Les droites dans un repère - Académie de Nancy-Metz

R.Oppé
Chapitre
3
Bac Pro
Les droites
dans un repère
Les apprentissages :
Comment construire une droite ?
Comment trouver l’équation d’une droite ?
Les outils et leurs modes d’emploi :
( à consulter chaque fois que nécessaire )
o les différents repères
o méthode de repérage d’un point
Activités ou approche > Cours et méthodes > Fiche de révision > Exercices et problèmes
Activités
Transformer un énoncé sous forme mathématique :
Une famille circule en voiture à une vitesse moyenne de 65 km/h. Le déplacement
prévu a pris 7h. Problème posé : quelle a été la distance parcourue ?
o Calculons les distances parcourues pour certains temps de parcours.
C’est le tableau de valeurs.
Temps t
(en h)
Distance d
(en km)
d/t
8
1
2
4.5
5
6
65
130
292.5
325
390
520
65
65
65
65
65
65
× 65
Réponse au problème posé : entre 390 et 520 km pour 7 h de parcours
o Trouvons la formule qui permet de calculer la distance parcourue pour un temps
donné.
C’est la relation ou l’équation.
d = 65 × t
avec d la distance
et t le temps
la vitesse étant de 65 km/h
Réponse au problème posé : d = 65 × 7 = 455 km pour 7 h de parcours
o Représentons par un dessin les valeurs du tableau.
C’est la représentation graphique.
distance en km
600
500
450 km
400
300
200
100
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
temps en h
7h
Réponse au problème posé : par lecture 450 km pour 7 h de parcours
Bac Pro
Chapitre 3 Les droites dans un repère
2
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Activités
Transformer un 2ème énoncé sous forme mathématique :
Le réservoir d’une voiture contient au départ 60 l d’essence. La voiture consomme 8 l
d’essence aux 100 km. Problème posé : quelle distance peut-elle parcourir ?
o Calculons les quantités d’essence restant dans le réservoir pour certaines
distances parcourues. C’est le tableau de valeurs.
Distance
parcourue d
100
200
450
500
600
700
(en km)
Volume
60
60
60
60
60
60
-0.08 ×100= -0.08 ×200= -0.08 ×450= -0.08 ×500= -0.08 ×600= -0.08 ×700=
restant V
52
44
24
20
12
4
(en l)
o Trouvons la formule qui permet de calculer la distance parcourue pour un temps
donné. C’est la relation ou l’équation.
V = 60 – 0.08 × d
avec V le volume d’essence restant dans le réservoir
et d la distance
la consommation étant de 8 l aux 100 km ou 0.08 l/km
o Représentons par un dessin les valeurs du tableau.
C’est la représentation graphique.
volume en l
70
60
50
40
30
20
10
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
distance en km
750 km
Réponse au problème posé :
la distance sera parcourue quand le réservoir sera vide : V = 0 l
0 = 60 – 0.08 × d
0.08 × d = 60
60
d=
d =750 km
0.08
confirmé par le tableau de valeurs et la lecture graphique
Bac Pro
Chapitre 3 Les droites dans un repère
3
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Cours et méthodes
1. COMMENT DEFINIR UNE DROITE
par 2 points
par un point et une pente
ou coefficient directeur
™ POUR CELA IL FAUT UN REPERE
C’est-à-dire un quadrillage et 2 axes
y axe des
ordonnées
3
2
1
1
<
j
x
-2
-1
0
1
2
axe des
abscisses
-2
-1
0
1
2
O
<
i
-1
-2
-1
-3
Repère orthonormal
Repère orthogonal
™ ET UNE METHODE DE REPERAGE DES POINTS
y
4
3
D ( -1 ; 2 )
A(3;2)
le principe c’est :
M ( x l’abscisse ; y l’ordonnée )
2
1
x
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
B ( 2 ; -1 )
-2
C ( -2 ; -2 )
-3
Bac Pro
Chapitre 3 Les droites dans un repère
4
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Cours et méthodes
™ A UNE DROITE CORRESPOND UNE EQUATION (OU UNE RELATION)
ET INVERSEMENT A UNE EQUATION CORRESPOND UNE DROITE
Exemple : la relation y = 2 x + 1
x
-2
-1
0
1
2
3
y=2x+1
2×(-2)+1=
-4+1=
2×(-1)+1=
-2+1=
2×0+1=
0+1=
2×...+1=
…+1=
2×...+1=
…+1=
2×3+1=
6+1=
-3
-1
1
3
5
7
y
8
y=2x+1
7
6
5
4
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
o à une valeur de x donné correspond une valeur de y calculée ;
ces 2 valeurs donnent un point dans le repère ;
l’ensemble des points forme une droite et une seule
et à l’inverse
o un point quelconque de la droite vérifie l’équation ou la relation
Bac Pro
Chapitre 3 Les droites dans un repère
5
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Cours et méthodes
Exemple : la relation y = 3 x
x
y=3x
-2
0
2
3×(-2) =
3×0=
3×…=
-6
0
6
y
6
5
y=3x
4
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Bac Pro
Chapitre 3 Les droites dans un repère
6
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Cours et méthodes
2. UN PEU DE VOCABULAIRE
™ LA FONCTION LINEAIRE
3
x
y
y/x
×a
a
a
2
a
1
un tableau de proportionnalité
de coefficient de proportionnalité a
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
les trois éléments sont liés
-2
-3
une équation du type:
y=ax
y=a×x
une droite passant
par l’origine du repère
de coefficient directeur a
y = un nombre × x
™ LA FONCTION AFFINE
y
3
une équation du type:
y=ax+b
y=a×x+b
2
y = un nb × x + un nb
1
0
les trois sont liés
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
x
y = ax + b
un tableau de valeurs
sans proportionnalité
Bac Pro
-2
-3
une droite ne passant
pas par l’origine du repère
de coefficient directeur a
Chapitre 3 Les droites dans un repère
7
x
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Cours et méthodes
3. COMMENT CONSTRUIRE UNE DROITE CONNAISSANT SON EQUATION
™ POUR LES FONCTIONS LINEAIRE DU TYPE : y = a x
M
ME
ET
TH
HO
OD
DE
E ::
1er Exemple :
y=3x
La représentation graphique donne
obligatoirement une droite passant
par l’origine du repère O
2ème exemple :
y = -2 x
y
4
une valeur simple
à choisir
3
y=3x
2
un calcul à ef f ectuer
y=a x
en utilisant la relation
Placer le 2ème point et tracer la
droite passant par ce point et
l’origine
2
-2×2=
y= -2 x
-4
1
3×1=
y= 3 x
3
Il suffit de trouver un 2ème point en
complétant un tableau à 4 cases
x
x
x
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
-1
-2
y=-2x
-3
-4
Remarques : quand a>0 comme a=3 dans le 1er exemple la pente est ascendante
la fonction est croissante
quand a<0 comme a=-2 dans le 2ème exemple la pente est descendante
la fonction est décroissante
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Chapitre 3 Les droites dans un repère
8
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Cours et méthodes
™ POUR LES FONCTIONS AFFINE DU TYPE : y = a x + b
M
ME
ET
TH
HO
OD
DE
E ::
1er Exemple : y = x - 2
La représentation graphique donne
obligatoirement une droite mais ne
passant pas par l’origine du repère
x
0
3
0-2= 3-2=
y= x - 2
-2
1
y
Il suffit de trouver 2 points en
complétant un tableau à 6 cases
3
2
x
y=
a x
un 1er choix
de x
un 2ème
choix
un calcul de y un calcul de y
correspondant correspondant
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
-1
y=x-2
Placer les 2 points et tracer la
droite passant par ces points
-2
-3
Vérifications:
2ème exemple : y = -3 x + 1
quand a>0
la fonction est croissante
quand a<0
la fonction est décroissante
x
0
1
-3×0+1= -3×1+1=
y= -3 x +1
1
-2
y
pour x = 0 y = a × 0 + b
y = b l’ordonnée à l’origine
3
2
b est l’ordonnée du point
d’intersection de la droite avec l’axe
vertical
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
y=-3x+1
-3
Bac Pro
Chapitre 3 Les droites dans un repère
9
x
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Cours et méthodes
™ OU PAR LA METHODE DU COEFFICIENT DIRECTEUR
M
ME
ET
TH
HO
OD
DE
E ::
1er Exemple :
y=2x
La représentation graphique donne
obligatoirement une droite.
x
0
y= 2 x
ou
0
y=-3 x
Il suffit de trouver 1 point en
complétant un tableau à 4 cases
un choix simple
exemple x=0
x
y=
a x
y=0 origine
du repère
y=
a x
+b
le calcul de y
y=b
correspondant
intersection
avec l'axe
vertical
2ème exemple :
y = -3 x
ce qui donne
l’origine du repère
car les 2 fonctions
sont linéaires
−3
1
3
ou =
−1
2
1
4
ou =
2
a=2=
a = -3 =
5
y=2x
4
3
et une pente (coefficient directeur)
mais sous forme de fraction
2
3
2
1
a=Δy
Δx
Δy
numérateur
vertical
-1
-4
-3
-2
-1
0
1
1
2
3
4
3
4
-1
Δx
dénominateur horizontal
-3
-2
Placer le point, matérialiser la
pente ou le coefficient directeur
et tracer la droite.
-3
y=-3x
-4
-5
3ème exemple : y = -
1
x+1
2
2
1
x
0
intersection
1
sur
la verticale
y= - x + 1 1
2
à +1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-1
pente : a = -
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1
-1
=
2
2
-2
Chapitre 3 Les droites dans un repère
y=-0.5x+1
10
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Cours et méthodes
4. COMMENT TROUVER L’EQUATION D’UNE DROITE
CONNAISSANT 2 POINTS DE LA DROITE.
M
ME
ET
TH
HO
OD
DE
E ::
Tracer le repère et placer les 2
points
3
2
Exemple :
trouver l’équation de la droite passant
par les 2 points : A (1 ; 1) et B (3 ; 5)
B(xB ;yB
A(xA ;yA)
4
Δy
Δx
1
B
5
3
Δy
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1 0
-1
1
2
3
4
5
2
-2
A
-3
1
Δx
-4
L’équation est de la forme :
y=ax+b
0
-4
-3
-2
y B – yA
Δy
=
xB − xA
Δx
1
2
3
-2
-3
y=ax+b
a est trouvé
o pour le calcul de b :
-4
-5
il suffit de remplacer les
coordonnées d’un des 2 points
dans l’équation
y = a x + b (avec a déjà remplacé)
une résolution rapide permet de
calculer b
b est trouvé
0
-1
o pour le calcul du coefficient
directeur a :
a=
-1
o Calcul du coefficient directeur a :
5–1 4
a=
= =2
3-1 2
l’équation devient : y = 2 x + b
o calcul de l’ordonnée à l’origine :
remplaçons les coordonnées de
B(x=3 ;y=5) dans y = 2 x + b
ou A(x=1 ;y=1) dans y = 2 x + b
5 = 2 ×3 + b ou
1= 2 ×1 + b
5=6+b
1= 2 + b
5-6=b
5-6=b
-1 = b b = -1
-1 = b b = -1
D’où l’ équation de la droite est :
y=2x-1
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Chapitre 3 Les droites dans un repère
11
4