MAT 2110 ´Equations différentielles et calcul vectoriel Hiver 2014

NOTES DE COURS - MAT 2110
´
Equations diff´erentielles et calcul vectoriel
Hiver 2014
Jean-Philippe Lessard
D´epartement de math´ematiques et de statistique
Facult´e des sciences et de g´enie
Ces notes sont bas´ees sur les notes de cours pr´epar´ees par Roger Pierre

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Table des mati`eres
1 Les ´equations diff´erentielles 5
1.1 D´efinitionsetexemples.............................. 6
1.2 Les ´equations du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Formenormale .............................. 8
1.2.2 Interpr´etation g´eom´etrique de la forme normale. . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Les ´equations s´eparables ou apparent´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Les ´equations s´eparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Les ´equations apparent´ees aux ´equations s´eparables . . . . . . . . . . 15
1.4 Les´equationsexactes............................... 18
1.5 Th´eor`eme d’existence et d’unicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6 Les ´equations lin´eaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.1 L’´equation homog`ene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.2 L’´equation inhomog`ene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7 ´ Equations du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.7.1 ´ Equations se ramenant `a des ´equations du premier ordre . . . . . . . 30
´
Equations o`u yestabsent......................... 30
´
Equations o`u xestabsent......................... 31
1.7.2 ´ Equations lin´eaires du second ordre, un cas g´en´eral . . . . . . . . . . 31
La question d’existence et unicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Lasolutiong´en´erale ........................... 33
1.7.3 L’´equation `a coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
L’´equation homog`ene `a coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . 40
Solution particuli`ere de l’´equation inhomog`ene `a coefficients constants 41
1.7.4 L’´equation d’Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.7.5 ´ Equations lin´eaires d’ordre n...................... 45
2 Courbes et surfaces dans Rn47
2.1 Courbes param´etr´ees dans Rn.......................... 47
2.2 Vecteurtangent.................................. 49
2.3 Champ de vecteurs et lignes de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4 Courbes de classe C(1).............................. 59
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4TABLE DES MATI ` ERES
2.4.1 Longueurdecourbe............................ 59
2.4.2 Param´etrisations (courbes) ´equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4.3 Param´etrisation par la longueur d’arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.5 Notiondecourbure................................ 65
2.5.1 Calcul de la courbure pour une param´etrisation arbitraire . . . . . . . 67
2.6 Surfaces param´etr´ees dans Rn.......................... 68
2.6.1 D´efinitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.6.2 Vecteur normal et plan tangent (n=3)................. 69
2.6.3 ´ El´ementdesurface ............................ 73
2.6.4 Param´etrisations ´equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3 Integrales curviligne et de surface 79
3.1 Int´egrale d’un champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.1.1 surunecourbe .............................. 79
3.1.2 surunesurface .............................. 80
3.1.3 Propri´et´es des int´egrales des champs scalaires . . . . . . . . . . . . . 81
3.2 Int´egrale curviligne d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2.1 Notiondetravail ............................. 83
3.2.2 D´efinition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2.3 Propri´et´es de l’int´egrale curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3 Ind´ependance du chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.4 Flux d’un champ de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.4.1 Motivation................................. 93
3.4.2 D´efinition et calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Propri´et´es................................. 95
4 Analyse vectorielle 97
4.1 Th´eor`emedeGreen................................ 97
4.2 Th´eor`emedeStokes................................ 103
4.2.1 Quelques applications simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2.2 Champs conservatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2.3 Une application `a l’´electromagn´etisme . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.3 Th´eor`emedeGauss................................ 109
4.3.1 Quelques exemples d’applications simples . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Uncalculdevolume ........................... 112
Un calcul de flux `a travers une surface non ferm´ee . . . . . . . . . . . 113
4.3.2 Interpr´etation physique de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.3.3 Quelques formules de d´erivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3.4 Une application `a la physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.4 FormulesdeGreen ................................ 116

TABLE DES MATI ` ERES 5
5 ANNEXE : Rappel sur le calcul diff´erentiel 121
5.1 Repr´esentation g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.1.1 Repr´esentation g´eom´etrique d’une fonction de deux variables . . . . . 121
5.1.2 Lignes et surfaces de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2 D´eriv´eespartielles................................. 123
5.2.1 Le plan tangent `a une surface z=f(x, y) au point (x0, y0, f(x0, y0)) . 123
5.2.2 Diff´erentielle totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.3 D´erivation des fonctions compos´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.4 D´eriv´ees d’ordre sup´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.5 D´eriv´ee directionnelle, gradient et plan tangent . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.5.1 D´eriv´ee directionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.5.2 Propri´et´es fondamentales du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.6 Le th´eor`eme de Taylor et le calcul approch´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.7 Extrema libres et extrema li´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.7.1 Extremalibres .............................. 128
5.7.2 Extremum li´es et la m´ethode des multiplicateurs de Lagrange . . . . 130
5.8 Les fonctions implicites et leurs d´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131