TD 22 : ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE Exercice 1 Montrer que 1, X , X .( X 1), X .( X 1).( X 2) est une base de 3 [ X ] . Exercice 2 On pose F {( x, y , z ) , x y z 0} et G Vect (2,3, 5) , (4, 1, 3) . Montrer que l’on a F G . 3 On pose E avec n 2 et F Vect (1,1,1,...,1) n Exercice 3 ; G ( x1 , x2 ,..., xn ) E , x1 x2 ... xn 0 . Montrer que l’on a E F G . En déduire la dimension de G . Montrer que l’application f : 2 [ X ] P P(0), P '(0), P "(0) 3 On pose f : . ( x, y , z ) ( x z , x y , 2 x y z ) 3 Exercice 4 est bijective. Exercice 5 3 Déterminer une base de Ker( f ) . En déduire la dimension de Im( f ) , puis une base de Im( f ) . En posant f : ( x1 , x2 ,..., xn ) x1 x2 ... xn n Exercice 6 , retrouver la dimension de G ( x1 , x2 ,..., xn ) E , x1 x2 ... xn 0 . Exercice 7 Soit (e1 , ... , en ) une base d’un K-espace vectoriel de dimension finie E . f est un endomorphisme de E tel que f (e1 ) f (e2 ) ... f (en ) e1 e2 ... en . a)Donner des bases respectives de Ker( f ) et Im( f ) . b)Montrer que f id E est un automorphisme de E . Exercice 8 f est un endomorphisme de 2 tel que la somme Im( f ) Ker( f ) n’est pas directe. Montrer que l’on a fof et f . Exercice 9 Soit E un ev de dimension finie n . On appelle hyperplan de E tout sous-espace vectoriel de E de dimension n 1 . Montrer que si F et G sont deux hyperplans de E avec F G , alors on a : dim( F G ) n 2 . Exercice 10 Soit E un ev de dimension finie n . Donner une condition nécessaire et suffisante sur n pour qu’il existe un endomorphisme f de E tel que Im( f ) Ker( f ) . Page 1 sur 2 E est le -espace vectoriel des fonctions f : . Exercice 11 a, b, c sont trois réels fixés. On pose x : f1 ( x) sin( x a) ; f 2 ( x) sin( x b) ; f3 ( x) sin( x c) . La famille ( f1 , f 2 , f 3 ) est-elle libre ? Exercice 12 Soit f un endomorphisme de 3 tel que fof et f . 1°)Montrer que l’on a : Im( f ) Ker( f ) , puis que rg( f ) 1 . 2°)Soit (e2 ) une base de Im( f ) . Soit e1 un vecteur tel que f (e1 ) e2 . Montrer que (e1 , e2 ) est une famille libre. 3°)Montrer que l’on peut trouver un vecteur e3 3 tel que (e2 , e3 ) soit une base de Ker( f ) et (e1 , e2 , e3 ) soit une base de 3 . Exercice 13 Soit E un ev de dimension finie n 2 . On suppose que f est un endomorphisme de E vérifiant : dim Ker( f ) dim(Ker( f id ) n . 1°)Montrer que l’on a E Ker( f ) Ker( f id ) . 2°)Montrer que f est un projecteur de E . Exercice 14 f et g sont deux endomorphismes d’un ev E de dimension finie n . 1°)Montrer que l’on a rg( f g ) rg( f ) rg( g ) . 2°)Montrer que si rg( f g ) rg( f ) rg( g ) , alors on a Im( f ) Im( g ) {o} et E Ker( f ) Ker( g ) . Exercice 15 f , g sont deux endomorphismes d’un ev E de dimension finie. Montrer que si g est bijectif, alors rg( gof ) rg( f ) . Exercice 16 f , g sont deux endomorphismes d’un ev E de dimension finie. Montrer que l’on a toujours : rg( gof ) min rg( f ), rg( g ) . Exercice 17 f , g sont deux endomorphismes d’un ev E de dimension finie tels que Ker( f ) Ker( g ) . Montrer qu’il existe un endomorphisme h de E tel que g hof . (On pourra compléter une base de Ker( f ) en une base de E ). Exercice 18 E est un ev de dimension finie. f , g sont deux endomorphismes de E tels que fog et f g est bijectif. Montrer que l’on a rg( f ) rg( g ) dim( E ) . Exercice 19 On pose u (1, 2,0) ; v (1, 0,1) ; w (0, 2,1) ; t (1, 2, 2) . Déterminer le rang de la famille (u , v , w, t ) . Page 2 sur 2