loi binomiale

LOI BINOMIALE
I. Schéma de Bernoulli :
1°) Épreuve de Bernoulli :
Définition :
On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p une expérience aléatoire qui ne comporte que deux
issues.
• L'une est appelée succès, de probabilité p, notée S.
• L'autre est appelée échec, de probabilité 1 – p, notée E ou S.
p
S
1–p
S
Exemple :
Une question d'un QCM est composée de 4 réponses, dont une seule est correcte. En répondant totalement
1
3
au hasard, un candidat a une probabilité de répondre juste de
. Celle de répondre faux est donc de
. On
4
4
appelle succès l’événement « répondre juste » et échec « répondre faux ».
Cette expérience qui ne comporte que deux issues est donc une épreuve de Bernoulli.
2°) Schéma de Bernoulli :
Définition :
On appelle schéma de Bernoulli toute expérience aléatoire consistant à répéter n fois la même épreuve de
Bernoulli de façon indépendante (c'est à dire dans les mêmes conditions, les résultats des premières épreuves
n'influant pas sur les résultats des suivantes). On dit que le schéma de Bernoulli est de paramètre n (le nombre
de répétitions) et p (la probabilité du succès).
Remarque :
Un résultat d'un schéma de Bernoulli est donc une liste de n issues qui sont soit des succès, soit des
échecs. Exemple : {S ; E ; S ; S ; ... ; S ; E ; E} .
p
S
1–p
S
…
p
S
1–p
…
p
S
S
1–p
S
…
…
Exemple :
Reprenons l'exemple précédent : un exercice comporte 3 questions. On est donc en présence d’un schéma
1
de Bernoulli de paramètres 3 et . On peut représenter les éventualités sur un arbre pondéré :
4
1/4
Issue
Probabilité
1/4
S
(S;S;S)
(1/4)3
3/4
S
(S;S;S)
(1/4)2×(3/4)1
1/4
S
(S;S;S)
(1/4)2×(3/4)1
3/4
S
(S;S;S)
(1/4)1×(3/4)2
1/4
S
(S;S;S)
(1/4)2×(3/4)1
3/4
S
(S;S;S)
(1/4)1×(3/4)2
1/4
S
(S;S;S)
(1/4)1×(3/4)2
S
(S;S;S)
(3/4)3
S
S
1/4
3/4
3/4
1/4
S
S
S
3/4
S
3/4
II. Loi binomiale :
1°) Loi binomiale :
Définition :
Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli de
paramètres n et p. La loi de probabilité de la variable X est appelée loi binomiale de paramètres n et p, notée
B(n, p).
Exemple :
Reprenons l'exemple de l'exercice de QCM avec 3 questions comportant chacune 4 réponses possibles,
une seule d'entre elles étant correcte. La variable aléatoire X qui correspond au nombre de succès suit la loi
binomiale de paramètres n = 3 et p = 0,25 (c'est-à-dire B(3 ; 0,25)). Le nombre de bonnes réponses varie de 0 à
3 donc X ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3}. On obtient la loi de probabilité suivante :
Valeur de X (xi)
p(X = xi) = pi
0
3
4
1
3
()
1
1
3
3×
×
4
4
2
2
() ()
2
1
3
3×
×
4
4
3
1
() ()
1
4
3
()
Remarque :
p(X=1) = p({(S ; S ; S) ; (S ; S ; S) ; (S ; S ; S)}). Nous remarquons que chacun des événements
1
3 2
×
élémentaires qui composent cet événement a la même probabilité :
(1 succès, 2 échecs). Pour
4
4
calculer p(X=1), il suffit donc de multiplier cette probabilité par le nombre d'événements élémentaires, qui
correspond au nombre de branches de l'arbre de probabilité menant à exactement 1 succès. Ce nombre (de
branches) est appelé coefficient binomiale.
()()
2°) Les coefficients binomiaux :
Définition :
Dans le cas d'un schéma de Bernoulli de paramètre n et p, le nombre de chemins (branches) qui mènent à
exactement k succès parmi les n succès possibles dans son arbre de probabilités est appelé coefficient
n
binomiale. Il est noté
et se lit k parmi n.
k
()
Remarque :
Ce nombre correspond aussi au nombre de combinaisons possibles de k éléments parmi n, c'est à dire le
nombre de façons différentes qu'on a de ranger k objets dans n boites. En effet, on peut considérer une
expérience aléatoire suivant un schéma de Bernoulli comme le fait de devoir remplir n boites avec des S ou des
S. Si l'on veut exactement k succès, il suffit de sélectionner k boites dans lesquels on placera des S, et on mettra
ensuite des S dans les autres boites. Le nombre de chemins menant à exactement k succès correspond donc au
nombre de façon différentes de choisir k boites parmi les n, c'est-à-dire le nombre de combinaison de k parmi n.
Exemple :
Toujours dans le même exemple, le nombre de branches qui mènent à exactement une bonne réponse est
(31) = 3.
Remarque :
Pour calculer le nombre de combinaison de p éléments parmi n, nous utiliserons la calculatrice. Par
5
exemple, sur la TI82, il faut aller dans le menu « math », onglet « PRB », et enfin numéro 3. Pour calculer
,
3
on saisit « 5 Combinaison 3 ».
()
Exemples :
À l'aide de la calculatrice,
( 42) = 6 ; (73) = 35 ; (135 ) = 1 287.
III. Calculs :
1°) Probabilité :
Propriété :
X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n ; p). Pour tout entier k, 0  k  n,
P(X = k) =
  × p × (1 – p)
n
k
k
n–k
.
Preuve :
Sur n épreuves, si on a k succès, cela signifie que l'on a n – k échecs. La probabilité d'avoir k succès suivis
de n – k échecs est de pk × (1 – p)n – k. Chaque issue comportant k succès et n – k échecs à la même probabilité,
quel que soit l'ordre dans lequel apparaissent ces succès et ces échecs (il s'agit d'une branche de l'arbre dans
laquelle apparaît k fois la probabilité p et n – k fois la probabilité 1 – p).
Il ne reste donc plus qu'à déterminer le nombre de branches de l'arbre correspondant à la situation. Comme
n
nous l'avons vu au II. 2°), ce nombre est de
.
k
()
Exemple :
La probabilité qu'un candidat qui répond totalement au hasard à l'exercice de QCM obtienne exactement 2
3 ×0 , 252×0 , 75
bonnes réponses est de P(X = 2) =
≈ 14 %.
2
()
2°) Espérance et variance :
Exemple :
Reprenons la loi de probabilité de notre exemple (B(3 ; 0,25) :
Valeur de X (xi)
0
1
2
3 3
1 1 3 2
3×
×
4
4
4
L'espérance de cette variable aléatoire est donc de
()
p(X = xi) = pi
1 2 3
×
4
4
() ()
1
() ()
3 3
1 1 3 2
1 2 3 1
1
+1×3×
×
+ 2×3×
×
+3×
4
4
4
4
4
4
()
E (X) = 0×
() ()
3×
3
() ()
()
1
4
3
()
3
= 0,75.
On remarque que E (X) = 3 × 0,25 = np. Cette constatation peut être généralisée :
Propriété (admise) :
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n ; p). Alors
–
l'espérance est E (X) = n × p ;
–
la variance est V (X) = np(1 – p).
IV. Propriété des coefficient binomiaux :
1°) Les propriétés :
Propriétés :
1) Pour tout n ∈ ℕ*,
  = 1 et ( ) = 1;
n
0
n
n
( ) ( ) (symétrie des coefficients) ;
3) pour tout n ∈ ℕ , pour tout k ∈ ℕ , 1  k  n – 1, ( ) + ( n ) = ( n+1 ) .
k +1
k +1
2) pour tout n ∈ ℕ*, pour tout k ∈ ℕ*, k  n ,
*
*
n
n
=
k
n– k
n
k
Preuve :
1) Avec l'arbre ;
2) si n = 0 alors k = 0, égalité vérifiée.
Si n > 0, alors sur l'arbre représentant le schéma de Bernoulli,

n
k
est le nombre de chemins
réalisant k succès, donc aussi le nombre de chemin réalisant k échecs i.e. qui réalisent n – k succès.
3) Raisonnons sur le nombre de succès lors de n répétition, et ajoutons une répétition : pour obtenir k +
1 succès parmi n + 1 répétitions, il y a deux possibilités :
- soit on avait k + 1 succès parmi les n premières répétitions, et lors de la (n + 1)ème répétition il faut
n
un échec. Cela représente donc
cas ;
k+1
( )
- soit on avait k succès parmi les n premières répétitions et lors de la (n + 1)ème répétition il faut un
succès. Cela représente donc
(
(nk) cas ;
) ( ) ( k n+ 1)
n
n+1
Donc k + 1 = k +
2°) Le triangle de Pascal :
n
k 0
1
2
3
4
5
6
7 …
À l'intersection de la ligne « n » et de la colonne « k », on lit
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
5
1 5 + 10 10 5
6
1
6 15 20 15 6
7
1
7 21 35 35 21 7
La propriété 1) permet de placer
1
=
n
k
  =1 et   =1.
n
0
n
n
La propriété 3) permet de compléter les autres cases.
1
… 1
()
La propriété 2) permet de vérifier la symétrie des coefficients.
1
1
1
V. Exemple :
Questions :
Un sac contient 20 jetons indiscernables au toucher. Six d’entre eux sont rouges et les autres sont bleus.
1. On tire un jeton au hasard. Quelle est la probabilités p d’obtenir un jeton rouge ?
2. On tire successivement 6 jetons un à un, avec remise.
a) Quelle est la probabilité p1 d’obtenir exactement trois jetons rouges ?
b) Quelle est la probabilité p2 d’obtenir exactement un jeton rouge ou un jeton bleu ?
c) Quelle est la probabilité p3 d’obtenir au moins quatre jetons rouges ?
Réponses :
1.
p=
6
=0 , 3 .
20
2. Il s’agit d’un schéma de Bernoulli car le jeton est soit rouge, soit bleu et les tirages n’ont donc que deux
issues possibles et sont indépendants. Soit X le nombre de jetons rouges tirés, alors :
a) p1 = P(X = 3) =
(63) ×0,3 ×0,7 ≈ 0,185.
3
3
()
()
b) p2 = P((X =1) ∪ (X = 5)) = P(X = 1) + P(X = 5) = 6 ×0,31×0,75 + 6 ×0,35×0,71 ≈ 0,313.
1
5
c) p3 = P((X = 4) ∪ (X = 5) ∪ (X = 6)) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)
=
(64) ×0,3 ×0,7 + (65) ×0,3 ×0,7 + (66) ×0,3 ×0,7 ≈ 0,07
4
2
5
1
6
0