Remarque. Vous savez bien que les objets d´efinis par une propri´et´e uni-
verselle sont ”uniques `a unique isomorphisme pr`es”. C’est en fait un r´esultat
g´en´eral sur les foncteurs repr´esentables :
Lemme (unicit´e du repr´esentant `a unique isomorphisme pr`es). Soit F
un foncteur covariant d’une cat´egorie Cvers Ens que l’on suppose repr´esentable.
Soient (X, ξ)et (Y, η)deux repr´esentants de F. Il existe alors un unique mor-
phisme fde Yvers Xtel que F(f)(η) = ξet c’est un isomorphisme.
D´emonstration. Comme (Y, η) repr´esente Fil existe un unique morphisme f
de Yvers Xtel que F(f)(η) = ξ. Comme (X, ξ) repr´esente Fil existe un unique
morphisme gde Xvers Ytel que F(g)(ξ) = η. La compos´ee f◦gest un endo-
morphisme de Xqui v´erifie F(f◦g)(ξ) = F(f)(F(g)(ξ)) = F(f)(η) = ξ. Comme
(X, ξ) repr´esente Fla fl`eche h7→ F(h)(ξ) est une bijection de HomC(X, X) vers
F(X) ; comme F(1X)(ξ) = ξl’application f◦gest n´ecessairement ´egale `a 1X.
On montre de mˆeme que g◦fest ´egale `a 1Y, ce qui ach`eve la preuve.
Remarque. L’unicit´e ´etablie ci-dessus a pour cons´equence que l’on parlera
souvent du (et non pas d’un) repr´esentant de F, ainsi que de l’ (et non pas
d’un) objet universel relatif `a F.
Soit Cune cat´egorie et soient Fet Gdeux foncteurs covariants de Cvers
Ens. Soit (X, ξ) un repr´esentant de Fet (Y, η) un repr´esentant de G. Soit f
un morphisme de Yvers X. La donn´ee pour tout objet Zde Cde l’application
g7→ g◦fde HomC(X, Z) vers HomC(Y, Z) d´efinit un morphisme de foncteurs
de HomC(X, .) vers HomC(Y, .) et donc, via les isomorphismes donn´es par ξet
η, un morphisme f]de Fvers Gque l’on dira induit par f. La description de ce
morphisme est la suivante : fixons un objet Zde Cet consid´erons un ´el´ement
λde F(Z). Il existe par hypoth`ese une unique fl`eche ϕ:X→Ztelle que
λ=F(ϕ)(ξ). La fl`eche ϕ◦fva de Yvers Z. On a alors f](Z)(λ) = G(ϕ◦f)(η).
Lemme (Yoneda).Soit ρun morphisme de foncteurs de Fvers G. Il existe
une unique application fde Yvers Xtelle que f]=ρ.
D´emonstration. Montrons d’abord l’unicit´e. Soit f:Y→Xtel que f]=
ρ. Calculons f](X)(ξ). On utilise la formule donn´ee ci-dessus, l’application
ϕcorrespondant `a ξ´etant simplement l’identit´e de X. On obtient l’´egalit´e
G(f)(η) = f](X)(ξ) = ρ(X)(ξ). Comme ρest donn´e ρ(X)(ξ) l’est aussi ; comme
f7→ G(f)(η) est une bijection entre HomC(Y, X) et G(X) on voit que si f
convient c’est n´ecessairement l’unique ant´ec´edent de ρ(X)(ξ) par cette bijec-
tion.
R´eciproquement prenons pour fcet unique ant´ec´edent. Soit Zun objet
de Cet λun ´el´ement de F(Z). Soit ϕl’unique fl`eche de Xvers Ztelle que
λ=F(ϕ)(ξ). On sait que f](Z)(λ) = G(ϕ◦f)(η). Ce dernier terme est ´egal
`a G(ϕ)(G(f)(η)) par fonctorialit´e de G. Or G(f)(η) = ρ(X)(ξ) par le choix
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