Exponentielle de base a

Exponentielle de base a
page 1 de 1
Exponentielle de base a
I
Questions de cours
1. La fonction exponentielle de base a (a > 0) est la fonction définie sur R par
expa (x) = ax = ...? (définition avec e et ln)
Pour a > 0, x réel, et y > 0, on a l’équivalence : ax = y ⇔ x = ...?
ln(ax ) = ...?
1
2. a0 = ...? , x = ...? (pour a > 0)
a
3. Pour tous réels x et y et pour tout entier relatif n :
ax+y = ...? , ax−y = ...? , axy = ...? , a−x = ...? (pour a > 0)
a x
= ...? (pour a > 0 et b > 0)
(ab)x = ...? ;
b
4. Signe : pour tout x réel, ax est ...? (pour a > 0)
5. Dérivée : exp0a (x) = ...? (se déduit de (eu )0 = ...? )
6. Sens de variation : pour a > ...? , la fonction x 7→ ax est strictement croissante
sur R et ses limites sont ...?
pour ...? , la fonction x 7→ ax est strictement décroissante sur R et ses limites sont
...?
Pour s’en souvenir,
courbes de
les
x mémoriser
x
1
1
−x
x x
= 2 ,
= e−x . Ces courbes montrent aussi les limites.
x 7→ e , 2 ,
2
e
Tracer ces courbes sur un même dessin avec en particulier les points d’abscisses
0; 1 et −1.
II
Exemples
1. Résoudre 22x+1 = 3x
L’équation équivaut à e(2x+1) ln(2) = ex ln(3) , c’est-à-dire à (2x + 1) ln(2) = x ln(3),
ln(2)
soit x(2 ln(2) − ln(3)) = − ln(2), soit x = −
2 ln(2) − ln(3)
2. Résoudre (0, 5)x < 2
l’inéquation équivaut à ex ln(0,5) < eln(2) , soit x ln(0, 5) < ln(2).
Attention, piège : Or 0, 5 < 1, donc ln(0, 5) < 0, donc l’ensemble des solutions est
ln(2)
x>
.
ln(0, 5)
0, 5 est l’inverse de 2, donc ln(0, 5) = − ln(2), donc l’ensemble des solutions est
] − 1; +∞[
Autre méthode :
1
Puisque 0, 5 est l’inverse de 2, l’inéquation s’écrit 2−x < 2, c’est-à-dire x < 2, soit
2
1 < 2x+1 . Or 20 = 1 et la fonction x 7→ 2x est strictement croissante puisque 2 > 1,
donc l’inéquation équivaut à 0 < x + 1, soit x > −1.
3. Etudier le sens de variation de f définie par f (x) = ex − 3x .
Etudier la limite de f en +∞
f (x) = ex − ex ln(3) , donc f 0 (x) = ex − ln(3)ex ln(3)
Quand a-t-on f 0 (x) > 0 ?
Quand ex > ln(3)ex ln(3) , ce qui équivaut (en appliquant ln, strictement croissante)
à x > ln(ln(3)) + x ln(3), c’est-à-dire x(1 − ln(3)) > ln(ln(3),
ln(ln(3))
soit finalement x <
(Attention, piège : 1 − ln(3) < 0 puisque e < 3).
1 − ln(3)
Donc f est d’abord croissante puis décroissante.
• Limite en +∞
Le calcul se présente sous une forme indéterminée
On met le terme le
x« ∞ −
∞ ». e x
e
x
−
1
.
plus fort en facteur, ici 3x car 3 > e. f (x) = 3x
−
1
=
3
3x
3
x
e
e
Or 0 < < 1 puisque e < 3, donc d’après le cours lim
= 0.
x→+∞ 3
3
Donc finalement la limite de f en +∞ est −∞.
4. Etudier la fonction f définie par f (x) = x2x (sens de variation, limites)
f (x) = xex ln(2) , donc f 0 (x) = · · · = (1 + x ln(2))2x .
1
1
A prouver : f est décroissante sur −∞; −
et croissante sur −
; +∞
ln(2)
ln(2)
A prouver : la limite en −∞ est 0, celle en +∞ est +∞