Feuille 5 - IMJ-PRG

Université Paris Diderot
M2 Théorie des faisceaux et des schémas
Feuille d’exercice 5
1. Soit Xun schéma dont l’ensemble sous-jacent contient au plus deux points, montrer
que Xest un schéma affine.
2. Soient i:R→Cle morphisme d’inclusion et f: Spec C→Rle morphisme de schémas
correspondant à i. Soit j:C→C⊗RCle morphisme d’anneaux qui envoie z∈Csur
z⊗1.
(1) Montrer que le morphisme d’anneau jcorrespond au morphisme de schémas fC
déterminé par le diagramme cartésien
Spec C×Spec RSpec C//
fC
Spec C
f
Spec Cf
//Spec R
(2) Construire deux morphismes de R-algèbres distincts αet βde C⊗RCdans Ctels
que αj =βj = 1C.
(3) En déduire que fCn’est pas une application injective et que le morphisme fest
injectif mais pas universellement injectif.
3. Soient kun corps et Iun ensemble infini. Soit Al’anneau produit kI.
(1) Montrer que, pour tout i∈I, la projection de Adans ksur la coordonnée d’indice
iidentifie kà un anneau quotient de A.
(2) Pour tout i∈I, soit xile point de Spec Acorrespondant à la projection A→ksur
la coordonnée d’indice i. Montrer que xiest un point fermé et ouvert.
(3) En déduire que Spec Acontient au moins un point qui n’est pas dans {xi}i∈I.
(4) Construire une immersion ouverte d’un schéma dans Spec Aqui n’est pas quasi-
compact.
4. Soient Xun schéma et f:Y→Xune immersion fermée.
(1) Montrer que fest quasi-compact et quasi-séparé.
(2) En déduire que f∗(OY)est un OX-module quasi-cohérent.
(3) Montrer que le morphisme structurel f#:OX→f∗(OY)est un épimorphisme.
5. Soit Xun schéma. Soit Iun sous-OX-module quasi-cohérent de OX(appelé un idéal
quasi-cohérent). Montrer que, à isomorphisme près, il existe une unique immersion
fermée f:Y→Xtelle que f∗(OY)∼
=OX/I.
6. Construire un morphisme de schémas qui n’est pas séparé.

7. On dit qu’un espace topologique Xest noethérien si toute chaîne décroissante Y0⊃
Y1⊃Y2⊃. . . de sous-ensembles fermés de Xest stationnaire.
(1) Montrer que le spectre premier d’un anneau noethérien est un espace topologique
noethérien.
(2) Construire un anneau non-noethérien Atel que Spec Asoit un espace topologique
noethérien.
(3) Soit Xun espace topologique noethérien.
(i) Montrer que Xest quasi-compact.
(ii) Montrer que tout sous-ensemble de Xmuni de la topologie induite est un
espace topologique noethérien.
(iii) Montrer que Xn’admet qu’un nombre fini de composantes irréductibles.
8. Soit Xun schéma. On dit qu’un ouvert Ude Xest schématiquement dense si le mor-
phisme structurel i#:OX→i∗(OU)est un monomorphisme, où i:U→Xdésigne
l’application d’inclusion. Soient ϕ:X→Set ψ:Y→Sdeux morphismes de sché-
mas, où ψest séparé. Montrer que si fet gsont deux S-morphismes de Xdans Yqui
coïncident sur un sous-ensemble ouvert schématiquement dense de X, alors on a f=g.