examen final master1 s1 2011 2012

Université Abdel Hamid Ibn Badis Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et Informatique
Département de Mathématiques
Théorie des Opérateurs Linéaires I
Master1 AF - AH - MCO
Examen Final
2011-2012
Date: Jeudi 09 Février 2012
Exercice 1 Notons par E l’espace des suites (x1 ; x2 ;
seulement un nombre …ni de termes non nuls.
Time: 10.00-11.45
( reading time)
; xn ;
) de nombres complexes avec
1. Montrer que E est un espace péhilbertien avec le produit scalaire dé…ni par
1
X
hx; yi =
xk yk ; x = (x1 ; x2 ;
; xn ;
) ; y = (y1 ; y2 ;
; yn ; ) :
k=1
2. E est-il un espace de Hilbert?
Exercice 2 Considérons l’espace des fonctions continues C ([ 1; 1]) et soit ffn g une suite
de fonctions dé…nies par :
8
si
1 x 0;
< 1;
1 2n x si 0 < x 21n
fn (x) =
:
0;
si 21n < x 1:
1. Trouver la taille de fn dans les deux cas suivants :
(a) pour la norme naturelle de C [ 1; 1];
(b) pour la 1-norme.
2. Pour quelle norme ffn g est une suite de cauchy?
3. Pour quelle norme ffn g admet-elle une limite dans C [ 1; 1]?
4. Pour quelle norme l’espace C [ 1; 1] n’est pas complet?
Exercice 3 Dé…nissons sur l’espace des suites in…nies bornées l1 l’action suivante
x2
xn
A (x1 ; x2 ;
; xn ;
) = x1 ; ;
; ;
:
2
n
1. Montrer que A dé…nie bien un opérateur linéaire borné.
2. Montrer que Im A n’est pas fermé dans l1 .