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a, b R0< c < ba
2
f:x7→ (1|x| ≤ c
0
g(t) = Zb
a
f(tx) dx
2x+ 4x2= 3x+ 3x2
xR
x]0 ; 1[ ]1 ; +[
f(x) = Zx2
x
dt
ln t
f(x)x]0 ; 1[ ]1 ; +[
x > 1
Zx2
x
xdt
tln tf(x)Zx2
x
x2dt
tln t
f1+
f1
fC1]0 ; 1[ ]1 ; +[
f0(x)
fC1
C]0 ; +[
R
f:x7→ Z2x
x
et
tdt
f
fC1R
f:RRC1a > 0
I(x) = 1
xa+1 Zx
0
taf(t) dt
I(x)x
f∈ C([0 ; 1],R)
R1
0tnf(t) dt
R1
0tndt!n0
In=Z1
0
xn+1
ln(1 x)dx
g
ctxctcxt+c
tac t b+c g(t) = 0
acta+c g(t) = Rt+c
a1 dx=t+ca
a+ctbc g(t) = Rt+c
tc1 dt= 2c
bctb+c g(t) = Rb
tc1 dx=bt+c
g
4x23x2= 3x2x
3x2x=Z1
0
x(2 + t)x1dt4x23x2=Z1
0
x2(3 + t)x21dt
Z1
0
ϕ(t) dt= 0
ϕ
ϕ(t) = x(x(3 + t)x21(2 + t)x1)
x0x1ϕ
x]0 ; 1[
x(3 + t)x21(2 + t)x1
ln x+ (x21) ln(3 + t)(x1) ln(2 + t)
f:x7→ ln x+ (x21) ln(3 + t)(x1) ln(2 + t) ]0 ; 1]
f
f0(x) = 1
x+ 2xln(3 + t)ln(2 + t)
x1/2f0(x)1
x+ ln(3 + t)ln(2 + t)0
x1/2f0(x)2ln(2 + t)2ln 3 0
f0(x)0f
f(1) = 0 f
Z1
0
ϕ(t) dt= 0
ϕ
ϕ
x0x= 0
x > 0ϕ
t[0 ; 1],1
x+ (x21) ln(3 + t)(x1) ln(2 + t)=0
t
t[0 ; 1],x21
3 + t=x1
2 + t
x= 1
x= 0 x= 1
S={0,1}
x
x x2
x > 1t[x;x2]xtx2ln t > 0
Zx2
x
xdt
tln tf(x)Zx2
x
x2dt
tln t
Zx2
x
dt
tln t= [ln |ln t|]x2
x= ln 2
f(x)
x1+ln 2
x < 1x2xln t < 0
x2ln 2 f(x)xln 2
f(x)
x1ln 2
H t 7→ 1/ln t]0 ; 1[ ]1 ; +[
f(x) = H(x2)H(x)f
C1]0 ; 1[ ]1 ; +[
f0(x) = x1
ln x
fC1
f f
C1]0 ; +[
fC]0 ; 1[ ]1 ; +[
fln x
x1
x= 1 + h
1
f0(x)=1
hln(1 + h) =
+
X
n=0
(1)nhn
n+ 1
|h|<1
1
f0(x)C
f0(x)C
x0+
t[x; 2x],exete2x
exln 2 f(x)e2xln 2
f(x)ln 2
x0f(x)ln 2 f
f(0) = ln 2
F t 7→ et/t R
+FC1
f(x) = F(2x)F(x)fC1
f0(x) = e2xex
x
R
f0(x)
x01
fC1Rf0(0) = 1
I(x)f(0)
a+ 1 =1
xa+1 Zx
0
taf(t) dtZx
0
taf(0) dt=1
xa+1 Zx
0
ta(f(t)f(0)) dt
ε > 0α > 0
|x| ≤ α=⇒ |f(x)f(0)| ≤ ε
|x| ≤ α t x |f(t)f(0)| ≤ ε
1
xa+1 Zx
0
ta(f(t)f(0)) dt
ε
lim
x0I(x) = f(0)
a+ 1
R1
0tnf(t) dt
R1
0tndt=Z1
0
(n+ 1)tnf(t) dt
u=tn+1
R1
0tnf(t) dt
R1
0tndt=Z1
0
f(u1/(n+1)) du
kfk
R1
0tnf(t) dt
R1
0tndtf(1)
f: ]0 ; 1[ R
f(x) = ln(1 x)
x=
+
X
n=0
xn
n+ 1
0
a, b ]0 ; 1[
(n+ 1)In=An+Bn+Cn
An=Za
0
(n+ 1) xn
f(x)dx, Bn=Zb
a
(n+ 1) xn
f(x)dx Cn=Z1
b
(n+ 1) xn
f(x)dx
f
0AnZa
0
(n+ 1)xn
f(0) =an+1
a= 1 εnεn=ln n
n0
ln(n)an+1 = eln(ln n)+(n+1) ln(1εn)0
ln(ln n)+(n+ 1) ln(1 εn) ln n→ −∞
An= o 1
ln n
f
0CnZ1
b
(n+ 1)xn
f(b)dx=1bn+1
f(b)
b= 1 ηnηn=1
n(ln n)0
bn+1 1f(b)ln n
Cno1
ln n
f
bn+1 an+1
f(b)Bnbn+1 an+1
f(a)
bn+1 an+1 1f(b)f(a)ln n
(n+ 1)In1
ln n
In∼ − 1
nln n
t=ln(1 x)x= 1 et
In=Z+
0
(1 et)n+1
tetdt
In=Z+
0
n+1
X
k=0
(1)kn+ 1
ke(k+1)t
tdt
0
n+1
X
k=0
(1)kn+ 1
k= 0
0
In=
n+1
X
k=0
(1)kn+ 1
kZ+
0
ete(k+1)t
tdt
Z+
0
ete(k+1)t
tdt= lim
ε0Z+
ε
ete(k+1)t
tdt= ln(k+ 1)
n+1
X
k=0
(1)kn+ 1
kln(k+ 1) ∼ − 1
nln n
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