1 Séries trigonométriques de Fourier

Math´ ematiques g´ en´ erales, B, 2004-2005
Compl´ements–Chapitre 3
Ces quelques notes apportent des compl´ements d’information sur le chapitre 3 du cours Math´ematiques
g´en´erales B, 1Bac Chimie, 2C Informatique (resp. du cours Compl´ements de Math´ematiques, 2C G´eographie,
orientation g´eomatique-g´eom´etrologie).
1 S´eries trigonom´etriques de Fourier
Le d´eveloppement en s´erie trigonom´etrique de Fourier consiste `a d´evelopper une fonction1de carr´e
int´egrable sur un intervalle born´e I=]a, b[, c’est-`a-dire un ´el´ement de l’espace L2(]a, b[), selon une base
orthonorm´ee de cet espace.
Nous utilisons les notations suivantes pour les fonctions trigonom´etriques (exponentielles)
em(x) = 1
√b−ae2iπmx
b−a, m ∈Z.
Elles sont orthonorm´ees pour le produit scalaire de L2(I)
< f, g >=Zb
a
f(x)g(x)dx.
Les coefficients de Fourier de f∈L2(I) relatifs `a cette base sont les complexes
cm=< f, em>=Zb
a
f(x)em(x)dx, m ∈Z.
On a les r´esultats suivants.
Th´eor`eme 1.1 (D´eveloppement en s´erie trigonom´etrique de Fourier dans la base em(m∈Z))
Si f, g ∈L2(I), on a
lim
M→+∞Zb
af(x)−
M
X
m=−M
cmem(x)
2
= 0 (convergence en norme L2),
f(x) = lim
M→+∞
M
X
m=−M
cmem(x)pour presque tout x∈I
et Zb
a
f(x)g(x)dx = lim
M→+∞
M
X
m=−M
cmc0
m
si les c0
md´esignent les coefficients de Fourier de g.2
Comme cas particulier de la derni`ere formule, on obtient
Zb
a|f(x)|2dx =
+∞
X
m=−∞ |cm|2.
En utilisant les fonctions sin et cos on en d´eduit le r´esultat ci-dessous.
Propri´et´e 1.2 Si f∈L2(I)et si on utilise les notations
u0(x) = 1
√b−a, um(x) = 2 √b−acos(2πmx
b−a), vm(x) = 2
√b−asin(2πmx
b−a)
1mesurable
1

alors les fonctions u0, um, vm(m∈N0)forment une base orthonorm´ee de L2(I)et, avec rm=< f, um>,
sm=< f, vm>, on a
lim
M→+∞Zb
af(x)−r0u0(x)−
M
X
m=1 rmum(x) + smvm(x)
2
= 0
f(x) = r0u0(x) + lim
M→+∞
M
X
m=1 rmum(x) + smvm(x)pour presque tout x∈I
et Zb
a
f(x)g(x)dx =r0r0
0+ lim
M→+∞
M
X
m=1
(rmr0
m+sms0 m)
si les r0
m, s0 md´esignent les coefficients de Fourier de grelatifs aux fonctions cosinus et sinus. 2
Dans de nombreuses situations pratiques, il est possible de pr´eciser les propri´et´es de f. Ainsi, des
compl´ements aux r´esultats pr´ec´edents peuvent ˆetre ´enonc´es.
Propri´et´e 1.3 (Convergence ponctuelle) Si fest born´ee et monotone2sur ]a, b[alors elle est int´egrable,
de carr´e int´egrable sur ]a, b[et on a
lim
M→+∞
SM(x) = 
f(x+) + f(x−)
2,∀x∈]a, b[
f(a+) + f(b−)
2, x ∈ {a, b}
avec
SM(x) = r0u0(x) +
M
X
m=1 rmum(x) + smvm(x), M ∈N0
et
f(r+) = lim
t→r,t>r f(t), f(r−) = lim t→r,t<r f(t).
2
Propri´et´e 1.4 (Ph´enom`ene de Gibbs) 2
Th´eor`eme 1.5 (Th´eor`eme d’´echantillonnage de Shannon) Soir νun r´eel strictement positif. Si
fest une fonction d´efinie sur R, appartenant `a L2(R)et dont la transform´ee de Fourier n´egative b fest
nulle dans le compl´ementaire de3[−ν, ν], alors
f(x) = lim
M→+∞
M
X
m=−M
fm
2νsin(ν(x−m/(2ν)) ν(x−m/(2ν))
dans L2(R)et les fonctions
fm(x) = 1
2rν π
sin(ν(x−m/(2ν))
ν(x−m/(2ν)) =rh 2π
sin(ν(x−mh)
x−mh , m ∈Z
(o`u on a pos´e h= 1/(2ν)) forment une base orthonorm´ee pour la norme de L2dans l’espace des fonctions
appartenant `a L2(R)et dont la transform´ee de Fourier n´egative b fa un support inclus dans [−ν, ν].
Preuve. Pour tout entier m, en utilisant la notation gm(y) = e−imy/(2ν)χ[−ν,ν](y), on a
F+
xgm=Zν
−ν
eixye−imy/(2ν)dy = 2 sin(ν(x−m/(2ν))
x−m/(2ν).
2ou combinaison lin´eaire de telles fonctions; il est aussi possible d’utiliser d’autres hypoth`eses-cf cours pour une premi`ere
approche
3Cela signifie que le support de la fonction est inclus dans [−ν, ν]
2

Le d´eveloppement en s´erie trigonom´etrique de Fourier de b fdans L2([−ν, ν]) donne
b
f(y) = 1
2ν
+∞
X
m=−∞ Zν
−νb
f(u)eimu/(2ν)due−imy/(2ν)
=1
2ν
+∞
X
m=−∞ F+
m
2νb
fe−imy/(2ν)
=π
ν
+∞
X
m=−∞
fm
2νe−imy/(2ν).
En prenant la transform´ee de Fourier des deux membres4et en tenant compte du calcul effectu´e ci-dessus,
on obtient
f(x) = 1
ν
+∞
X
m=−∞
fm
2νsin(ν(x−m/(2ν)) x−m/(2ν)
qui est la formule annonc´ee. 2
Remarques
En ´etudiant plus pr´ecis´ement la convergence des s´eries obtenues, on peut directement obtenir des
r´esultats de convergence autres que ceux en norme L2et presque partout.
Ainsi, les s´eries du type
+∞
X
m=0
amcos(mx),
+∞
X
m=1
bmsin(mx)
d´efinissent des fonctions 2π−p´eriodiques sur Ret continues sur ]0,2π[ pour autant que la suite am(m∈N)
(resp. bm(m∈N0)) soit une suite de r´eels d´ecroissante qui converge vers50.
Si cette s´erie est le d´eveloppement d’une fonction r´eguli`ere6, on peut aussi imm´ediatement obtenir
des estimations des coefficients du type supm|am|mr≤R(resp. supm|bm|mr≤R).
2 Autres bases orthonorm´ees
Dans de nombreuses situations li´ees `a la r´esolution d’´equations diff´erentielles (par exemple), on est amen´e
`a introduire d’autres fonctions (formant des bases orthonorm´ees) particuli`erement utiles.
2.1 Les polynˆomes de Legendre
Les polynˆomes
P0(x) = √2
2, Pm(x) = pm+ 1/2 2mm!Dm(x2−1)m, m ∈N0
sont appel´es polynˆomes de Legendre; ils forment une base orthonorm´ee de L2([−1,1]).
2.2 Les fonctions de Laguerre
Les fonctions
L0(x) = e−x/2, Lm(x) = 1
m!ex/2Dm(xme−x), m ∈N0
sont appel´es fonctions de Laguerre; elles forment une base orthonorm´ee de L2([0,+∞[).
2.3 Les fonctions de Hermite
Les fonctions
H0(x) = π−1/4e−x2, Hm(x) = 1
π1/4√2mm!ex2/2Dme−x2, m ∈N0
sont appel´es fonctions de Hermite; elles forment une base orthonorm´ee de L2(] − ∞,+∞[).
4l’int´egrale se fait uniquement sur [−ν, ν] ´etant donn´e la propri´et´e de support
5cela r´esulte du fait que sous cette hypoth`ese, la convergence de la s´erie est uniforme dans tout compact du
compl´ementaire des multiples entiers de 2π
6c’est-`a-dire avec des propri´et´es de d´erivabilit´e sur R
3

References
[1] N. K. Bary, A Treatise on Trigonometric Series, Volume 1, Pergamon Press, 1964.
[2] A. Da Silva Passos, M´ethodes math´ematiques du traitement num´erique du signal, Eyrolles, 1989.
[3] H. G. Garnir, Fonctions de variables r´eelles I, II, Gauthier-Villars, 1965.
[4] T.W. K¨orner, Fourier Analysis, Cambridge University Press, 1990.
[5] J. Schmets, Analyse math´ematique, 2C Sciences Math´ematiques et Physiques, ULg.
F. Bastin, March 28, 2005
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