epm td5

Université Abdelhamid Ben Badis
Faculté des Sciences Exactes et de l’Informatique
Département de Mathématiques
Matière : Equations de la Physique Mathématique
Responsable : S. M. Bahri
Série de TD N 5
Equation de Di¤usion
01/12/2016
Exercise 1 Considérons la solution 1 x2 2kt de l’équation de di¤ usion.
Trouver les positions de son maximum et de son minimum dans le rectangle
fermé f0 x 1; 0 t T g.
Exercise 2 Considérons l’équation de di¤ usion ut = uxx dans le réctangle
f0 < x < 1; 0 < t < 1g
avec
u(0; t) = u(1; t) = 0 et u(x; 0) = 4x(1
x):
(A) Montrer que 0 < u(x; t) < 1 pour tout t > 0 et 0 < x < 1.
(B) Montrer que u(x; t) = u(1 x; t) pour tout t 0 et 0 x 1.
R1
(C) Utiliser la méthode de l’énergie pour montrer que 0 u2 dx est une fonction strictement décroissante de t.
Exercise 3 Le but de cet exercice est de montrer que le principe du maximum
n’est pas vrai pour l’équation ut = xuxx , qui a un coe¢ cient variable.
(A) Véri…ez que u = 2xt x2 est une solution. Trouver la position de son
maximum dans le rectangle fermé f 2 x 2; 0 t 1g.
(B) Où exactement notre démonstration du principe du maximum (voir
cours) se bloque-t-elle pour cette équation?
Exercise 4 Résoudre l’équation de di¤ usion avec la condition initiale
Exercise 5 Résoudre l’équation de di¤ usion avec la condition initiale
Exercise 6 Résoudre l’équation de di¤ usion ut = kuxx avec la condition initiale u(0; x) = x2 en notant que uxxx (t; x) véri…e la même équation avec la
condition initiale 0.
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Exercise 7 a) Résoudre l’exercice6 en utilisant la formule générale vue dans
le cours.
b) Déduire la valeur de
Exercise 8 Résoudre l’équation de di¤ usion avec dissipation constante :
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