reduction calcul de puissances d une matrice

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Calcul de puissances d’une matrice
Exercice 1 [ 00811 ] [Correction]
Calculer Anpour
A=
211
121
112
Exercice 2 [ 00812 ] [Correction]
Soit
A= cos θ2 sin θ
1
2sin θcos θ!
(a) Déterminer deux réels α, β tel que A2=αA+βI2.
(b) Calculer Anpour n≥1.
Exercice 3 [ 00842 ] [Correction]
Soit
M=
0 1
...
1 0
∈ Mn(R) avec n≥2
(a) Montrer que Mest diagonalisable.
(b) Déterminer le polynôme minimal de M.
(c) Calculer Mppour p∈N.
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Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
Aest diagonalisable avec Sp A={1,4}.
Pour Pnun polynôme vérifiant Pn(1) =1net Pn(4) =4n, on a An=P(A).
Pn=1n+4n−1n
3(X−1)
convient et donc
An=4n−1
3A+4−4n 3I3
Exercice 2 : [énoncé]
(a) α=tr A=2 cos θet β=−det A=−cos 2θconviennent.
(b) Les racines de X2−2 cos θX+cos 2θsont cos θ+sin θet cos θ−sin θ.
Réalisons la division euclidienne Xnpar X2−2 cos θX+cos 2θ.
Xn=X2−2 cos θX+cos 2θQ(X)+R(X)
avec deg R<2,
R(cos θ+sin θ)=(cos θ+sin θ)n
et
R(cos θ−sin θ)=(cos θ−sin θ)n
On obtient
R=(cos θ+sin θ)n−(cos θ−sin θ)n
2 sin θ(X−cos θ−sin θ)+(cos θ+sin θ)n
et donc
An=(cos θ+sin θ)n−(cos θ−sin θ)n
2 sin θ(A−(cos θ+sin θ)I2)+(cos θ+sin θ)nIn
Exercice 3 : [énoncé]
(a) 1ère méthode :
det(λIn−M)=
λ−1
...
−1λ
=
λ−(n−1) −1· · · −1
λ−(n−1) λ−1
.
.
....
λ−(n−1) −1λ
=(λ−(n−1)) 
1−1· · · −1
0λ+1 (0)
.
.
....
0 (0) λ+1
puis det(λIn−M)=(λ−(n−1))(λ+1)n−1et donc sp(M)={−1,(n−1)}.
Soit fl’application linéaire canoniquement associée à M.
f(x1, ..., xn)=(x1, ..., xn)⇐⇒ x1+... +xn=0
Donc E−1est l’hyperplan d’équation x1+... +xn=0.
Puisque En−1est au moins une droite vectorielle, la matrice Mest diagonalisable.
2ème méthode :
Par le calcul, on obverse que M2=(n−1)In+(n−2)M.
Par suite, Mannule le polynôme scindé simple (X+1)(X−(n−1)) et donc Mest
diagonalisable.
(b) Le polynôme minimal de Mest (X+1)(X−(n−1)) car en vertu de la première
méthode, la connaissance des valeurs propres de Mdétermine son polynôme
minimal sachant Mdiagonalisable et, pour la deuxième méthode, ce polynôme est
annulateur alors que les polynômes X+1 et X−(n−1) ne le sont pas.
Par division euclidienne Xp=(X+1)(X−(n−1))Q+αX+β
En évaluant la relation en −1 et en n−1, on obtient
avec (−α+β=(−1)p
α(n−1) +β=(n−1)p
Après résolution
(α=(n−1)p−(−1)p
n
β=(n−1)p+(n−1)(−1)p
n
d’où
Mp=(n−1)p−(−1)p
nM+(n−1)p+(n−1)(−1)p nIn
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