25. a) On suppose que le déplacement de la corde a la forme y(x, t

25. a) On suppose que le déplacement de la corde a la forme y(x, t) = ym sin(kx − ωt + φ). La composante y de la
vitesse d’un point de la corde est vy (x, t) = ∂y/∂t = −ωym cos(kx − ωt + φ) et sa valeur maximale est
vym = ωym . La fréquence de cette onde est f 120 Hz, et sa fréquence angulaire est ω = 2πf =
2π(120 Hz) = 754 rad/s. Puisque la tige effectue un déplacement de haut en bas de 1,00 cm, l’amplitude
correspond à la moitié de cette valeur, ou ym 5,00 103 m. La vitesse maximale est
vym = (754 rad/s)(5,00 × 10−3 m) = 3,77 m/s.
b) Considérez la corde à une coordonnée x et à l’instant t, et supposez qu’elle forme un angle θ avec l’axe des x.
La tension s’exerce le long de la corde et forme le même angle avec l’axe des x. Sa composante transversale est
τ trans τ sinθ. θ est donné par tan θ = ∂y/∂x = kym cos(kx − ωt + φ), et sa valeur maximale est donnée par
tan θm = kym . On doit calculer le nombre d’ondes k. Il est donné
par k ω/v, où v est le module de la vitesse
de l’onde. Le module de la vitesse de l’onde est donné par v = τ /µ, où τ est la tension dans la corde et µ est
la masse linéique de la corde. En utilisant les données du problème, on obtient
90,0 N
= 27,4 m/s
v=
0,120 kg/m
et
k=
754 rad/s
= 27,5 m−1 .
27,4 m/s
Donc,
tan θmax = (27,5 m−1 )(5,00 × 10−3 m) = 0,138
et θ max 7,83. La valeur maximale de la composante transversale de la tension de la corde est τtrans =
(90,0 N) sin 7,83◦ = 12,3 N. On note que sin θ est presque le même que tan θ, car θ est petit. On peut donc
calculer approximativement la valeur maximale de la composante transversale de la tension avec τ kym.
c) On considère une position x de la corde. La composante transversale de la tension exercée par la partie de la
corde située à gauche de ce point est −τ ∂y/∂x = −τ kym cos(kx − ωt + φ), et elle atteint sa valeur maximale
lorsque cos(kx ωt + φ) 1. La composante y de la vitesse transversale est vy = ∂y/∂t =
−ωym cos(kx − ωt + φ) et elle atteint aussi sa valeur maximale lorsque cos(kx − ωt + φ) = −1. Les deux
quantités atteignent leur valeur maximale à la même valeur de phase, qui vaut p rad. Lorsque
cos(kx − ωt + φ) = −1, la valeur de sin(kx − ωt + φ) est nulle, et le déplacement de la corde est y 0.
d) Lorsque la corde effectue à n’importe quel point un faible déplacement ∆y, la tension effectue un travail
∆W = τtrans ∆y. Le taux auquel ce travail s’effectue est
P =
∆W
∆y
= τtrans
= τtrans vy .
∆t
∆t
P atteint sa valeur maximale lorsque la composante transversale τtrans de la tension et la composante y de la
vitesse de la corde vy sont à leurs valeurs maximales. La puissance maximale est donc
(12,3 N)(3,77 m/s) = 46,4 W.
e) Comme cela a été démontré précédemment, y 0 lorsque la composante transversale de la tension et la
composante y de la vitesse de la corde sont à leurs valeurs maximales.
f) Puisque P τ transvy , la puissance transférée est nulle lorsque la composante y de la vitesse de la corde est nulle.
g) P 0 lorsque cos(kx ωt + φ) 0 et que sin(kx ωt + φ) ±1. Le déplacement de la corde est
y ±ym ±0,50 cm.