Variables aléatoires réelles discrètes

S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Variables aléatoires réelles discrètes
Université de Picardie Jules Verne 2011-2012
UFR des Sciences
Licence mention Mathématiques -Semestre 4
Probabilités 1
Variables aléatoires réelles discrètes
1-Définition.Loi de probabilité.
Définition.
Soit ,A,Pun espace probabilisé. On appelle v.a.r. discrète toute application Xde dans vérifiant
les deux conditions suivantes :
il’ensemble XXdes valeurs prises par Xest fini ou infini dénombrable (i.e. au plus
dénombrable) ; on peut donc numéroter ses éléments par des indices entiers : Xxk,kK,K
désignant une partie de .
iipour tout xkde X,AkX1xk /XxkXxkA.
La v.a.r. Xest alors dite discrète finie ou discrète infinie.
Dans ce cas, on peut munir Xde la tribu AXPX.
Remarques.
iLa famille Xxk,xkXforme une partition de , c’est-à-dire un système complet
d’événements. On a ainsi
x
k
X
PXxk
kKPXxk1 ; cette somme étant une série convergente si
Xest infini, et une somme ordinaire si Xest fini.
iiSi est fini ou dénombrable, alors toute application Xde dans est une v.a.r. discrète.
Théorème.
Soit Xune v.a.r. discrète définie sur un espace probabilisé ,A,P. Alors, l’application
PX:AX
APXAPX1A est une probabilité sur X,AX.
Preuve.
Pour tout xde X,xAXPX, donc X1x A(car Xest une v.a.r.).
Pour tout AAX, on peut écrire A
xAx, cette réunion étant au plus dénombrable (car Xl’est). Ainsi
X1A
xAX1x, réunion au plus dénombrable d’éléments de A, donc X1AA(car Aest une
tribu). L’application PXest donc bien définie pour tout AAX.
On a PXXPX1X P1.
Pour toute suite Annune suite d’éléments deux à deux disjoints de AX,
PX
nAnP X1 nAnP nX1An
nPX1An  nPXAn.
Définition.
La probabilité PXest appelée loi de probabilité de la v.a.r. X.
Remarque.
Pour tout AAXPX,A
xAx, réunion au plus dénombrable d’éléments deux à deux disjoints
de AX, donc PXAPX
xAx
xAPXx. Ainsi, PXest parfaitement déterminée si on connait
PXx PX1x PXx, pour tout xXX.
Donc en pratique, on appelle loi de probabilité d’une v.a.r. discrète Xla donnée de PXxpour tout
xX. On doit évidemment avoir
x
X
PXx1.
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Remarque.
Deux variables aléatoires Xet Ypeuvent avoir la même loi (PXPY) sans être égales.
Par exemple, lorsqu’on lance deux dés discernables équilibrés à 6 faces, les variables aléatoires Xet Y
égales au résultat de chaque dé suivent la même loi : X Y1,2,3,4,5,6et pour tout
k1,2,3,4,5,6,PXk1
6. Pour autant, on n’a pas l’égalité XY, i.e. XYpour tout
  1,2,3,4,5,62, ce qui signifierait que les deux dés donnent toujours un double. Par contre, on peut
considérer l’événement XY, dont la réalisation n’est pas certaine, et calculer sa probabilité :
PXY6
36 1 6; on a alors PXY5 6.
2-Fonction de répartition d’une v.a.r.discrète.
Soit Xune v.a.r. discrète et FXsa fonction de répartition, définie pour tout réel xpar FXxPXx.
Rappelons que pour tout x0,FXx0lim
xx
0
FXxet PXx0FXx0lim
xx
0
FXx. De plus, pour
tous réels xet ytels que xy,PxXyFXyFXx, donc si Xx,y, alors
PxXy0 donc FXyFXx; comme FXest croissante, FXest constante sur x,y. On en déduit
que FXest une fonction en escalier, dont les sauts se présentent en chacune des valeurs xde X, le saut
correspondant étant égal à PXx.
Si Xx1,x2,...,xnest fini, avec x1x2...xnet on a
FXx
0 si x,x1
i1
kPXxisi xxk,xk1,k1,...,n1
1 si xxn,
.
Si Xx1,x2,...,xn,...est infini, avec x1x2...xn... et on a
FXx
0 si x,x1
i1
kPXxisi xxk,xk1,k1,2,... .
Dans les deux cas, FXcaractérise la loi de probabilité de Xpuisque PXx1FXx1et pour tout
entier k2, PXxkFXxkFXxk1. Plus précisément, on peut démontrer que deux variables
aléatoires discrètes Xet Yont même loi si et seulement si leurs fonctions de répartition respectives FXet FY
sont égales.
Résultat utile lorsque PXkse calcule plus facilement que PXk: si Xest une v.a.r. discrète à
valeurs dans ou , alors pour tout entier k,PXkPXkPXk1FXkFXk1.
3-Exemples de v.a.r.discrètes.
V.a.r. Uniforme sur un ensemble fini de réels x1,...,xn.
Xx1,...,xnet pour tout k1,...,n,PXxk1
n.
Par exemple, le numéro Xobtenu lors du lancer d’un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 suit la loi
Uniforme sur 1,2,3,4,5,6.
V.a.r. de Bernoulli Bp,p0,1.
X0,1,PX1pet PX01p.
Si Aest un événement de probabilité p, alors X1Asuit la loi de Bernoulli Bp. Réciproquement, si X
suit la loi de Bernoulli Bp, on peut toujours écrire X1A, avec A/X1X11.
V.a.r. Binomiale Bn,p,n,p0,1.
X0,1,...,net pour tout k0,...,n,PXkCn
kpk1pnk.
Par exemple, le nombre Xde réalisations d’un événement Ade probabilité plors de nrépétitions
indépendantes d’une même expérience suit la loi Binomiale Bn,p. De même, si A1, ..., Ansont n
événements mutuellement indépendants de même probabilité pet si on considère la variable aléatoire
Xi1A
i
de loi de Bernoulli Bp, alors X
i
1
nXisuit la loi Binomiale Bn,p.
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V.a.r. de Poisson P,0.
Xet pour tout k,PXkek
k!.
4-Espérance mathématique d’une v.a.r.discrète.
Soit Xune v.a.r. discrète définie sur un espace probabilisé ,A,P. On a alors Xxk,kK,K
désignant une partie de .
Définition.
Soient Xune v.a.r. discrète et Xxk,kK. On dit que Xadmet une espérance mathématique si
la série
kK|xk|PXxkest convergente.
On appelle alors espérance mathématique de X le réel EX
kKxkPXxk.
Exemples.
1) Xv.a.r. constante, i.e. Xcet PXc1. On a EXc.
2) Xv.a.r. Binomiale Bn,p. On a X0,1,...,n.
EX
k0
nkPXk
k0
nkCn
kpk1pnk
k1
nkCn
kpk1pnk
or kCn
kkn!
k!nk!nn1!
k1!nk!nCn1
k1
donc EX
k1
nnCn1
k1pk1pnknp
k1
nCn1
k1pk11pn1k1
soit EXnp
k0
n1Cn1
kpk1pn1knpp1pn1np.
3) Xv.a.r. Poisson P. On a X.
EX
k0
kPXk
k0
kek
k!
k1
ek
k1!e
k1
k1
k1!
or
k1
k1
k1!
k0
k
k!edonc EXee.
Remarques.
iSi Xest fini, alors Xpossède toujours une espérance mathématique car EXne comporte qu’un
nombre fini de termes.
iiUne v.a.r. discrète peut ne pas avoir d’espérance mathématique. Par exemple, soit Xla v.a.r. discrète
telle que : Xet k,PXk6
21 k2.PXest bien une probabilité sur ,P car
k
PXk6
2
k
1
k21. Mais
kPXk6
2
1
kdiverge.
iiiSoit Xune v.a.r. discrète ayant une espérance mathématique. Comme
kKPXxk1, on peut
écrire EX
kKxkPXxk
kKPXxk. Ainsi, EXest le barycentre du système pondéré de points
xk,PXxk,kK. L’espérance mathématique de Xest donc la moyenne des valeurs prises par X.
Il sera naturel de donner une mesure de la dispersion des valeurs prises par Xautour de leur moyenne : ce
sera la variance.
ivSi deux v.a.r. discrètes Xet Yont la même loi, alors EXEY. La réciproque est fausse ; il suffit
par exemple de prendre Xde loi Uniforme sur 1,1et Yde loi Uniforme sur 2,0,2, pour lesquelles
EXEY0.
Proposition. (Positivité de l’espérance mathématique).
Si Xadmet une espérance mathématique EXet si X0, alors EX0.
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5-Fonction d’une v.a.r.discrète.
Soit Xune v.a.r. discrète définie sur un espace probabilisé ,A,P, et une application de dans .
Alors, l’application X, notée X, est une v.a.r. discrète. En effet,
i XX x,xX est fini ou dénombrable puisque Xl’est.
iipour tout yX,X1y X11y X11y X ; comme
1y Xest fini ou dénombrable et Xest une v.a.r., X1y A(comme réunion finie ou
dénombrable d’éléments de A).
Théorème.
Soient Xune v.a.r. discrète et Xxk,kK. Si la v.a.r. discrète Xadmet une espérance
mathématique, alors elle est donnée par EX 
kKxkPXxk.
Preuve.
Soit Xyj,jJ. Alors EX 
jJyjPXyj.
Pour tout jJ, soit KjkK/xkyjK; ainsi Kj,jJest une partition de K. Comme
Xyj
kK
j
Xxk, réunion d’éléments deux à deux disjoints de A, on a
PXyj
kK
j
PXxk, et donc
EX 
jJyj
kK
j
PXxk
jJ
kK
j
yjPXxk
kKxkPXxk,
les séries considérées étant absolument convergentes.
Remarques.
iOn peut ainsi calculer l’espérance mathématique de Xsans qu’il soit nécessaire de déterminer sa loi
de probabilité, mais en utilisant seulement celle de X. Par exemple, on a EX2
kKxk
2PXxk, si cette
série converge.
iiPrenant pour la fonction valeur absolue, on a E|X|
kK|xk|PXxk, série dont la convergence
garantit l’existence de EX. On en déduit que si EXexiste, alors |EX|E|X|.
Proposition.(Un pas vers la linéarité de l’espérance mathématique.)
Soient Xune v.a.r. discrète, aet bdeux réels, 1et 2deux applications de dans tels que X,1Xet
2Xaient une espérance mathématique. Alors
EaX baEXbet E1X2X E1X E2X.
Les preuves des deux dernières propositions sont immédiates, et laissées au soin du lecteur.
Définitions.
Une v.a.r. discrète Xest dite centrée si EX0. Si une v.a.r. Xn’est pas centrée, alors la v.a.r.
YXEXest centrée, et est appelée v.a.r. centrée associée à X.
6-Moments d’une v.a.r.discrète.
Définition.
Soit run entier naturel non nul. On appelle moment d’ordre r d’une v.a.r. discrète Xl’espérance
mathématique de Xrsi elle existe. Dans ce cas, on a EXr
kKxk
rPXxk.
Proposition.
Si une v.a.r. discrète Xadmet un moment d’ordre r, alors elle admet tous les moments d’ordre rr.
En particulier, l’existence du moment d’ordre 2 entraîne l’existence de l’espérance mathématique.
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Preuve.
Pour tout entier naturel non nul r, et tout réel xpositif, xr1xr1. On en déduit que si le moment
d’ordre rexiste, on a
kK|xk|r1PXxk kK|xk|rPXxk kKPXxk kK|xk|rPXxk1, ce qui
prouve l’existence du moment d’ordre r1.
Définitions.
Soit run entier naturel non nul. On appelle moment centré d’ordre r d’une v.a.r. discrète Xl’espérance
mathématique de XEXrsi elle existe.
En particulier, on appelle variance de X, et on note VarXle moment centré d’ordre 2 s’il existe. On a
alors VarXEXEX2
kKxkEX2PXxk.
Si Xa une variance, on appelle écart-type de X le nombre XVarX.
Remarques.
iLa série définissant VarXétant à termes positifs, cela dispense de parler de convergence absolue.
iiPour que Xait une variance, il faut et il suffit que Xadmette un moment d’ordre 2.
iiiUne v.a.r. discrète prenant un nombre fini de valeurs a toujours une variance. Ce n’est pas
nécessairement la cas si Xest infini dénombrable, même si EXexiste ; par exemple, Xv.a.r. telle que
Xet k,PXk4
kk1k2.
ivLorsque Xreprésente une grandeur physique, X,EXet Xont la même unité, mais par VarX.
Proposition.
Soient Xune v.a.r. discrète ayant une variance, aun réel. Alors VaraXa2VarXet
VarXaVarX.
Proposition.
Soient Xune v.a.r. discrète admettant un moment d’ordre 2 (et donc une variance), aet bdeux réels. Alors
VaraX ba2VarX.
Preuve.
C’est une conséquence de la proposition précédente. On peut aussi le démontrer.
Par définition de variance et propriété de l’espérance mathématique, on a
VaraX bEaX bEaX b2E a2XEX2a2EXEX2a2VarX.
Définitions.
Une v.a.r. discrète Xest dite réduite si VarX1. Si Xest une v.a.r., alors YX
Xest réduite et
ZXEX
Xest centrée et réduite, et sont appelées v.a.r. réduite et centrée réduite associées à X.
Théorème de Koenig-Huyghens.
Soit Xune v.a.r. discrète admettant un moment d’ordre 2. Alors VarXEX2EX2.
Pour le calcul de la variance, on utilise souvent cette dernière formule plutôt que la définition.
Preuve.
Remarquant que XEX2X22EXXEX2. On a alors VarXEXEX2
E X22EXXEX2EX22EXEXEX2EX2EX2.
Remarque.
Dans certains cas pratiques, on pourra calculer VarXde la façon suivante :
EX2EXX1XEXX1 EXet ainsi VarXEXX1 EXEX2.
Stéphane Ducay 5