td 22 : espaces vectoriels de dimension finie

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T
TD
D2
22
2:
:E
ES
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PA
AC
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OR
RI
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EL
LS
SD
DE
ED
DI
IM
ME
EN
NS
SI
IO
ON
NF
FI
IN
NI
IE
E
Exercice 1
Montrer que
1, , .( 1), .( 1).( 2)
X X X X X X   est une base de 3
[ ]
X
.
Exercice 2
On pose 3
{( , , ) , 0}
F x y z x y z
et
Vect (2,3, 5) , (4, 1, 3)
G
. Montrer que l’on a
F G
.
Exercice 3
On pose
n
E
avec
2
n
et
1 2 1 2
Vect (1,1,1,...,1) ; ( , ,..., ) , ... 0
n n
F G x x x E x x x
.
Montrer que l’on a
E F G
. En déduire la dimension de
G
.
Exercice 4
Montrer que l’application
3
2
: [ ]
(0), '(0), "(0)
f X
P P P P
est bijective.
Exercice 5
On pose 3 3
:
( , , ) ( , ,2 )
f
x y z x z x y x y z
.
Déterminer une base de
Ker( )
f
. En déduire la dimension de
Im( )
f
, puis une base de
Im( )
f
.
Exercice 6
En posant
1 2 1 2
:
( , ,..., ) ...
n
n n
f
x x x x x x
, retrouver la dimension de
1 2 1 2
( , ,..., ) , ... 0
n n
G x x x E x x x
.
Exercice 7
Soit 1
( , ... , )
n
e e
une base d’un K-espace vectoriel de dimension finie
E
.
f
est un endomorphisme de
E
tel que 1 2 1 2 ( ) ( ) ... ( ) ...
n n
f e f e f e e e e
.
a)Donner des bases respectives de
Ker( )
f
et
Im( )
f
.
b)Montrer que
E
f id
est un automorphisme de
E
.
Exercice 8
f
est un endomorphisme de
2
tel que la somme
Im( ) Ker( )
f f
n’est pas directe.
Montrer que l’on a fof et f .
Exercice 9
Soit
E
un
ev
de dimension finie
n
.
On appelle hyperplan de
E
tout sous-espace vectoriel de
E
de dimension
1
n
.
Montrer que si
F
et
G
sont deux hyperplans de
E
avec
F G
, alors on a :
dim( ) 2
F G n .
Exercice 10
Soit
E
un
ev
de dimension finie
n
.
Donner une condition nécessaire et suffisante sur
n
pour qu’il existe un endomorphisme
f
de
E
tel que
Im( ) Ker( )
f f
.

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Exercice 11
E
est le -espace vectoriel des fonctions :f .
, ,
abc
sont trois réels fixés.
On pose 1 2 3
: ( ) sin( ) ; ( ) sin( ) ; ( ) sin( )
x f x x a f x x b f x x c
.
La famille
1 2 3
( , , )
f f f
est-elle libre ?
Exercice 12
Soit
f
un endomorphisme de
3
tel que fof et f .
1°)Montrer que l’on a :
Im( ) Ker( )
f f
, puis que
rg( ) 1
f
.
2°)Soit
2
( )
e
une base de
Im( )
f
. Soit
1
e
un vecteur tel que
1 2
( )
f e e
.
Montrer que
1 2
( , )
e e
est une famille libre.
3°)Montrer que l’on peut trouver un vecteur
3
3
e
tel que
2 3
( , )
e e
soit une base de
Ker( )
f
et
1 2 3
( , , )
e e e
soit
une base de
3
.
Exercice 13
Soit
E
un
ev
de dimension finie
2
n .
On suppose que
f
est un endomorphisme de
E
vérifiant :
dim Ker( ) dim(Ker( )
f f id n
.
1°)Montrer que l’on a
Ker( ) Ker( )
E f f id
   .
2°)Montrer que
f
est un projecteur de
E
.
Exercice 14
f
et
g
sont deux endomorphismes d’un
ev
E
de dimension finie
n
.
1°)Montrer que l’on a
rg( ) rg( ) rg( )
f g f g
   .
2°)Montrer que si
rg( ) rg( ) rg( )
f g f g
   , alors on a
Im( ) Im( ) { }
f g o
et
Ker( ) Ker( )
E f g
  .
Exercice 15
,
f g
sont deux endomorphismes d’un
ev
E
de dimension finie.
Montrer que si
g
est bijectif, alors
rg( ) rg( )
gof f
.
Exercice 16
,
f g
sont deux endomorphismes d’un
ev
E
de dimension finie.
Montrer que l’on a toujours :
rg( ) min rg( ),rg( )
gof f g
.
Exercice 17
,
f g
sont deux endomorphismes d’un
ev
E
de dimension finie tels que
Ker( ) Ker( )
f g
.
Montrer qu’il existe un endomorphisme
h
de
E
tel que
g hof
.
(On pourra compléter une base de
Ker( )
f
en une base de
E
).
Exercice 18
E
est un
ev
de dimension finie.
,
f g
sont deux endomorphismes de
E
tels que fog et
f g
est bijectif.
Montrer que l’on a
rg( ) rg( ) dim( )
f g E
  .
Exercice 19
On pose
(1,2,0) ; ( 1,0,1) ; (0,2,1) ; ( 1,2,2)
u v w t      . Déterminer le rang de la famille
( , , , )
u v w t
.