Activité 2 : étude de de certaines divisibilité de a²

Activité 2 : étude de de certaines divisibilité de a²-1 1
Objectifs : Définir la parité d'un entier
Aborder plusieurs méthodes de démonstration d'équivalences
Définition :
Un nombre
n∈ℤ
est pair lorsqu'il existe
p∈ℤ
tel que
n=2p
Un nombre
n∈ℤ
est impair lorsqu'il existe
p∈ℤ
tel que
n=2p+1
Exemple : 8 est pair car
8=2×4
et
4∈ℤ
. -13 est impair car
−13=2× ( −7 ) +1
et
−7∈ℤ
Vocabulaire : étudier la parité d'un nombre c'est déterminer s'il est pair ou impaire.
Travail préparatoire aux activités
Soient a et b deux nombres non nuls dont on connaît la parité. Quelle est celle de
ab
?
1. Emettre une conjecture (lister les différents cas)
2. Démontrer cette conjecture
Activité 1
Pour quels entiers relatifs non nuls a le nombre
a2−1
est-il divisible par 2 ?
1. Emettre une conjecture
2. Démontrer la conjecture
Activité 2
Pour quels entiers relatifs non nuls a le nombre
a2−1
est-il divisible par 4 ?
1. Emettre une conjecture
2. Démontrer la conjecture
Activité 3
Pour quels entiers relatifs non nuls a le nombre
a2−1
est-il divisible par 8 ?
1. Emettre une conjecture
2. Démontrer la conjecture
1

Notes
Travail préparatoire
La classe formalise pas à pas une propriété : rédaction complète et démonstration.
Il est possible de constituer un tableau double entrée.
Formalisation dense :
Soient a et b deux entiers non nuls,
ab est impair si et seulement si a et b sont impairs.
Discussion sur l'équivalence, sa terminologie et ses notations.
équivaut à, si et seulement si,
⇔
comme fusion de
⇒
et
⇐
Activité 1
Recherche : utiliser la calculatrice (mode table ou suite) et un tableur.
Conjecture : les impairs, c'est à dire
a2−1
pair
⇔
a est impair
Démonstrations : trois possibilités pour démontrer une équivalence
1. Raisonnement : disjonction de cas
•Si a est impair,
a2
aussi, et donc
a2−1
est pair, donc 2 divise
a2−1
.
•Si a est pair,
a2
aussi, et donc
a2−1
est impair, donc 2 ne divise pas
a2−1
.
2. Raisonnement :
⇒
puis
⇐
En français :
⇒
Soit a tel que
a2−1
. On a alors
a2
impair et donc a aussi.
⇐
Soit a impair.
a2
est aussi impair, et donc
a2−1
est pair.
En symbolique :
a2−1
pair
⇒
a2
est impair
⇒
a est impair
a est impair
⇒
a2
est impair
⇒
a2−1
est pair
3. Raisonnement : équivalence (directement)
En français :
a est impair si et seulement si
a2
aussi, ce qui équivaut à
a2−1
est pair.
En symbolique :
a est impair
⇔
a2
aussi
⇔
a2−1
est pair
2

Activité 2
Même conjecture
Démonstration possible : par disjonction de cas.
Pour tout a, on a :
a2−1=
(
a−1
)(
a+1
)
•Si a est impair, alors
a−1
et
a+1
sont pairs.
Donc il existe p et q dans
ℤ
tels que
( a−1 )( a+1 ) =2p2q=4p q
. 4 divise bien
a2−1
.
•Si a est pair, 2 ne divise pas
a2−1
, donc 4 non plus.
Activité 3
Même conjecture
Démonstration possible : disjonction de cas.
•Si a est impair, alors
a=2k+1
, et donc
a2−1=…=4k2+4k=4k
(
k+1
)
•
k
ou
k+1
est pair, donc 2 divise
k ( k+1 )
. On peut écrire
a2−1=4×2q=8q
, ce
qui prouve le résultat.
•Si a est pair, 2 ne divise pas
a2−1
, donc 4 non plus et encore moins 8.
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