1 Séries trigonométriques de Fourier

Mathématiques générales, B, 2004-2005
Compléments–Chapitre 3
Ces quelques notes apportent des compléments d’information sur le chapitre 3 du cours Mathématiques
générales B, 1Bac Chimie, 2C Informatique (resp. du cours Compléments de Mathématiques, 2C Géographie,
orientation géomatique-géométrologie).
1
Séries trigonométriques de Fourier
Le développement en série trigonométrique de Fourier consiste à développer une fonction 1 de carré
intégrable sur un intervalle borné I =]a, b[, c’est-à-dire un élément de l’espace L 2 (]a, b[), selon une base
orthonormée de cet espace.
Nous utilisons les notations suivantes pour les fonctions trigonométriques (exponentielles)
em (x) = √
2iπmx
1
e b−a , m ∈ Z.
b−a
Elles sont orthonormées pour le produit scalaire de L2 (I)
< f, g >=
Z
b
f (x)g(x)dx.
a
Les coefficients de Fourier de f ∈ L2 (I) relatifs à cette base sont les complexes
cm =< f, em >=
Z
b
f (x)em (x)dx,
m ∈ Z.
a
On a les résultats suivants.
Théorème 1.1 (Développement en série trigonométrique de Fourier dans la base e m (m ∈ Z))
Si f, g ∈ L2 (I), on a
lim
M →+∞
Z
b
a
2
M
X
cm em (x) = 0
f (x) −
f (x) =
et
m=−M
si les
M
X
lim
M →+∞
Z
c0m
(convergence en norme L2 ),
cm em (x)
pour presque tout
m=−M
b
f (x)g(x)dx =
a
lim
M →+∞
M
X
x∈I
cm c0m
m=−M
désignent les coefficients de Fourier de g. 2
Comme cas particulier de la dernière formule, on obtient
Z
b
a
|f (x)|2 dx =
+∞
X
m=−∞
|cm |2 .
En utilisant les fonctions sin et cos on en déduit le résultat ci-dessous.
Propriété 1.2 Si f ∈ L2 (I) et si on utilise les notations
u0 (x) = √
2
2πmx
2πmx
2
1
, um (x) = √
cos(
sin(
), vm (x) = √
)
b−a
b−a
b−a
b−a
b−a
1 mesurable
1
alors les fonctions u0 , um , vm (m ∈ N0 ) forment une base orthonormée de L2 (I) et, avec rm =< f, um >,
sm =< f, vm >, on a
lim
M →+∞
Z
b
a
f (x) = r0 u0 (x) +
et
si les
Z
0
rm
, s0m
2
M X
rm um (x) + sm vm (x) = 0
f (x) − r0 u0 (x) −
m=1
lim
M →+∞
M X
rm um (x) + sm vm (x)
m=1
b
a
f (x)g(x)dx = r0 r00 +
lim
M →+∞
M
X
pour presque tout
x∈I
0 + s s0 )
(rm rm
m m
m=1
désignent les coefficients de Fourier de g relatifs aux fonctions cosinus et sinus. 2
Dans de nombreuses situations pratiques, il est possible de préciser les propriétés de f . Ainsi, des
compléments aux résultats précédents peuvent être énoncés.
Propriété 1.3 (Convergence ponctuelle) Si f est bornée et monotone 2 sur ]a, b[ alors elle est intégrable,
de carré intégrable sur ]a, b[ et on a


 f (x+) + f (x−) , ∀x ∈]a, b[
2
lim SM (x) =

M →+∞
 f (a+) + f (b−) , x ∈ {a, b}
2
avec
SM (x) = r0 u0 (x) +
M X
m=1
rm um (x) + sm vm (x) ,
M ∈ N0
et
f (r+) =
lim f (t),
f (r−) =
t→r,t>r
lim f (t).
t→r,t<r
2
Propriété 1.4 (Phénomène de Gibbs) 2
Théorème 1.5 (Théorème d’échantillonnage de Shannon) Soir ν un réel strictement positif. Si
f est une fonction définie sur R, appartenant à L2 (R) et dont la transformée de Fourier négative fb est
nulle dans le complémentaire de3 [−ν, ν], alors
f (x) =
lim
M →+∞
M
X
m=−M
f
m sin(ν(x − m/(2ν))
2ν
ν(x − m/(2ν))
dans L2 (R) et les fonctions
1
fm (x) =
2
r
ν sin(ν(x − m/(2ν))
=
π ν(x − m/(2ν))
r
h sin(ν(x − mh)
,
2π
x − mh
m∈Z
(où on a posé h = 1/(2ν)) forment une base orthonormée pour la norme de L 2 dans l’espace des fonctions
appartenant à L2 (R) et dont la transformée de Fourier négative fb a un support inclus dans [−ν, ν].
Preuve. Pour tout entier m, en utilisant la notation gm (y) = e−imy/(2ν) χ[−ν,ν] (y), on a
Fx+ gm =
Z
ν
eixy e−imy/(2ν) dy = 2
−ν
sin(ν(x − m/(2ν))
.
x − m/(2ν)
2 ou combinaison linéaire de telles fonctions; il est aussi possible d’utiliser d’autres hypothèses-cf cours pour une première
approche
3 Cela signifie que le support de la fonction est inclus dans [−ν, ν]
2
Le développement en série trigonométrique de Fourier de fb dans L2 ([−ν, ν]) donne
b
f(y)
=
=
=
1
2ν
1
2ν
+∞ Z
X
m=−∞
+∞ X
m=−∞
ν
−ν
imu/(2ν)
b
f(u)e
du
e−imy/(2ν)
b e−imy/(2ν)
F+
m f
2ν
+∞
m
π X
f
e−imy/(2ν) .
ν m=−∞
2ν
En prenant la transformée de Fourier des deux membres4 et en tenant compte du calcul effectué ci-dessus,
on obtient
+∞
m sin(ν(x − m/(2ν))
1 X
f (x) =
f
ν m=−∞
2ν
x − m/(2ν)
qui est la formule annoncée. 2
Remarques
En étudiant plus précisément la convergence des séries obtenues, on peut directement obtenir des
résultats de convergence autres que ceux en norme L2 et presque partout.
Ainsi, les séries du type
+∞
+∞
X
X
am cos(mx),
bm sin(mx)
m=0
m=1
définissent des fonctions 2π−périodiques sur R et continues sur ]0, 2π[ pour autant que la suite a m (m ∈ N)
(resp. bm (m ∈ N0 )) soit une suite de réels décroissante qui converge vers5 0.
Si cette série est le développement d’une fonction régulière6, on peut aussi immédiatement obtenir
des estimations des coefficients du type supm |am |mr ≤ R (resp. supm |bm |mr ≤ R).
2
Autres bases orthonormées
Dans de nombreuses situations liées à la résolution d’équations différentielles (par exemple), on est amené
à introduire d’autres fonctions (formant des bases orthonormées) particulièrement utiles.
2.1
Les polynômes de Legendre
Les polynômes
p
√
m + 1/2 m 2
2
P0 (x) =
, Pm (x) =
D (x − 1)m , m ∈ N0
2
2m m!
sont appelés polynômes de Legendre; ils forment une base orthonormée de L 2 ([−1, 1]).
2.2
Les fonctions de Laguerre
Les fonctions
L0 (x) = e−x/2 , Lm (x) =
1 x/2 m m −x
e D (x e ), m ∈ N0
m!
sont appelés fonctions de Laguerre; elles forment une base orthonormée de L 2 ([0, +∞[).
2.3
Les fonctions de Hermite
Les fonctions
2
H0 (x) = π −1/4 e−x , Hm (x) =
2
2
1
√
ex /2 Dm e−x , m ∈ N0
π 1/4 2m m!
sont appelés fonctions de Hermite; elles forment une base orthonormée de L2 (] − ∞, +∞[).
4 l’intégrale
se fait uniquement sur [−ν, ν] étant donné la propriété de support
résulte du fait que sous cette hypothèse, la convergence de la série est uniforme dans tout compact du
complémentaire des multiples entiers de 2π
6 c’est-à-dire avec des propriétés de dérivabilité sur R
5 cela
3
References
[1] N. K. Bary, A Treatise on Trigonometric Series, Volume 1, Pergamon Press, 1964.
[2] A. Da Silva Passos, Méthodes mathématiques du traitement numérique du signal, Eyrolles, 1989.
[3] H. G. Garnir, Fonctions de variables réelles I, II, Gauthier-Villars, 1965.
[4] T.W. Körner, Fourier Analysis, Cambridge University Press, 1990.
[5] J. Schmets, Analyse mathématique, 2C Sciences Mathématiques et Physiques, ULg.
F. Bastin, March 28, 2005
4