Travail dirigé 1 Ensembles, Espace euclidien Rd, Bornés, Suites

Analyse I 2013–2014 – 1BM
Travail dirigé 1
Ensembles, Espace euclidien Rd, Bornés, Suites, Séries,. . .
Exercice 1. Soient A, B, C des sous-ensembles d’un ensemble Xtels que C⊂A∪B. Montrer que
C∩(A∆B) = ∅si et seulement si A∩C⊂Bet C∩(B\A) = ∅.
Exercice 2. Si Y, Z sont des ensembles, nous définissons l’ensemble produit
Y×Z={(y, z) : y∈Y, z ∈Z}.
Si A, B, C sont des ensembles non-vides tels que A(Cet C*B, montrer que (C\A)×Cet A×(C\B)
forment une partition de C×C.
Exercice 3. Soient Xet Ydes ensembles, fune application de Xdans Yet
g:P(Y)→ P(X) : A7→ f−1(A).
(a) Montrer que fest injectif si et seulement si gest surjectif.
(b) Montrer que fest surjectif si et seulement si gest injectif.
Exercice 4. Soient Aet Bdes parties non vides de Rtelles que, pour tout a∈Aet tout b∈B, on a l’inégalité
a≤b.
(a) Montrer que sup Aet inf Bexistent et que sup A≤inf B.
(b) En déduire que si fest une fonction de R2dans R,alors on a
sup
x∈R
inf
y∈Rf(x, y)≤inf y∈Rsup
x∈R
f(x, y).
(c) Montrer que sup A= inf B⇔ ∀ > 0,∃a∈A, b ∈B:|a−b|< .
Exercice 5.
(a) Soient xet ydes réels strictement positifs. Montrer que x
y+y x≥2.
(b) Soit n∈N0.Déterminer la valeur de
inf (x1+... +xn)1
x1
+... +1
xn:x1, ..., xn∈R+
0.
Exercice 6. Si xet ysont des points de Rd, montrer que
|hx, yi| ≤ |x|+|y|
22
≤|x|2+|y|2
2.
Exercice 7. Montrer que, pour tout entier n≥1, on a
n
X
k=1
k3
2≤n(n+ 1)
2√3√2n+ 1.
Exercice 8. Si Aest un ensemble fermé borné de Rnet dune distance sur Rnalors montrer que pour tout
b∈Rnil existe a∈Atel que d(b, A) = d(b, a).
Exercice 9. Notons dune distance sur Rnet Fl’ensemble des fermés bornés de Rn. Montrer que l’application
h: (A, B)∈ F × F 7→ max sup
b∈B
d(b, A),sup
a∈A
d(a, B)
est une distance sur F, appelée distance de Hausdorff.

Exercice 10. On note dla distance euclidienne.
(a) Soient des réels a1, b1, a2, b2tels que a1< b1, a2< b2,et un point P: (x, y)de R2.On définit le rectangle
Rpar R= [a1, b1]×[a2, b2].Calculer d(P, R).
(b) (Généralisation) Soient des réels a1, ..., ad, b1, ..., bdtels que ai< bipour i= 1, ..., d, un point P:
(x1, ..., xd)∈Rd,et R= [a1, b1]×... ×[ad, bd].Calculer d(P, R).
Exercice 11. Considérons deux suites (xm)m∈Net (ym)m∈Ntelles que xm>0pour tout m∈N,xm→a∈R
et ym→b∈Roù aet bne sont pas simultanément nuls. Montrer que xym
m→ab. En déduire que si Pest un
polynome non nul de degré n∈Net positif en tous les naturels, la suite j
pP(j)j∈N0
converge vers 1.
Exercice 12. On considère les suites (xj)j∈N,strictement croissante, et (yj)j∈N,strictement décroissante. On
pose vj=xj+yj,et wj=xj−yj.
(a) Que peut-on dire sur la croissance ou décroissance des suites (vj)j∈Net (wj)j∈N?
(b) Si (xj)j∈Nn’est pas majorée et (yj)j∈Nn’est pas minorée, que peut-on dire sur la convergence des quatre
suites considérées ?
(c) Même question si (xj)j∈Nest majorée et (yj)j∈Nminorée.
(d) Montrer que si (vj)j∈Nconverge, alors soit les suites (xj)j∈Net (yj)j∈Nconvergent toutes les deux, soit
divergent toutes les deux.
Exercice 13. On considère (xj)j∈Nune suite réelle, et xun nombre réel.
(a) Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier ou donner un contre-exemple.
(1) Si xj→x, alors x2j→xet x2j+1 →x.
(2) Si x2jet x2j+1 convergent, alors xjconverge.
(3) Si x2j→xet x2j+1 →x, alors xj→x.
(b) Soit n∈N0,et soient f1, ..., fndes applications strictement croissantes de Ndans N,telles que ∪n
k=1fk(N) =
N.Montrer que
xj→x⇔(xfk(j))j∈N→x∀k∈ {1, ..., n}.
Exercice 14. Soient a∈R, k ∈N0.Étudier la convergence des suites (xj)j∈Nsuivantes. Dans les cas où la
suite converge, donner la valeur de la limite.
(a)xj=pj3−r9−1
j(b)xj=(−1)j j2(2 + cos(3j)) (c)xj=jjaj(d)xj= 2je−aj
(e)xj=kj
pj(f)xj=1
j
j
X
k=1
2k
√k3
3k
√k2(g)xj=2
j2(j−1)
j−1
X
k=1
k
j
X
k=1
(−1)k
k+ 1 (h)xj=
j
X
k=1
−1
k2+ 3k+ 2.
Exercice 15. Soit a > 0. Etudier la convergence de la suite (xj)j∈Ndéfinie par récurrence
x0∈Ret xn+1 =xn(2 −axn)pour tout n∈N.
Exercice 16. Considérons les paramètres p∈Net a∈R. Etudier la convergence des séries suivantes :
(a)
+∞
X
m=1
mam
m+3
√e(m+ 2√π)
(b)
+∞
X
m=1
1
mpm2+m+ 1 −pm2−m−1(c)
+∞
X
j=0
(j!)2
(2j)!aj
(d) ∞
X
m=0
(a−2)m
2mam√3m+ 1 (e)
+∞
X
m=1
1
Cm
m+p
(2a+ 1)m
(a−3)m+1 (f)
+∞
X
j=1
1
√1 + jp
(a2+ 1)j
(a+ 1)j
Exercice 17. Considérons une suite (ym)m∈Nconvergente tel que ym∈[0,1] pour tout m∈Net définissons la
suite récurrente (xm)m∈Npar
x0∈[0; 1[ et xm+1 =x2
mympour tout m∈N.
(a) Etudier la convergence de la suite (xm)m∈N.
(b) Etudier la convergence de la série
+∞
X
m=0
xm.
(c) Si x0= 1, que peut-on dire sur la convergence de la série
+∞
X
m=0
xm?
T. Kleyntssens et A. Deliège – Répétition 10

Analyse I 2013–2014 – 1BM
Travail dirigé 1 : Solution
Ensembles, Espace euclidien Rd, Bornés, Suites, Séries,. . .
Exercice 1. Soient A, B, C des sous-ensembles d’un ensemble Xtels que C⊂A∪B. Montrer que
C∩(A∆B) = ∅si et seulement si A∩C⊂Bet C∩(B\A) = ∅.
Solution : Vous pouvez remarquer que si C⊂A∪Balors C∩(A∆B) = ∅est équivalent à C⊂A∩B.
Exercice 2. Si Y, Z sont des ensembles, nous définissons l’ensemble produit
Y×Z={(y, z) : y∈Y, z ∈Z}.
Si A, B, C sont des ensembles non-vides tels que A(Cet C*B, , montrer que (C\A)×Cet A×(C\B)
forment une partition de C×C.
Solution : Vu les hypothèses, ces deux ensembles sont non-vides. Ils sont disjoints car leurs premières com-
posantes le sont et une simple vérification montre que leur union est égale à C×C.
Exercice 3. Soient Xet Ydes ensembles, fune application de Xdans Yet
g:P(Y)→ P(X) : A7→ f−1(A).
(a) Montrer que fest injectif si et seulement si gest surjectif.
(b) Montrer que fest surjectif si et seulement si gest injectif.
Solution :
(a) ⇒Il suffit de montrer que pour tout B∈ P(X), nous avons g(f(B)) = B, c’est-à-dire f−1(f(B)) = B
(car fest injectif).
⇐Prenons x1, x2∈Xtels que x16=x2. Vu que gest surjectif, il existe B1, B2∈ P(Y)tel que g(B1) = {x1}
et g(B2) = {x2}. Pour conclure, il suffit de remarquer que f−1(B1)∩f−1(B2) = f−1(B1∩B2)⊂ {x1} ∩
{x2}=∅et par conséquent, f(x1)6=f(x2).
(b) ⇒Cette implication résulte du fait que f(f−1(A)) = Apour tout A∈ P(Y)(car fest surjectif).
⇐Ceci résulte du fait que g({y})6=g(∅)pour tout y∈Y(car gest injectif).
Exercice 4. Soient Aet Bdes parties non vides de Rtelles que, pour tout a∈Aet tout b∈B, on a l’inégalité
a≤b.
(a) Montrer que sup Aet inf Bexistent et que sup A≤inf B.
(b) En déduire que si fest une fonction de R2dans R,alors on a
sup
x∈R
inf
y∈Rf(x, y)≤inf y∈Rsup
x∈R
f(x, y).
(c) Montrer que sup A= inf B⇔ ∀ > 0,∃a∈A, b ∈B:|a−b|< .
Solution :
(a) L’existence de sup A(resp. inf B) résulte du fait que A(resp. B) est majoré (resp. minoré). Pour montrer
l’inégalité, il faut se rappeler que sup Aest le plus petit majorant de A, et inf Ble plus grand minorant
de B.
(b) Poser A={infy∈Rf(x, y) : x∈R}et B={supx∈Rf(x, y) : y∈R},et montrer que pour tout a∈A
et tout b∈B, on a a≤b, puis utiliser le point précédent pour conclure.
(c) Condition nécessaire : Utiliser le fait que ∀ > 0,∃a∈A, b ∈B: sup A−
2< a, inf B+ 2> b
(propriété des bornes sup et inf .)
Condition suffisante : Utiliser le fait que ∀ > 0,∃a∈A, b ∈B:a≤sup A≤inf B≤bavec b−a < ,
et regarder inf B−sup A.
Exercice 5.
(a) Soient xet ydes réels strictement positifs. Montrer que x
y+y x≥2.
(b) Soit n∈N0.Déterminer la valeur de
inf (x1+... +xn)1
x1
+... +1
xn:x1, ..., xn∈R+
0.

Solution :
(a) Rappel : (x−y)2≥0.
(b) L’idée est de distribuer tous les termes et de les regrouper deux par deux (hormis ceux du type xi
xi) et
d’utiliser le point précédent. Formellement, on peut écrire
(x1+... +xn)1
x1
+... +1
xn=n+
n−1
X
i=1
n
X
j=i+1
xi
xj
+xj
xi
,
que l’on peut minorer par n2.De plus, en choisissant xi=npour tout i, on montre aisément que la borne
inférieure n2trouvée est réalisée, il s’agit donc du minimum de l’ensemble considéré.
Exercice 6. Si xet ysont des points de Rd, montrer que
|hx, yi| ≤ |x|+|y|
22
≤|x|2+|y|2
2.
Solution : Par Cauchy-Schwarz, nous avons |hx, yi| ≤ |x||y|. En développant le carré, nous remarquons que
|x||y| ≤ |x|+|y|
22
≤|x|2+|y|2
2.
Exercice 7. Montrer que, pour tout entier n≥1, on a
n
X
k=1
k3
2≤n(n+ 1)
2√3√2n+ 1.
Solution : Nous avons Pn
k=1 k3
2=Pn
k=1 k1
2k=|hx, yi| où x= (1,21 2,31 2, . . . , n 1 2)et y= (1,2,3, . . . , n). Il
suffit d’utiliser Cauchy-Schwarz pour conclure.
Exercice 8. Si Aest un ensemble fermé borné de Rnet dune distance sur Rnalors montrer que pour tout
b∈Rnil existe a∈Atel que d(b, A) = d(b, a).
Solution : Par définition, d(b, A) = inf{d(b, a) : a∈A}; dans ce cas, pour tout m∈N0, il existe am∈Atel
que d(b, A) + 1
m≥d(b, am). Vu que Aest un fermé borné de Rn, il est compact, donc il existe une sous-suite de
(am)m∈N0qui converge vers un élément a∈A. Dans ce cas, nous avons d(b, A) = d(b, a).
Exercice 9. Notons dune distance sur Rnet Fl’ensemble des fermés bornés de Rn. Montrer que l’application
h: (A, B)∈ F × F 7→ max sup
b∈B
d(b, A),sup
a∈A
d(a, B)
est une distance sur F, appelée distance de Hausdorff.
Solution : Pour montrer que h(A, B)=0implique A=B, une façon de faire est de procéder par l’absurde
en supposant A(B(resp. B(A)et utiliser l’exercice précédent. Les autres points de la définition de distance
se montre aisément.
Exercice 10. On note dla distance euclidienne.
(a) Soient des réels a1, b1, a2, b2tels que a1< b1, a2< b2,et un point P: (x, y)de R2.On définit le rectangle
Rpar R= [a1, b1]×[a2, b2].Calculer d(P, R).
(b) (Généralisation) Soient des réels a1, ..., ad, b1, ..., bdtels que ai< bipour i= 1, ..., d, un point P:
(x1, ..., xd)∈Rd,et R= [a1, b1]×... ×[ad, bd].Calculer d(P, R).
Solution : Puisque le carré est un fermé borné, l’exercice ci-dessus affirme que la distance entre Pet R
est réalisée en un point Qde R. Le point Q: (x0, y0)est tel que d(x, x0) = inf{d(x, t) : t∈[a1, b1]},i.e.
x0=xsi x∈[a1, b1], x0=a1si x<a1, x0=b1si x>b1.On procède de manière similaire pour y0.Ainsi,
d(P, R) = d(P, Q) = p(x−x0)2+ (y−y0)2.La généralisation est alors simple.
Exercice 11. Considérons deux suites (xm)m∈Net (ym)m∈Ntelles que xm>0pour tout m∈N,xm→a∈R
et ym→b∈Roù aet bne sont pas simultanément nuls. Montrer que xym
m→ab. En déduire que si Pest un
polynome non nul de degré n∈Net positif en tous les naturels, la suite j
pP(j)j∈N0
converge vers 1.

Solution : Pour la première partie, ,nous avons que xym
m= exp(ymlog(xm)) et la continuité du log et exp
permet de conclure. Pour la seconde partie, notons P(j) = Pn
i=0 aijiavec an6= 0. Nous avons que j
pP(j) =
j
√anjn1 + Pn−1
i=0
ai
an
1
jn−i
1
j→1. Remarquer que vu l’hypothèse sur P, nous avons an>0.
Exercice 12. On considère les suites (xj)j∈N,strictement croissante, et (yj)j∈N,strictement décroissante. On
pose vj=xj+yj,et wj=xj−yj.
(a) Que peut-on dire sur la croissance ou décroissance des suites (vj)j∈Net (wj)j∈N?
(b) Si (xj)j∈Nn’est pas majorée et (yj)j∈Nn’est pas minorée, que peut-on dire sur la convergence des quatre
suites considérées ?
(c) Même question si (xj)j∈Nest majorée et (yj)j∈Nminorée.
(d) Montrer que si (vj)j∈Nconverge, alors soit les suites (xj)j∈Net (yj)j∈Nconvergent toutes les deux, soit
divergent toutes les deux.
Solution :
(a) (wj)j∈Nest strictement croissante, alors que (vj)j∈Npeut être consante, croissante ou décroissante (trou-
ver des contre-exemples adéquats).
(b) (xj)j∈N→+∞,(yj)j∈N→ −∞,(wj)j∈N→+∞.Pour (vj)j∈N,on sait rien dire, ça dépend des cas
(trouver des exemples).
(c) Elles convergent toutes.
(d) Procéder par l’absurde.
Exercice 13. On considère (xj)j∈Nune suite réelle, et xun nombre réel.
(a) Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier ou donner un contre-exemple.
(1) Si xj→x, alors x2j→xet x2j+1 →x.
(2) Si x2jet x2j+1 convergent, alors xjconverge.
(3) Si x2j→xet x2j+1 →x, alors xj→x.
(b) Soit n∈N0,et soient f1, ..., fndes applications strictement croissantes de Ndans N,telles que ∪n
k=1fk(N) =
N.Montrer que
xj→x⇔(xfk(j))j∈N→x∀k∈ {1, ..., n}.
Solution :
(a.1) Vrai, car les sous-suites d’une suite convergente convergent vers la même limite que la suite en question.
(a.2) Faux. Contre-exemple : xj= (−1)j.
(a.3) Vrai. Utiliser le critère en : trouver J∈Ntel que si j≥J, alors |xj−x|< .
(b) Condition nécessaire : voir a.1.
Condition suffisante : Utiliser le critère en comme pour a.3. Par hypothèse, il existe J1, ..., Jntels que, si
j≥Jkalors |xfk(j)−x|< . Poser J= max{f1(J1), ..., fn(Jn)}et montrer que si j≥J, alors |xj−x|< .
Exercice 14. Soient a∈R, k ∈N0.Étudier la convergence des suites (xj)j∈Nsuivantes. Dans les cas où la
suite converge, donner la valeur de la limite.
(a)xj=pj3−r9−1
j(b)xj=(−1)j j2(2 + cos(3j)) (c)xj=jjaj(d)xj= 2je−aj
(e)xj=kj
pj(f)xj=1
j
j
X
k=1
2k
√k3
3k
√k2(g)xj=2
j2(j−1)
j−1
X
k=1
k
j
X
k=1
(−1)k
k+ 1 (h)xj=
j
X
k=1
−1
k2+ 3k+ 2.
Solution : Les valeurs des limites des suites sont : a) 0+b) 0 c) 0 si a= 0,∞sinon (et en fait +∞si a > 0)
d) + ∞si a < ln(2),1si a= ln(2),0+si a > ln(2) e) 1+f) 1+g) 0 h) (−1
2)+
Exercice 15. Soit a > 0. Etudier la convergence de la suite (xj)j∈Ndéfinie par récurrence
x0∈Ret xn+1 =xn(2 −axn)pour tout n∈N.
Solution : Converge vers 1
asi x0∈]0,2 a[; converge vers 0si x0∈ {0,2 a}; diverge sinon.
Exercice 16. Considérons les paramètres p∈Net a∈R. Etudier la convergence des séries suivantes :
(a)
+∞
X
m=1
mam
m+3
√e(m+ 2√π)
(b)
+∞
X
m=1
1
mpm2+m+ 1 −pm2−m−1(c)
+∞
X
j=0
(j!)2
(2j)!aj
(d) ∞
X
m=0
(a−2)m
2mam√3m+ 1 (e)
+∞
X
m=1
1
Cm
m+p
(2a+ 1)m
(a−3)m+1 (f)
+∞
X
j=1
1
√1 + jp
(a2+ 1)j
(a+ 1)j