developpements agreg interne

« PETIT » BESTIAIRE D’EXERCICES DE
MATHÉMATIQUES AVEC LEUR
CORRIGÉ, À L’USAGE DE L’ORAL
VOIRE DE L’ÉCRIT DE CERTAINS
CONCOURS (AGRÉGATION EXTERNE,
INTERNE & CAPES)
Version du 7 mars 2008
PATRICE LASSÈRE
UNIVERSITÉ PAUL SABATIER
Laboratoire de Mathématiques Émile Picard, UMR CNRS 5580,
31 062, TOULOUSE Cedex 4, FRANCE. [e-mail]

jMODE D’EMPLOI j

Table des matières
partie 1. ALGÈBRE LINÉAIRE ET MULTININÉAIRE 11
Chapitre 1. ALGÈBRE LINÉAIRE 13
Dans Mn(C), tout hyperplan rencontre GLn(C). .................................... 13
Dimension, bases et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Matrices et réduction............................................................... 14
Une équation matricielle dans M2(C)............................................... 15
Histoire de matrices nilpotentes .................................................... 15
Autour du commutant ............................................................. 15
Étude A7→ A3dans M3(R)........................................................ 16
Réduction des endomorphismes .................................................... 17
Encore deux démonstration de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Étude de M3(R)3B7→ AB ........................................................ 20
A5+A3+A= 3Iddans Md(C)..................................................... 20
Polynôme minimal et dimension du noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Étude de ϕ:A∈Mn(R)7−→ ϕ(A) = −A+tr(A)In................................. 21
Espaces vectoriels, dimension, réduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Rayon spectral et décomposition de Dunford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Matrices nilpotentes................................................................ 23
Matrice, comatrice et rang.......................................................... 23
Séries entières, algèbre linéaire ..................................................... 24
Matrices semblables, polynômes..................................................... 24
Réduction des endomorphismes..................................................... 25
Réduction des endomorphismes..................................................... 25
Groupes, réduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 26
Inégalité, matrices, déterminant .................................................... 26
Un théorème de Kronecker ......................................................... 27
Le commutant dans M2(K)........................................................ 29
Points isolés des solutions de l’équation X2=Indans Mn(R)....................... 30
Sur l’équation sin(A) = B.......................................................... 31
Quelques propriétés topologiques de On(R)et Un(C)............................... 32
Dans Mn(R):AB +A+B= 0 =⇒AB =BA ................................. 32
Dual de Mn(C), tout hyperplan de Mn(C)rencontre GLn(C)....................... 32
Caractérisation des matrices nilpotentes par la trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Sur l’équation Ap=Indans Mn(Z). ................................................ 36
Calcul de exp(A)où A= ((exp(2iπ(k+l)/5)))k,l ∈M5(C). ......................... 36
Matrices entières inversibles ........................................................ 37
i

Sur l’équation S=X2dans Mn(C)avec Ssymétrique et Xantisymétrique. . . . . . . . . 37
Chapitre 2. ALGÈBRE BILINÉAIRE ET HERMITIENNE 39
Sur l’équation S=X2dans Mn(C)avec Ssymétrique et Xantisymétrique. . . . . . . . . 39
Convexité, matrice symétrique, calcul d’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Matrices symétriques............................................................... 40
Espaces euclidiens et projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Une matrice symétrique non diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Produit scalaire, continuité, topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Autour de la trace ................................................................. 43
Bases orthormées .................................................................. 43
Toute matrice carrée réelle est produit de deux matrices symétriques réelles . . . . . . . . 44
Sur l’équation det(In−xA −yB) = det(In−xA) det(In−yB),∀x, y ∈R. ....... 46
partie 2. POLYNÔMES 49
Sur les polynômes de la forme P=QP 00 avec deg(Q) = 2 ........................... 50
Trois exercices sur les polynômes ................................................... 50
Polynômes harmoniques et homogènes en deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Polynomes et fractions rationelles, approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Polynômes, nombres premiers ...................................................... 54
Polynômes dans Z[X].............................................................. 55
Polynômes trigonométriques : un théorème de Fejèr-Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Autour du résultant de deux polynômes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Le théorème de Gauss-Lucas........................................................ 58
Le théorème de Gauss-Lucas : nouvelle approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Une inégalité autour des polynômes ................................................ 60
Encore un calcul de ζ(2) ........................................................... 60
Nombre de racines réelles du 2005-ième itéré de P(x) = x2−1..................... 61
Racines de P(z)et de 2zP 0(z)−dP (z)............................................. 62
Un polynôme de degré 6et un peu de géométrie .................................... 63
Sur les racines multiples du polynôme dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
partie 3. GÉOMÉTRIE 65
Optimisation dans un triangle ...................................................... 66
Sur la longueur de l’intersection entre une parabole et un disque . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 66
Inégalités dans un triangle (1)...................................................... 68
Inégalités dans un triangle (2)...................................................... 69
Coniques : le théorème de Joachimsthal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Heptadivision d’un triangle......................................................... 70
Disposition de npoints sur une sphère ............................................. 73
Une suite associée à un polygône ................................................... 73
Sur la longueur de l’ellipse ......................................................... 74
Même périmètre et même aire ...................................................... 75
Deux inégalités .................................................................... 76
ii

partie 4. COMBINATOIRE ET PROBABILITÉS 79
Combinatoire : les nombres de Bell ................................................. 80
Un peu de dénombrement autour d’une série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Autour du « nombre de dérangements » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Distance entre deux racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Distribution de deux points sur un segment (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
« Probabilité » que deux entiers soient premiers entre-eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Nombre de matrices symétriques à coefficients dans {0,1}et série entières . . . . . . . . . . 89
Distribution aléatoire de deux points sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Dénombrement et séries entières/génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Groupes et probabilités ............................................................ 91
Dénombrement et algèbre linéaire................................................... 91
Les dés sont pipés.................................................................. 92
Avec un peu d’algèbre linéaire ..................................................... 94
Probabilité d’obtenir un multiple de cinq en jetant ndés ........................... 95
Combinatoire et matrices .......................................................... 96
102006 divise n!...................................................................... 97
Dénombrement dans les groupes.................................................... 97
partie 5. ANALYSE 1 99
Chapitre 3. TOPOLOGIE 101
Une famille totale dans l2(N).......................................................101
La somme de deux sous espaces fermés est-elle fermée ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Deux sous-espaces fermés dont la somme ne l’est pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Complémentaire d’un hyperplan dans un espace vectoriel normé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Normes, normes équivalentes .......................................................105
Démonstration des inégalités faibles de Kolmogorov via les normes équivalentes,
formule de Taylor ..................................................................106
L’ensemble Pdes nombres premiers est infini : preuve topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Espace métrique et continuité ......................................................108
Normes sur C0([0,1]) .............................................................. 109
Autour des suites décroissantes de fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Continuité de l’opérateur de dérivation dans C∞(R)et R[X]........................111
Deux normes non équivalentes en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Topologie dans Mn(R)et Mn(C): propriétés de Dnet D0
n...........................112
Topologie dans Mn(R): l’adhérence de Dn(R)......................................114
Autour des sous-groupes de R......................................................115
Le théorème de Riesz dans un espace de Hilbert : c’est facile ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Connexité.......................................................................... 118
Un opérateur borné sans adjoint.................................................... 119
exp(A)∈C[A],∀A∈Mn(C).......................................................119
Topologie dans Mn(C): commutant et bicommutant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Topologie dans Mn(C): autour des matrices nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Topologie dans Mn(C): les classes de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
iii