25. a) On suppose que le déplacement de la corde a la forme y(x, t

25. a) On suppose que le déplacement de la corde a la forme y(x, t)=ymsin(kx −ωt +φ). La composante yde la
vitesse d’un point de la corde est vy(x, t)=∂y/∂t =−ωymcos(kx −ωt +φ)et sa valeur maximale est
vym=ωym. La fréquence de cette onde est f120 Hz, et sa fréquence angulaire est ω=2πf =
2π(120 Hz) = 754 rad/s. Puisque la tige effectue un déplacement de haut en bas de 1,00 cm, l’amplitude
correspond à la moitié de cette valeur, ou ym5,00 103m. La vitesse maximale est
vym=(754 rad/s)(5,00 ×10−3m) = 3,77 m/s.
b) Considérez la corde à une coordonnée xet à l’instant t, et supposez qu’elle forme un angle θavec l’axe des x.
La tension s’exerce le long de la corde et forme le même angle avec l’axe des x. Sa composante transversale est
τtrans τsinθ. θest donné par tan θ=∂y/∂x =kymcos(kx −ωt +φ), et sa valeur maximale est donnée par
tan θm=kym. On doit calculer le nombre d’ondes k. Il est donné par kω/v, où vest le module de la vitesse
de l’onde. Le module de la vitesse de l’onde est donné par v=τ/µ, où τest la tension dans la corde et µest
la masse linéique de la corde. En utilisant les données du problème, on obtient
v=90,0N
0,120 kg/m=27,4m/s
et
k=754 rad/s
27,4m/s=27,5m
−1.
Donc,
tan θmax =(27,5m
−1)(5,00 ×10−3m) = 0,138
et θmax 7,83. La valeur maximale de la composante transversale de la tension de la corde est τtrans =
(90,0N)sin 7,83◦=12,3N. On note que sin θest presque le même que tan θ, car θest petit. On peut donc
calculer approximativement la valeur maximale de la composante transversale de la tension avec τkym.
c) On considère une position xde la corde. La composante transversale de la tension exercée par la partie de la
corde située à gauche de ce point est −τ∂y/∂x =−τkymcos(kx −ωt +φ), et elle atteint sa valeur maximale
lorsque cos(kx ωt+ φ) 1. La composante yde la vitesse transversale est vy=∂y/∂t =
−ωymcos(kx −ωt +φ)et elle atteint aussi sa valeur maximale lorsque cos(kx −ωt +φ)=−1. Les deux
quantités atteignent leur valeur maximale à la même valeur de phase, qui vaut p rad. Lorsque
cos(kx −ωt +φ)=−1, la valeur de sin(kx −ωt +φ)est nulle, et le déplacement de la corde est y0.
d) Lorsque la corde effectue à n’importe quel point un faible déplacement ∆y, la tension effectue un travail
∆W=τtrans ∆y. Le taux auquel ce travail s’effectue est
P=∆W
∆t=τtrans
∆y
∆t=τtransvy.
Patteint sa valeur maximale lorsque la composante transversale τtrans de la tension et la composante yde la
vitesse de la corde vysont à leurs valeurs maximales. La puissance maximale est donc
(12,3N)(3,77 m/s) = 46,4W.
e) Comme cela a été démontré précédemment, y0 lorsque la composante transversale de la tension et la
composante yde la vitesse de la corde sont à leurs valeurs maximales.
f) Puisque Pτtransvy, la puissance transférée est nulle lorsque la composante yde la vitesse de la corde est nulle.
g) P0 lorsque cos(kx ωt+ φ) 0 et que sin(kx ωt+ φ) ±1. Le déplacement de la corde est
y±ym±0,50 cm.