Université Sidi Mohammed Benabdellah Année universitaire 2019-2020
Facultédes Sciences Dhar El Mehraz
Département de Mathématiques
SMA/S4
Algèbre 6
Devoir n◦1
Exercice .1
Soient G un groupe cyclique de cardinal n , a un générateur de G et H un sous
groupe propre de G.
1. Montrer que {k∈N?,ak∈H}admet un plus petit élément p , et que <ap>⊂H.
2. Soit x∈H. Montrer que x∈<ap>. Conclure
Exercice .2
Soient G un groupe abélien fini dordre n, a un élément de G et H un sous groupe
propre de G tel que a/∈H. On considère l’ensemble I={k∈N,ak∈H}.
1. Vérifier que n∈I.
2. Soit m le plus petit élément de I. Montrer que pour tout élément k∈I, m divise k.
3. i) Montrer que x∈H⇔x=e.
ii) Montrer que l’ordre de a,(a∈G/H)est égal à m.
4. On considère l’ensemble K={ajh/j∈N,h∈H}.
i)
Montrer que K est un sous groupe de G et qu’il est le plus petit (au sens de l’inclusion)
sous groupe de G contenant a et H.
ii) Vérifier que K/H=<a>.
iv) En déduire que |K|=m|H|.
Exercice .3
On suppose que
card(E)>3
. Montrer que pour toute permutation
σ∈S(E)\{IdE}
,
il existe une transposition qui ne commute pas avec
σ
. On a donc
σ/∈Z(S(E))
. Ainsi
Z(S(E)) = {IdE}.
Exercice .4
Soit
σ∈Sn
définie par:
∀k∈ {1,2,···n},σ(k) = n+1−k
. Décomposer la
Permutation σen produit de cycles à supports deux à deux disjoints.
Exercice .5 1.
Soient G un groupe d’ordre
2n
et H un sous-groupe de G d’ordre
n
. Montrer
que ∀g∈G,g2∈H.
2. Montrer que A4n’a pas de sous-groupe d’ordre 6.
2
Exercice .6
Soient
n,k∈N
tel que
n≥2
et
k≥1
. Montrer que les propriétés suivantes sont
équivalentes:
1. kest un générateuér de Z
nZ
2. kest inversible dans Z
nZ
3. n et k sont premier entre eux.
1
/
2
100%
