Sch/S →Sets un foncteur contravariant. Soit G⊂Fun sous-foncteur,
c’est-`a-dire, G(Z)⊂F(Z) pour tout S-sch´ema Z. Notons hZ: Sch/S →Sets le foncteur
represent´e par un S-sch´ema Z. Pour z∈F(Z) on note G×FZ: Sch/S →Sets le foncteur qui
associe `a un S-sch´ema Z0l’ensemble des morphismes f:Z0→Zsur Stel que f∗(z)∈G(Z0).
Ici f∗(z) est l’image de zpar f∗:F(Z)→F(Z0).
On dit que Gest sous-foncteur ouvert de Fsi pour tout S-sch´ema Zet tout z∈F(Z) le
sous-foncteur G×FZ⊂hZest representable par un ouvert de Z.
D´emontrer le theoreme suivant.
Theorem 1. Soit F: Sch/S →Sets un foncteur contravariant et Fi⊂Fles sous-foncteurs
ouverts pour i= 1, . . . , d. Supposons que (Fi)est une famille couvrante de F, c’est-`a-dire, pour
tout Z∈Sch/S et tout z∈F(Z)les ouverts Fi×FZcouvre Z.
Supposons que pour tout S-sch´ema Z,Fest un faisceau d’ensembles sur la topologie de
Zarisky de Z. Alors, Fest representable.
5b) Soit kun corps et Vun k-espace vectoriel de dimension n. Soit Gr(r, V )(k) = {sous-espaces
vectoriels V0⊂V|dim V0=r}. Introduire un k-sch´ema Gr(r, V ) tel que ses k-points sont
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Gr(r, V )(k). Considerer d’abord le foncteur qui associe `a un k-sch´ema Sl’ensemble des classes
d’isomorphisme des couples (L, t), o`u Lest un OS-module localement libre de rang n−ret
t:OS⊗kV→Lest un morphisme surjective des OS-modules.
Montrer que ce foncteur est representable en utilisant 5a).
Pour V=knon note Gr(r, n) = Gr(r, kn). Montrer que Gr(r, n) provient (par extension des
scalaire) d’un sch´ema (r´eduit de type fini) sur Z. D´ecrire le foncteur des points de Gr(r, n).
5c) Le sch´ema Gr(r, V )est projective. Consid`erer l’application Gr(r, V )→P(∧rV) qui envoit
V0sur ∧rV0. D´efinir ce morphisme au niveau des sch´emas, montrer que c’est une immersion
ferm´ee.
6) Soit Xun espace topologique et X=∪n
i=1Uiun couvrement ouvert. Supposons que Uiest
irreductible de dimension det que Ui∩Ujest non vide pour tout i, j. Montrer que Xest
irr´eductible.
Appliquer ¸ca pour voir que Gr(r, n) est irr´eductible.
7) Soit Xun sch´ema r´eduit et f:X→Yun morphisme des sch´emas. Soit Y0⊂Yun sous-
sch´ema ferm´e. Si l’application d’ensembles X→Yse factorise par sous-ensemble Y0⊂Y, alors
fs’ecrit comme le compos´e de deux morphismes de sch´emas X→Y0→Y.
8) Soit A→Bun homomorphisme d’anneau injective. Alors Spec B→Spec Aest dominant,c’est-
`a-dire, son image est dense dans Spec A.
9) Soit Xun espace topologique et Z⊂Xun ferm´e irreductible. Un point generique de Zest
un point z∈Ztel que Zest l’adherence de {z}. Soit Xun sch´ema. Montrer que tout ferm´e
non vide irr´eductible Z⊂Xadmet un unique point g´en´erique.
10) Soit Xun sch´ema et f∈H0(X, O). Soit Xf={x∈X|fx/∈mx}, o`u mx⊂ OX,x est l’id´eal
maximal et fxest l’image de fdans OX,x.
Soit f1, . . . , fn∈H0(X, O) = Atel que Xfiest affine pour tout i. Supposons que A=
(f1, . . . , fn). Montrer que Xest affine.
11) Image schematique. Soit f:Z→Xun morphisme de sch´emas. Montrer qu’il existe un sous-
sch´ema ferm´e Y →Xtel que fse factorise comme Z→Y→Xet que pour tout diagramme
commutatif Y0→X
↑ % f
Z,
o`u Y0est un sous-sch´ema ferm´e de Xil existe un morphisme Y→Y0sur X(il est automatique-
ment unique). Le sous-sch´ema ferm´e Y →Xs’appelle l’image schematique de f.
Si Zest r´eduit, alors Yest l’adherence de l’image de favec sa strurture de sch´ema r´eduit.
12) Soit Sun sch´ema, Xun S-sch´ema r´eduit et Yun S-sch´ema s´epar´e. Soit f, g :X→Ydeux
morphismes de S-sch´emas, qui coincident sur un ouvert dense U⊂X. Montrer que f=g.
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13) Soit (X, O) un espace annel´e et F,G,Htrois fasceaux de O-modules sur X. On note
Hom(F,G) le faisceau U7→ HomO(U)(F(U),G(U)) sur X. Montrer qu’on a un isomorphisme
des OX-modules
Hom(F ⊗OG,H)f→Hom(F,Hom(G,H))
14) Soit kun corps et x, y deux variables independants. D´ecrire le sch´ema Spec k(x)⊗kk(y).
15) Soit Sun sch´ema et Fun faisceau quasi-coherent sur S. Soit J ⊂ O le faisceau d’ideaux
donn´e par J(U) = {f∈ O(U)|fF (U) = 0}. Le sous-sch´ema ferm´e V(J)→Sest le support
de F. Montrer que pour s∈Son a Fs6= 0 ssi s∈V(J). Montrer aussi que sur un ouvert
Spec A⊂S,Jest le faisceau d’ideaux associ´e `a Ann(F(Spec A)) = {a∈A|a(F(Spec A)) = 0}.
16) Soit kun corps. D´efinir l’action de PGLd+1 sur Pd
k. Montrer que tout automorphisme de
Pd
kest induit de cette fa¸con par un element de PGLn(k).
17) Montrer que la droite avec origine redoubl´e n’est pas un sch´ema affine.
20) Soit S=⊕i≥0Siun anneau gradu´e. Soient Met M0deux S-modules gradu´es tel que
Mi=M0
ipour iassez grand. Identifier les faisceaux quasi-coherents ˜
Met ˜ M0sur Proj S.
21a) Soit Bun anneau et f: Spec B→Anun morphisme donn´e par Z[x1, . . . , xn]→Bqui
envoit xien bi. Montrer que fse factorise par An− {0}ssi (b1, . . . , bn) = B.
b) Point de l’espace projectif sans coordonn´ees homog`enes. Rappelons un morphisme naturel
π:An+1 − {0} → Pn. V´erifier que π∗O(1) est triviale (isomorphe `a O). Montrer que π∗O=
⊕d∈ZO(d).
Montrer qu’un T-point m:T→Pnse factorise par πssi m∗O(1) est trivial. Soit A=Z[√−5]
et T= Spec A. Soit J= (2,1 + √−5) ⊂A. Montrer que ˜ Jest un faisceau inversible sur T,
d´efinir une surjection O2
T→˜
Ide OT-modules. Montrer que ˜ Jn’est pas trivial. Le A-point
correspondant de P1n’a pas de coordonn´ees homog`enes.
22) Soit kun corps alg´ebriquement clos, f∈k[x0, . . . , xn] homog`ene de deg d<n. Montrer que
le sous-sch´ema ferm´e Yde Pn
kdonn´e par f(x) = 0 est couvert par les droites.
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