DEA Méthodes Algébriques (2005

DEA Méthodes Algébriques (2005-2006)
cours de Laszlo ‘Géométrie algébrique’
Feuille d’exercises N0 2
1) Soit X un schéma, Spec A, Spec B ⊂ X deux ouverts affines et x un point de Spec A ∩ Spec B.
Montrer qu’ils existent a ∈ A, b ∈ B tel que les ouverts Spec Aa et Spec Bb de X coincident et
contiennent le point x.
2) Soit k un corps algébriquement clos, f ∈ k[x1 , x2 , x3 ] un polynôme homogène et Y ⊂ P2k le
sous-schéma fermé definit par f . Supposons que pour tout k-point p ∈ Y (k) au moins une des
df
valeurs dx
(p) est non nul. Alors, f est irréductible et Y n’a pas de points singuliers.
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3) Le groupe multiplicatif est Gm = Spec Z[t, t−1 ]. Le groupe additif est Ga = Spec Z[t].
Définir une structure de schéma en groupe sur Gm et Ga . Montrer que pour un schéma S
on a Hom(S, Ga ) = H0 (X, O) et Hom(S, Gm ) = {élements enversibles de H0 (X, O)} comme les
groupes abéliens.
Montrer que tout homomorphisme des schémas en groupes Ga → Gm est trivial. De même
pour les homomorphismes Gm → Ga . Montrer que tout homomorphisme Gm → Gm est de la
forme x 7→ xd pour d ∈ Z.
4) Soit X un schéma entier (c’est-a-dire, irréductible et réduit) et quasi-compact. Soit K le corps
de fonctions de X (c’est-a-dire, l’anneau local au point générique). Notons A = H0 (X, O). On
suppose que K est le corps des fractions de A. Soit f : X → Spec A le morphisme qui correspond
à id : A f
→ H0 (X, O). Montrer qu’il existe un élément α ∈ A tel que f : f −1 (D(α)) → D(α) est
un isomorphisme, où D(f ) = Spec Aα .
5a) Lemme de representabilité de Grothendieck.
Soit S un schéma et F : Sch/S → Sets un foncteur contravariant. Soit G ⊂ F un sous-foncteur,
c’est-à-dire, G(Z) ⊂ F (Z) pour tout S-schéma Z. Notons hZ : Sch/S → Sets le foncteur
representé par un S-schéma Z. Pour z ∈ F (Z) on note G ×F Z : Sch/S → Sets le foncteur qui
associe à un S-schéma Z 0 l’ensemble des morphismes f : Z 0 → Z sur S tel que f ∗ (z) ∈ G(Z 0 ).
Ici f ∗ (z) est l’image de z par f ∗ : F (Z) → F (Z 0 ).
On dit que G est sous-foncteur ouvert de F si pour tout S-schéma Z et tout z ∈ F (Z) le
sous-foncteur G ×F Z ⊂ hZ est representable par un ouvert de Z.
Démontrer le theoreme suivant.
Theorem 1. Soit F : Sch/S → Sets un foncteur contravariant et Fi ⊂ F les sous-foncteurs
ouverts pour i = 1, . . . , d. Supposons que (Fi ) est une famille couvrante de F , c’est-à-dire, pour
tout Z ∈ Sch/S et tout z ∈ F (Z) les ouverts Fi ×F Z couvre Z.
Supposons que pour tout S-schéma Z, F est un faisceau d’ensembles sur la topologie de
Zarisky de Z. Alors, F est representable.
5b) Soit k un corps et V un k-espace vectoriel de dimension n. Soit Gr(r, V )(k) = {sous-espaces
vectoriels V 0 ⊂ V | dim V 0 = r}. Introduire un k-schéma Gr(r, V ) tel que ses k-points sont
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Gr(r, V )(k). Considerer d’abord le foncteur qui associe à un k-schéma S l’ensemble des classes
d’isomorphisme des couples (L, t), où L est un OS -module localement libre de rang n − r et
t : OS ⊗k V → L est un morphisme surjective des OS -modules.
Montrer que ce foncteur est representable en utilisant 5a).
Pour V = k n on note Gr(r, n) = Gr(r, k n ). Montrer que Gr(r, n) provient (par extension des
scalaire) d’un schéma (réduit de type fini) sur Z. Décrire le foncteur des points de Gr(r, n).
5c) Le schéma Gr(r, V ) est projective. Considèrer l’application Gr(r, V ) → P(∧r V ) qui envoit
V 0 sur ∧r V 0 . Définir ce morphisme au niveau des schémas, montrer que c’est une immersion
fermée.
6) Soit X un espace topologique et X = ∪ni=1 Ui un couvrement ouvert. Supposons que Ui est
irreductible de dimension d et que Ui ∩ Uj est non vide pour tout i, j. Montrer que X est
irréductible.
Appliquer ça pour voir que Gr(r, n) est irréductible.
7) Soit X un schéma réduit et f : X → Y un morphisme des schémas. Soit Y 0 ⊂ Y un sousschéma fermé. Si l’application d’ensembles X → Y se factorise par sous-ensemble Y 0 ⊂ Y , alors
f s’ecrit comme le composé de deux morphismes de schémas X → Y 0 → Y .
8) Soit A → B un homomorphisme d’anneau injective. Alors Spec B → Spec A est dominant,c’està-dire, son image est dense dans Spec A.
9) Soit X un espace topologique et Z ⊂ X un fermé irreductible. Un point generique de Z est
un point z ∈ Z tel que Z est l’adherence de {z}. Soit X un schéma. Montrer que tout fermé
non vide irréductible Z ⊂ X admet un unique point générique.
10) Soit X un schéma et f ∈ H0 (X, O). Soit Xf = {x ∈ X | fx ∈
/ mx }, où mx ⊂ OX,x est l’idéal
maximal et fx est l’image de f dans OX,x .
Soit f1 , . . . , fn ∈ H0 (X, O) = A tel que Xfi est affine pour tout i. Supposons que A =
(f1 , . . . , fn ). Montrer que X est affine.
11) Image schematique. Soit f : Z → X un morphisme de schémas. Montrer qu’il existe un sousschéma fermé Y ,→ X tel que f se factorise comme Z → Y → X et que pour tout diagramme
commutatif
Y0 → X
↑ %f
Z,
où Y 0 est un sous-schéma fermé de X il existe un morphisme Y → Y 0 sur X (il est automatiquement unique). Le sous-schéma fermé Y ,→ X s’appelle l’image schematique de f .
Si Z est réduit, alors Y est l’adherence de l’image de f avec sa strurture de schéma réduit.
12) Soit S un schéma, X un S-schéma réduit et Y un S-schéma séparé. Soit f, g : X → Y deux
morphismes de S-schémas, qui coincident sur un ouvert dense U ⊂ X. Montrer que f = g.
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13) Soit (X, O) un espace annelé et F, G, H trois fasceaux de O-modules sur X. On note
Hom(F, G) le faisceau U 7→ HomO(U ) (F(U ), G(U )) sur X. Montrer qu’on a un isomorphisme
des OX -modules
Hom(F ⊗O G, H) f
→ Hom(F, Hom(G, H))
14) Soit k un corps et x, y deux variables independants. Décrire le schéma Spec k(x) ⊗k k(y).
15) Soit S un schéma et F un faisceau quasi-coherent sur S. Soit J ⊂ O le faisceau d’ideaux
donné par J (U ) = {f ∈ O(U ) | f F (U ) = 0}. Le sous-schéma fermé V (J ) ,→ S est le support
de F . Montrer que pour s ∈ S on a Fs 6= 0 ssi s ∈ V (J ). Montrer aussi que sur un ouvert
Spec A ⊂ S, J est le faisceau d’ideaux associé à Ann(F (Spec A)) = {a ∈ A | a(F (Spec A)) = 0}.
16) Soit k un corps. Définir l’action de PGLd+1 sur Pdk . Montrer que tout automorphisme de
Pdk est induit de cette façon par un element de PGLn (k).
17) Montrer que la droite avec origine redoublé n’est pas un schéma affine.
20) Soit S = ⊕i≥0 Si un anneau gradué. Soient M et M 0 deux S-modules gradués tel que
Mi = Mi0 pour i assez grand. Identifier les faisceaux quasi-coherents M̃ et M̃ 0 sur Proj S.
21a) Soit B un anneau et f : Spec B → An un morphisme donné par Z[x1 , . . . , xn ] → B qui
envoit xi en bi . Montrer que f se factorise par An − {0} ssi (b1 , . . . , bn ) = B.
b) Point de l’espace projectif sans coordonnées homogènes. Rappelons un morphisme naturel
π : An+1 − {0} → Pn . Vérifier que π ∗ O(1) est triviale (isomorphe à O). Montrer que π∗ O =
⊕d∈Z O(d).
√
n
∗
Montrer qu’un T -point m : T →
√P se factorise par π ssi m O(1) est trivial. Soit A = Z[ −5]
et T = Spec A. Soit J = (2, 1 + −5) ⊂ A. Montrer que J˜ est un faisceau inversible sur T ,
définir une surjection OT2 → I˜ de OT -modules. Montrer que J˜ n’est pas trivial. Le A-point
correspondant de P1 n’a pas de coordonnées homogènes.
22) Soit k un corps algébriquement clos, f ∈ k[x0 , . . . , xn ] homogène de deg d < n. Montrer que
le sous-schéma fermé Y de Pnk donné par f (x) = 0 est couvert par les droites.
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