Additionner des ondes II

4. Additionner des ondes
électromagnétiques II : polarisation
4.1. Polarisation
Dans cette section , les pulsations des deux ondes sont identiques, de même que leur
direction et sens de propagation.
4.1.1. Supperposition de deux polarisations linéaires
Les ondes sont polarisées linéairement et les polarisations sont orthogonales.
~ 1 (~r, t) = E1 cos (kz − ωt + ϕ1 ) ~ux
E
~ 2 (~r, t) = E2 cos (kz − ωt + ϕ2 ) ~uy .
E
(4.1)
(4.2)
La somme de ces deux ondes ne dépend que de (z − ct) . Il s’agit par conséquent d’une
onde plane progressive et il suffit d’étudier l’évolution du champ élecrique en un point.
De manière générale, la polarisation obtenue est une polarisation elliptique contenue
dans le rectangle défini par −E1 < x < E1 et −E2 < y < E2 . La nature exacte de la
polarisation dépend de la phase relative entre les deux ondes
Ondes en phase : ϕ2 − ϕ1 = 0 : Les deux ondes sont en phase, le champ électrique
s’écrit :
~ 1 (~r, t) = cos (kz − ωt + ϕ1 ) [E1 ~ux + E2 ~uy ]
E
(4.3)
Les composantes du champ électrique vérifient l’équation
Ex Ey
−
=0
E1
E2
(4.4)
Le champ électrique décrit un segment de droite : la polarisation est linéaire, elle est
selon la première diagonale du rectangle.
Ondes en opposition de phase ϕ2 − ϕ1 = π : Les deux ondes sont en opposition de
phase, le champ électrique s’écrit :
~ 1 (~r, t) = cos (kz − ωt + ϕ1 ) [E1 ~ux − E2 ~uy ]
E
(4.5)
Les composantes du champ électrique vérifient l’équation
Ex Ey
+
=0
E1
E2
(4.6)
29
30
4. Addition d’ondes electromagnetiques
Le champ électrique décrit un segment de droite : la polarisation est linéaire, elle est
selon la seconde diagonale du rectangle.
Ondes en quadrature ϕ2 − ϕ1 = π/2 Les deux ondes sont en quadrature, le champ
électrique s’écrit :
~ 1 (~r, t) = E1 cos (kz − ωt + ϕ1 ) ~ux + E2 cos kz − ωt + ϕ1 + π ~uy
E
2
= E1 cos (kz − ωt + ϕ1 ) ~ux − E2 sin (kz − ωt + ϕ1 ) ~uy
(4.7)
(4.8)
Le champ électrique décrit une ellipse dont les axes principaux sont les axes Ox et Oy .
L’équation vérifiée par les composantes du champ électrique est
Ex
E1
2
+
Ey
E2
2
=1
(4.9)
La composante du champ selon Oy est en retard par rapport à celle qui est selon Ox,
autrement dit l’ellipse est parcourue selon le sens trigonométrique. La polarisation est
elliptique gauche. Si les amplitudes E1 et E2 sont égales, la polarisation est circulaire.
~ 1 (~r, t) = E0 (cos (kz − ωt + ϕ1 ) ~ux − sin (kz − ωt + ϕ1 ) ~uy )
E
(4.10)
Le module du champ électrique reste constant au cours du temps. Le champ électrique
parcourt un cercle :
Ex2 + Ey2 = E02
(4.11)
Ondes en quadrature ϕ2 − ϕ1 = −π/2
Les deux ondes sont en quadrature, le champ électrique s’écrit :
~ 1 (~r, t) = E1 cos (kz − ωt + ϕ1 ) ~ux + E2 cos kz − ωt + ϕ1 + π ~uy
E
2
= E1 cos (kz − ωt + ϕ1 ) ~ux + E2 sin (kz − ωt + ϕ1 ) ~uy
(4.12)
(4.13)
Le champ électrique décrit une ellipse dont les axes principaux sont les axes Ox et Oy .
L’équation vérifiée par les composantes du champ électrique est
Ex
E1
2
+
Ey
E2
2
=1
(4.14)
C’est la même équation que dans le cas qui précède, mais l’ellipse est parcourue dans
l’autre sens. La composante du champ selon Oy est en avance par rapport à celle qui est
selon Ox, autrement dit l’ellipse est parcourue selon le sens horaire. La polarisation est
elliptique droite. Si les amplitudes E1 et E2 sont égales, la polarisation est circulaire.
J-M Courty
UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.3
4.1. Polarisation
31
Energie
Nous avons une onde plane progressive, le vecteur de Poynting est donc
2
~
~
Π = ε0 c E
+
E
1
2
~ 2 ~ 2
~
~
= ε0 c E1 + E1 + 2E1 · E2
(4.15)
(4.16)
Puisque les deux polarisations sont orthogonales, le terme croisé est nul. Il n’y a pas
d’interférence et l’intensité du faisceau est la somme des intensités des deux faisceaux
incidents. Ce résultat ne dépend pas de la phase relative des deux faisceaux.
4.1.2. Supperposition de deux polarisation circulaires
Nous considérons maintenant deux polarisations circulaires de même amplitude, mais
tournant en sens inverse. Pour simplifier les calculs, nous nous plaçons à l’origine et nous
prenons la phase de la première onde égale à zero soit :
~ 1 (t) = E0 [cos (ωt) ~ux + sin (ωt) ~uy ]
E
~ 2 (t) = E0 [cos (ωt + ϕ) ~ux − sin (ωt + ϕ) ~uy ] .
E
(4.17)
(4.18)
La somme de ces deux polarisations est :
~ (t) = E0 ([cos (ωt) + cos (ωt + ϕ)] ~ux + [sin (ωt) − sin (ωt + ϕ)] ~uy )
E
h
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ i
= 2E0 cos ωt +
cos ~ux − cos ωt +
sin ~uy
2 h
2
2
2
i
ϕ
ϕ
ϕ
= 2E0 cos ωt +
cos ~ux − sin ~uy
2
2
2
(4.19)
(4.20)
(4.21)
La somme de deux polarisations circulaires de sens opposé et de même pulsation est une
polarisation linéaire dont l’orientation dépend du déphasage entre les deux ondes.
Remarque sur les dénominations : Selon les domaines la notation ”circulaire gauche”
et ”circulaire droite” ne correspondent pas à la même situation. On trouve 3 conventions
– En se plaçant du coté de la source et en regardant l’onde partir
– En regardant l’onde venir vers soi
– En définissant un axe de référence indépendamment de la direction de propagation.
La plus grande vigilance est donc de mise lorsque l’on demande de nomer une polarisation circulaire ou que l’on ne dispose que de son nom. Dans ces situations, le dessin
est la meilleur manière de régler les ambiguités.
4.1.3. La polarisation en notation complexe
Polarisation circulaire
La notation complexe est particulièrement utile pour décrire la lumière polarisée. Pour
nous en convaincre, écrivons l’amplitude complexe d’une onde polarisée circulairement :
Notes de cours version 0.3 UPMC - L3 - Physique - PGA
J-M Courty
32
4. Addition d’ondes electromagnetiques
La circulaire gauche est
~ g (t) = E0 [cos (kz − ωt) ~ux − sin (kz − ωt) ~uy ]
E
h
i
= E0 < ei(kz−ωt) ~ux + iei(kz−ωt) ~uy .
(4.22)
E~g (t) = E0 ei(kz−ωt) (~ux + i ~uy )
(4.24)
E~d (t) = E0 ei(kz−ωt) (~ux − i ~uy )
(4.25)
(4.23)
Par conséquent :
La circulaire droite est
On peut ainsi factoriser l’amplitude complexe en le produit d’une fonction du temps
est d’un vecteur de coordonnées complexes. C’est un avantage par rapport à la notation
réelle pour laquelle il n’est pas possible d’effectuer la factorisation puisque la direction
du vecteur champ électrique évolue au cours du temps.
On défini alors deux vecteurs unitaires correspondant à chacune de ces polarisations
~e+ =
~e− =
1
√ (~ux + i ~uy )
2
1
√ (~ux − i ~uy )
2
Vecteur polarisation
De manière générale l’amplitude réelle d’une onde qui se propage selon la direction
Oz vers les z croissants est
~ g (t) = Ex cos (kz − ωt + ϕx ) ~ux + Ey cos (kz − ωt + ϕy ) ~uy
E
h
i
= < ei(kz−ωt) Ex eiϕx ~ux + Ey eiϕy ~uy .
(4.26)
(4.27)
On peut ainsi définir un vecteur polarisation complexe
E~0 =Ex eiϕx ~ux + Ey eiϕy ~uy
Cette écriture montre que toute polarisation peut se décoposer comme somme de deux
polarisations linéaires orthogonales. Elle permet aussi de comprendre que d’autres choix
de base sont possibles par exemple la base des polarisations circulaires ~e+ et ~e−
1
1
E~0 = √ Ex eiϕx + Ey eiϕy ~e+ + √ Ex eiϕx − Ey eiϕy ~e−
2
i 2
autrement dit, on peut aussi exprimer toutes les polarisations comme somme de deux
polarisations circulaires.
J-M Courty
UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.3
4.2. Obtention de lumière polarisée
33
4.2. Obtention de lumière polarisée
Comment obtenir une lumière de polarisation choisie ? Nous allons voir que cela est
possible, soit directement lors de l’émission, soit en faisant traverser de la lumière naturelle à travers de divers dispositifs.
Exercice (à faire lors de la première lecture de cette section, mais aussi lors des révisions) Avant d’aller plus loin dans la lecture de ce chapitre, prenez une feuille et faites la
liste de tous les moyens de production de lumière polarisée que vous connaissez (soit par
leur utilisation lors de travaux pratiques, soit dans la vie courante). A chaque nouvelle
lecture, conservez vos réponses (ou au moins leur nombre) et comparez les à celles que
vous aviez données les fois précédentes.
4.2.1. Lumière non polarisée
D’un point de vue formel, une lumière parfaitement monochromatique est nécessairement polarisée. Il suffit pour s’en convaincre d’écrire l’ampliude d’un champ monochromatique
~ g (t) = Ex cos (kz − ωt + ϕx ) ~ux + Ey cos (kz − ωt + ϕy ) ~uy
E
h
i
= < ei(kz−ωt) Ex eiϕx ~ux + Ey eiϕy ~uy .
(4.28)
(4.29)
Toutefois en pratique, la lumière produite par la majorité des sources n’est jamais parfaitement monochromatiques. Il s’agit de la supperpositions d’ondes de fréquence légèrement différentes. Dans ce cas, le mouvment de la direction du champ électrique évolue
au cours du temps. Si cette évolution est plus rapide que la durée de l’observation, on
parle de lumière ”non polarisée”. Nous reviendrons sur ce point lorsqu’il sera question
de cohérence temporelle de la lumière.
4.2.2. Emetteurs de lumière polarisée
Le dipôle oscillant, étudié au chapitre 2, emet une lumière polarisée linéairement et
dont la direction de polarisation est située dans le plan contenant la direction du dipôle
et la direction d’observation.
De manière générale, toutes les antennes émettent de la lumière polarisée. En général
cette polarisation est linéaire, mais on trouve aussi des antennes en forme de tire bouchon
qui emettent des ondes polarisées circulairement.
4.2.3. Dispositifs polarisant la lumière naturelle
Polariseur parfait
Un polariseur parfait projette le champ électrique de l’onde sur une direction particulière ~n appelée ”axe du polariseur”. L’onde en sortie est
~ 0 (t) = E
~ 0 (t) · ~n ~n
E
(4.30)
Notes de cours version 0.3 UPMC - L3 - Physique - PGA
J-M Courty
La physique c’est avant
tout
des
phénomènes
et des dispositifs qu’il
est
indispensable
connaître.
de
34
4. Addition d’ondes electromagnetiques
Dans le cas ou la polarisation incidente est linéaire et fait un angle θ avec l’axe du
polariseur, l’amplitude du champ électrique est multipliée par le facteur cos θ et donc
l’intensité est multiplié par le caré de ce cosinus. C’est la loi de Malus.
I1 = I cos2 θ
(4.31)
La partie non transmise de la lumière est absorbée par le polariseur. Si l’axe du polariseur
est orthogonal avec la polarisation incidente, aucune lumière n’est transmise.
Pour vous exercer
Exercice : On considère une grille composée de fils conducteurs parallèles verticaux
relativement proches les uns des autres. Cette grille conduit le courant électrique dans
la direction verticale (l’axe des fils ), mais ne conduit pas le courant electrique dans la
direction horizontale. Montrer que dans le domaine microonde, ce dispositif polarise le
rayonnement electromagnétique. Donner la polarisation du rayonnement transmis.
Les films polaroids (inventés par E. Land ) reposent sur le même principe : en étirant
un film de molymère, on aligne de longues molécules conductrices qui jouent le même
rôle des fils electriques dans le polariseur à microondes.
Séparateur de polarisation
Un séparateur de polarisation est un dispositif optique qui sépare la lumière incidente
en deux composantes de polarisation orthogonales. Si l’on envoie une polarisation linéaire
sur un tel dispositif, on peut appliquer la loi de Malus à chacune des sorties, les intensités
de ces deux sorties sont alors :
I1 = I0 cos2 θ
(4.32)
I2 = I0 sin2 θ
(4.33)
la somme des deux intensités est bien l’intensité initiale, autrement dit le séparateur de
polarisation répartit la lumière entre les deux sorties.
Polariseurs imparfaits
La reflexion de la lumière sur un dioptre ou la diffusion par des molécules polarise en
partie la lumière.
Pour vous exercer
Exercice : Quelle est la polarisation de la lumière diffusée par les molécules de l’atmosphère lorsque l’on regarde le ciel à 90˚du soleil ? On assimilera chaque mollécule à un
dipole oscillant mis en vibration par la luière solaire.
Un peu plus difficile
Exercice : En vous inspirant de la question précédente, déterminer la polarisation d’un
reflet à la surface de l’eau. En déduire l’axe de polarisation des lunettes de soleil polarisantes (dont l’objectif est d’éliminer les reflets).
J-M Courty
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4.2. Obtention de lumière polarisée
35
4.2.4. Lumière naturelle
La lumière des sources à incandescence ou à décharge, de même que la lumière solaire
ne sont pas polarisées.
La lumière diffusée par le ciel est polarisée. La lumière d’un laser est en général polarisée linéairement.
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J-M Courty
4. Addition d’ondes electromagnetiques
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