Université Sidi Mohammed Benabdellah Année universitaire 2019-2020
Facultédes Sciences Dhar El Mehraz
Département de Mathématiques
SMA/S4
Algèbre 6
Devoir n1
Exercice .1
Soient G un groupe cyclique de cardinal n , a un générateur de G et H un sous
groupe propre de G.
1. Montrer que {kN?,akH}admet un plus petit élément p , et que <ap>H.
2. Soit xH. Montrer que x<ap>. Conclure
Exercice .2
Soient G un groupe abélien fini dordre n, a un élément de G et H un sous groupe
propre de G tel que a/H. On considère l’ensemble I={kN,akH}.
1. Vérifier que nI.
2. Soit m le plus petit élément de I. Montrer que pour tout élément kI, m divise k.
3. i) Montrer que xHx=e.
ii) Montrer que l’ordre de a,(aG/H)est égal à m.
4. On considère l’ensemble K={ajh/jN,hH}.
i)
Montrer que K est un sous groupe de G et qu’il est le plus petit (au sens de l’inclusion)
sous groupe de G contenant a et H.
ii) Vérifier que K/H=<a>.
iv) En déduire que |K|=m|H|.
Exercice .3
On suppose que
card(E)>3
. Montrer que pour toute permutation
σS(E)\{IdE}
,
il existe une transposition qui ne commute pas avec
σ
. On a donc
σ/Z(S(E))
. Ainsi
Z(S(E)) = {IdE}.
Exercice .4
Soit
σSn
définie par:
k∈ {1,2,···n},σ(k) = n+1k
. Décomposer la
Permutation σen produit de cycles à supports deux à deux disjoints.
Exercice .5 1.
Soient G un groupe d’ordre
2n
et H un sous-groupe de G d’ordre
n
. Montrer
que gG,g2H.
2. Montrer que A4n’a pas de sous-groupe d’ordre 6.
2
Exercice .6
Soient
n,kN
tel que
n2
et
k1
. Montrer que les propriétés suivantes sont
équivalentes:
1. kest un générateuér de Z
nZ
2. kest inversible dans Z
nZ
3. n et k sont premier entre eux.
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