examen final master1 s1 2011 2012

Université Abdel Hamid Ibn Badis Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et Informatique
Département de Mathématiques
Théorie des Opérateurs Linéaires I
Master1 AF - AH - MCO Examen Final 2011-2012
Date: Jeudi 09 Février 2012 Time: 10.00-11.45
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Exercice 1 Notons par El’espace des suites (x1; x2;   ; xn;   )de nombres complexes avec
seulement un nombre …ni de termes non nuls.
1. Montrer que Eest un espace péhilbertien avec le produit scalaire dé…ni par
hx; yi=
1
X
k=1
xkyk; x = (x1; x2;   ; xn;   ); y = (y1; y2;   ; yn;   ):
2. Eest-il un espace de Hilbert?
Exercice 2 Considérons l’espace des fonctions continues C([1;1]) et soit ffngune suite
de fonctions dé…nies par :
fn(x) = 8
<
:
1; si 1x0;
12nx si 0< x 1
2n
0; si 1
2n< x 1:
1. Trouver la taille de fndans les deux cas suivants :
(a) pour la norme naturelle de C[1;1];
(b) pour la 1-norme.
2. Pour quelle norme ffngest une suite de cauchy?
3. Pour quelle norme ffngadmet-elle une limite dans C[1;1]?
4. Pour quelle norme l’espace C[1;1] n’est pas complet?
Exercice 3 Dé…nissons sur l’espace des suites in…nies bornées l1l’action suivante
A(x1; x2;   ; xn;   ) = x1;x2
2;   ;xn n;   :
1. Montrer que Adé…nie bien un opérateur linéaire borné.
2. Montrer que Im An’est pas fermé dans l1.