serie de revision espace 4 sc techniques

Kadri Wassim Révision Bac Technique
Exercice N°1 : (Principale 2008)
L’espace est muni d’un repère orthonormé direct  . On considère les points  ,
  et .
1) a) Calculer  .
b) Déterminer les composantes du vecteur  .
2) Calculer l’aire du triangle .
3) Montrer que la droite  est perpendiculaire au plan .
4) a) Vérifier que le volume du tétraèdre  égale à 27.
b) Calculer l’aire du triangle .
c) En déduire la distance du point  au plan .
Exercice N°2 : (Contrôle 2008)
L’espace est muni d’un repère orthonormé direct  . . On considère les points  ,
  et .
1) a) Déterminer les composantes du vecteur  .
b) Montrer que  est un parallélogramme et calculer son aire.
2) Soit  la sphère de centre  et de rayon  et  le plan passant par .
a) Vérifier que  .
b) Montrer que le plan  est tangent à la sphère  au point .
Exercice N°3 : (Principale 2009)
L’espace est muni d’un repère orthonormé direct  . . On considère les points  ,
  et .
1) a) Déterminer les composantes du vecteur  .
b) En déduire qu’une équation cartésienne du plan  est .
c) Montrer que  est le projeté orthogonale de  sur le plan .
2) On considère l’ensemble  des points  de l’espace tels que : 
a) Montrer que  est une sphère et préciser son centre  et son rayon .
b) Vérifier que  le milieu du segment .
c) Déterminer la position relative de la sphère  et du plan .
Géométrie dans l’espace
Bac
Technique
De 2008
Jusqu’à
2014

Kadri Wassim Révision Bac Technique
3) Soit .
a) Vérifier que  appartient à .
b) Calculer la distance du point  à la droite .
c) En déduire que la droite  est tangente à  .
d) Donner une représentation paramétrique de la droite  et déterminer les coordonnées du point
d’intersection de  avec le plan .
Exercice N°4 : ( Principale 2010)
L’espace est muni d’un repère orthonormé direct  . . On considère les points  ,
  et .
1) a) Vérifier que les points  ne sont pas alignés.
b) On désigne par  le plan . Montrer qu’une équation cartésienne de  est .
2) Soit la sphère  dont une équation cartésienne est : 
a) Montrer que  est de centre  et déterminer son rayon.
b) Montrer que le plan  est tangent à  au point .
c) Calculer le volume du tétraèdre .
3) Soit  le milieu du segment  et  le plan passant par  et parallèle à .
a) Montrer que le plan  et la sphère  sont sécantes en un cercle C.
b) Déterminer le centre et le rayon de C .
Exercice N°5 : (Contrôle 2011)
L’espace  est muni d’un repère orthonormé direct   . On considère les points  ,
  et .
1) Montrer que le triangle  est rectangle en .
2) Montrer que le vecteur  est normale au plan .
3) Calculer le volume  du tétraèdre .
4) Soit  les milieux respectifs de . On considère le plan  passant par  et
parallèle au plan .
a) Donner une équation cartésienne du plan .
b) Vérifier que  appartiennent au plan .
c) On désigne par  le volume du tétraèdre . Montrer que .
Exercice N°6 : (Principale 2012)
L’espace  est rapporté à repère orthonormé direct   . On considère les points  ,
.
1) a) montrer que les points  déterminent un plan que l’on notera .
b) Vérifier que  est une équation cartésienne de .
2) Soit le point .
a) Montrer que les points  sont non coplanaires.

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b) Calculer le volume  du tétraèdre .
3) Soit 
. On désigne par  la sphère de centre  et passant par .
a) Montrer que la sphère  passe par .
b) En déduire que le plan  coupe la sphère  suivant un cercle C .
c) Justifier que C est circonscrit au triangle .
4) Soit  la droite passant par  et perpendiculaire au plan .
a) Donner un système d’équations paramétrique de la droite .
b) Déterminer les coordonnées du point  centre du cercle C .
c) Soit  la symétrique de  par rapport à . Montrer que le volume  du tétraèdre  est égale à
.
Exercice N°7 : (Principale 2013)
L’espace  est rapporté à repère orthonormé direct   . On considère les points  ,
 et la droite 
.
On désigne par  le plan passant par  et perpendiculaire à la droite .
1) a) Montrer qu’une équation cartésienne du plan  est .
b) Vérifier que  et que .
c) Vérifier que  et que .
2) Soit le point .
a) Montrer que  est le projeté orthogonal du point  sur le plan .
b) Montrer que les points  sont non coplanaires.
c) Calculer le volume  du tétraèdre .
3) a) Calculer  en déduire la distance  du point  à la droite .
b) Vérifier que 
.
Exercice N°8 : (Contrôle 2013)
L’espace  est rapporté à repère orthonormé direct   . On considère les points  ,
 et le plan .
1) Vérifier que  appartiennent au plan .
2) Soit  l’ensemble des points  de l’espace tels que : 
a) Montrer que  est une sphère dont on précisera le centre  et le rayon .
b) Montrer que  et  se coupent suivant le cercle C circonscrit au triangle .
c) Montrer que le triangle  est équilatérale.
3) Soit  la droite passant par  et perpendiculaire au plan .
a) Montrer qu’un système paramétrique de  est : 
.
b) Déterminer les coordonnées du point d’intersection  du plan  et la droite .

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c) Vérifier que  est le centre de gravité du triangle .
d) En déduire le centre et le rayon du cercle C .
Exercice N°9 : (Principale 2014)
L’espace  est rapporté à repère orthonormé direct   . On considère les points  ,
1) a) Déterminer les composantes du vecteur  .
b) Déduire que les points  déterminent un plan  dont une équation cartésienne est :
.
2) Soit la sphère  d’équation 
a) Vérifier que  sont des points de .
b) Déduire alors l’intersection de la sphère  avec le plan .
3) Soit le point  de coordonnées 
.
On désigne par  le plan passant par  et parallèle à .
a) Déterminer une équation cartésienne de .
b) Montrer que  est tangent à la sphère  au point .
4) Soit  un point de l’espace n’appartient pas à .
a) Calculer  .
b) Montrer que le volume  du tétraèdre  est égale à 
.
c) En déduire que pour tout point  du plan  ; 
.