Exponentielle de base a

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Exponentielle de base a
I Questions de cours
1. La fonction exponentielle de base a(a > 0) est la fonction d´efinie sur Rpar
expa(x) = ax=...? (d´efinition avec eet ln)
Pour a > 0, xr´eel, et y > 0, on a l’´equivalence : ax=y⇔x=...?
ln(ax) = ...?
2. a0=...? ,1
ax=...? (pour a > 0)
3. Pour tous r´eels xet yet pour tout entier relatif n:
ax+y=...? ,ax−y=...? ,axy =...? ,a−x=...? (pour a > 0)
(ab)x=...? ;a
bx
=...? (pour a > 0 et b > 0)
4. Signe : pour tout xr´eel, axest ...? (pour a > 0)
5. D´eriv´ee : exp0
a(x) = ...? (se d´eduit de (eu)0=...? )
6. Sens de variation : pour a > ...? , la fonction x7→ axest strictement croissante
sur Ret ses limites sont ...?
pour ...? , la fonction x7→ axest strictement d´ecroissante sur Ret ses limites sont
...?
Pour s’en souvenir, m´emoriser les courbes de
x7→ ex,2x,1
2x
= 2−x,1
ex
=e−x. Ces courbes montrent aussi les limites.
Tracer ces courbes sur un mˆeme dessin avec en particulier les points d’abscisses
0; 1 et −1.
II Exemples
1. R´esoudre 22x+1 = 3x
L’´equation ´equivaut `a e(2x+1) ln(2) =exln(3), c’est-`a-dire `a (2x+ 1) ln(2) = xln(3),
soit x(2 ln(2) −ln(3)) = −ln(2), soit x=−ln(2)
2 ln(2) −ln(3)
2. R´esoudre (0,5)x<2
l’in´equation ´equivaut `a exln(0,5) < eln(2), soit xln(0,5) <ln(2).
Attention, pi`ege : Or 0,5<1, donc ln(0,5) <0, donc l’ensemble des solutions est
x > ln(2)
ln(0,5).
0,5 est l’inverse de 2, donc ln(0,5) = −ln(2), donc l’ensemble des solutions est
]−1; +∞[
Autre m´ethode :
Puisque 0,5 est l’inverse de 2, l’in´equation s’´ecrit 2−x<2, c’est-`a-dire 1
2x<2, soit
1<2x+1. Or 20= 1 et la fonction x7→ 2xest strictement croissante puisque 2 >1,
donc l’in´equation ´equivaut `a 0 < x + 1, soit x > −1.
3. Etudier le sens de variation de fd´efinie par f(x) = ex−3x.
Etudier la limite de fen +∞
f(x) = ex−exln(3), donc f0(x) = ex−ln(3)exln(3)
Quand a-t-on f0(x)>0 ?
Quand ex>ln(3)exln(3), ce qui ´equivaut (en appliquant ln, strictement croissante)
`a x > ln(ln(3)) + xln(3), c’est-`a-dire x(1 −ln(3)) >ln(ln(3),
soit finalement x < ln(ln(3))
1−ln(3) (Attention, pi`ege : 1−ln(3) <0 puisque e < 3).
Donc fest d’abord croissante puis d´ecroissante.
•Limite en +∞
Le calcul se pr´esente sous une forme ind´etermin´ee «∞−∞ ». On met le terme le
plus fort en facteur, ici 3xcar 3 > e.f(x) = 3xex
3x
−1= 3xe
3x
−1.
Or 0 <e
3<1 puisque e < 3, donc d’apr`es le cours lim
x→+∞e
3x
= 0.
Donc finalement la limite de fen +∞est −∞.
4. Etudier la fonction fd´efinie par f(x) = x2x(sens de variation, limites)
f(x) = xexln(2), donc f0(x) = · · · = (1 + xln(2))2x.
A prouver :fest d´ecroissante sur −∞;−1
ln(2)et croissante sur −1 ln(2); +∞
A prouver : la limite en −∞ est 0, celle en +∞est +∞