NOMBRES ET DEMONSTRATION

NOMBRES ET DEMONSTRATION.
Objectif: Démontrer que tous les éléments d'un ensemble vérifient une certaine propriété.
A COMMENT DEMONTRER QU'UN ENONCE EST VRAI
Si le nombre de vérifications est peu élevé . on teste tous les cas
Montrer que: “ pour tout entier naturel n inférieur ou égal à 4, "6 n + 5" est un nombre premier ”.
Il n'y a que 5 valeurs de n à tester.
Vers la solution : On calcule : 6 0 + 5 = 5, 6 1 + 5 = 11, 6 2 + 5 = 17, 6 3 + 5 = 23, 6 4 + 5 = 29.
On obtient à chaque fois un nombre premier.
ex1 Montrer que, si n est un entier naturel tel que 2 n 5, alors 7n – 2n est un multiple de 5.
Si le nombre de vérifications est élevé on peut tester tous les cas en utilisant une calculatrice programmable
ou un logiciel de calcul formel.
Si le nombre de vérifications est hors de portée on fait une démonstration en utilisant un nombre
quelconque qu'on peut noter n .
Montrer que, si on retranche 1 au carré d'un entier impair, on obtient un multiple de 4.
Vers la solution : 12 – 1 = 0 multiple de 4, 32 – 1 = 8 multiple de 4, 52 – 1 = 24 multiple de 4 : on a fait 3
vérifications alors qu'on doit en faire une infinité.
La forme générale d'un entier naturel impair quelconque n est n = 2 p + 1 avec p I; N.
Recopier et compléter : (2 p + 1)2 – 1 = 4 p2 + 4 p + 1 – 1 = 4 p2 + 4 p = 4 (p2 + p) = p (p + 1)
avec p2 + p entier naturel, donc c'est un multiple de 4.
ex 2 Montrer que le produit de deux entiers naturels consécutifs est pair et en déduire que, si on retranche 1 au
carré d'un entier impair, on obtient un multiple de 8.
ex 3 Soit a = 8 9 10 ... 100. Montrer que 8 est un diviseur de (a + 8).
Montrer que les nombres a + 8, a + 9, ..., a + 100 sont tous non premiers.
B COMMENT DEMONTRER QU'UN ENONCE UNIVERSEL EST FAUX
Il suffit de mettre en évidence un contre-exemple.
Montrer que l'énoncé “ tout réel x est inférieur à son carré ” est faux.
Vers la solution : On calcule 0,52 et on conclut.
ex 4 Montrer que les énoncés suivants sont faux
a) Tout entier pair est multiple de 4.
b) L'inverse de la somme de deux nombres non nuls est égal à la somme des inverses de ces nombres.
c) Pour tout réel x, si x < 2, alors x2 < 4.
d) a et b étant réels, a2 + b2 > 0.
e) Si n est un entier naturel premier, alors (n + 1) n'est pas premier.
f) – x n'existe jamais.
C DETERMINER SI UNE CONJECTURE ET VRAIE OU FAUSSE
On commence par faire quelques essais puis, s'ils laissent à penser que la conjecture est vraie, or cherche une
démonstration.
La conjecture “ la somme d'un entier et de son carré est égale à la différence du carré de l'entier suivant et de cet
entier suivant. ” est-elle vraie ?
1 + 12 = 22 – 2, 2 + 22 = 32 – 3, 32 + 3 = 42 – 4, 42 + 4 = 52 – 5.
Soit n I; N : Il faut comparer n2 + n et (n + 1)2 – (n + 1). (n + 1)2 – (n + 1) = n2 + 2 n + 1 – n – 1 = n2 + n.
On a bien pour tout entier n , n2 + n = (n + 1)2 – (n + 1). La conjecture est vérifiée.
ex 5
Soit E = 2n + 2n+1 + 2n+2 avec n entier naturel, peut-on conjecturer que E est divisible par 7?