Fonctions : comparaison

Fonctions : comparaison - op´erations
1 Restriction d’une fonction
D´efinition 1 Soit fune fonction d´efinie sur Dfet soit Iun intervalle de Rinclus dans Df.
La restriction de f`a Iest la fonction gd´efinie sur Ipar g(x)=f(x)
2 Comparaison de deux fonctions
2.1 Egalit´ededeuxfonctions
D´efinition 2 Soient fet gdeux fonctions d´efinies respectivement sur Dfet Dg.
f=g⇔½Df=Dg.
∀x∈Df:f(x)=g(x)
2.2 Notation f≤g
D´efinition 3 Soient fet gdeux fonctions d´efinies respectivement sur Dfet Dg.
Soit Iun intervalle inclus dans Dfet dans Dg.
f≤gsur I⇔∀x∈I:f(x)≤g(x)
Remarque 1 On d´efinit de mani`ere analogue f≥gsur I, f < g sur Iet f>gsur I.
Interpr´etation graphique : f≤gsur I⇔Cfen dessous de Cgsur I
D´efinition 4 On dit que fest positive sur I⊂Dfet on note f≥0si∀x∈I:f(x)≥0
f≥0surI⇔∀x∈I:f(x)≥0
Interpr´etation graphique : La courbe repr´esentative de la restriction de f`a Iest situ´ee au
dessus de l’axe des abscisses.
Remarque 2 On d´efinit de mani`ere analogue f>0surI, f ≤0surIet f<0surI
D´efinition 5 On dit qu’une fonction fest born´ee sur un intervalle Iinclus dans Dfs’il existe
deux nombres met Mtels que ∀x∈I:m≤f(x)≤M
Remarque 3 Si ∀x∈I:f(x)≤Mon dit que fest major´ee sur I
Si ∀x∈I:f(x)≥mon dit que fest minor´ee sur I
Si fest `alafoismajor´ee et minor´ee sur I, elle est born´ee sur I

Fonctions : Comparaison - op´erations 2
3Op´erations sur les fonctions
3.1 Somme
D´efinition 6 Soient fet gdeux fonctions d´efinies respectivement sur Dfet Dg.
La fonction f+gest la fonction d´efinie sur Df∩Dgpar (f+g)(x)=f(x)+g(x)
3.2 Multiplication par un r´eel
D´efinition 7 Soit fune fonction d´efinie sur Dfet soit λ∈R
La fonction λfest la fonction d´efinie sur Dfpar (λf)(x)=λ.f (x)
3.3 Produit
D´efinition 8 Soient fet gdeux fonctions d´efinies respectivement sur Dfet Dg.
La fonction f.g est la fonction d´efinie sur Df∩Dgpar (f.g)(x)=f(x).g (x)
3.4 Quotient
D´efinition 9 Soient fet gdeux fonctions d´efinies respectivement sur Dfet Dg.
La fonction f
gest la fonction d´efinie sur Df∩Dg−{x∈R:g(x)=0}par µf g¶(x)=f(x) g(x)
Remarque 4 On d´efinit la fonction inverse 1
fde mani`ere analogue
3.5 Composition
D´efinition 10 Si fet gsont deux fonctions d´efinies respectivement sur Dfet Dgla fonction
compos´ee f◦gest la fonction d´efinie par
(f◦g)(x)=f[g(x)]
Remarque 5 Pour que la d´efinition ait un sens, il faut que x∈Dget que g(x)∈Df
Remarque 6 En g´en´eral, f◦g6=g◦f
4 Variations d’une fonction
4.1 D´efinitions
D´efinition 11 Soit fune fonction d´efinie sur Dfet soit Iun intervalle inclus dans Df.
1. On dit que fest croissante sur Ilorsque ∀(a, b)∈I2:a<b⇒f(a)≤f(b).
2. On dit que fest d´ecroissante sur Ilorsque ∀(a, b)∈I2:a<b⇒f(a)≥f(b).
3. On dit que fest strictement croissante sur Ilorsque ∀(a, b)∈I2:a<b⇒f(a)<f(b).
4. On dit que fest strictement d´ecroissante sur Ilorsque ∀(a, b)∈I2:a<b⇒f(a)>f(b).
5. On dit que fest monotone sur Isi festsoitcroissantesurI, soit d´ecroissante sur I.
6. On dit que fest strictement monotone sur Isi fest soit strictement croissante sur I,soit
strictement d´ecroissante sur I.

Fonctions : Comparaison - op´erations 3
4.2 Monotonie et op´erations
Th´eor`eme 1 Soit fmonotone sur Iet soit λ∈R.
Alors la fonction λfest monotone sur I. Plus pr´ecis´ement :
Si λ>0,fet λfsont de mˆeme monotonie.
Si λ<0,fet λfsont de monotonie diff´erente.
Th´eor`eme 2 Soient fet gdeux fonctions qui sont de mˆeme monotonie sur I.
Alors la fonction f+gest monotone sur I. Plus pr´ecis´ement :
Si fet gsont croissantes sur I, f +gest croissante sur I.
Si fet gsont d´ecroissantes sur I, f +gest d´ecroissante sur I.
Th´eor`eme 3 Soit fune fonction monotone sur Iet gune fonction monotone sur un intervalle
Jtel que ∀x∈J:g(x)∈I. Alors :
•f◦gest croissante sur Jsi fet gsont de mˆeme monotonie.
•f◦gest d´ecroissante sur Jsi fet gsont de monotonie diff´erente.