Université Sidi Mohammed Benabdellah
Facultédes Sciences Dhar El Mehraz
Département de Mathématiques
Année universitaire 2019-2020
SMA/S4
Algèbre 6
Devoir n◦ 1
Exercice .1 Soient G un groupe cyclique de cardinal n , a un générateur de G et H un sous
groupe propre de G.
1. Montrer que {k ∈ N? , ak ∈ H} admet un plus petit élément p , et que < a p >⊂ H.
2. Soit x ∈ H . Montrer que x ∈< a p >. Conclure
Exercice .2 Soient G un groupe abélien fini dordre n, a un élément de G et H un sous groupe
propre de G tel que a/∈ H. On considère l’ensemble I = {k ∈ N, ak ∈ H}.
1. Vérifier que n ∈ I.
2. Soit m le plus petit élément de I. Montrer que pour tout élément k ∈ I, m divise k.
3.
i) Montrer que x ∈ H ⇔ x = e.
ii) Montrer que l’ordre de a, (a ∈ G/H) est égal à m.
4. On considère l’ensemble K = {a j h/ j ∈ N, h ∈ H}.
i) Montrer que K est un sous groupe de G et qu’il est le plus petit (au sens de l’inclusion)
sous groupe de G contenant a et H.
ii) Vérifier que K/H =< a >.
iv) En déduire que |K| = m|H|.
Exercice .3 On suppose que card(E) > 3. Montrer que pour toute permutation σ ∈ S(E)\{IdE },
il existe une transposition qui ne commute pas avec σ . On a donc σ /∈ Z(S(E)). Ainsi
Z(S(E)) = {IdE }.
Exercice .4 Soit σ ∈ Sn définie par: ∀k ∈ {1, 2, · · ·n}, σ (k) = n + 1 − k. Décomposer la
Permutation σ en produit de cycles à supports deux à deux disjoints.
Exercice .5
1. Soient G un groupe d’ordre 2n et H un sous-groupe de G d’ordre n. Montrer
que ∀g ∈ G, g2 ∈ H.
2. Montrer que A4 n’a pas de sous-groupe d’ordre 6.
2
Exercice .6 Soient n, k ∈ N tel que n ≥ 2 et k ≥ 1. Montrer que les propriétés suivantes sont
équivalentes:
Z
1. k est un générateuér de nZ
Z
2. k est inversible dans nZ
3. n et k sont premier entre eux.
