Résumé de notes de cours d`analyse numérique

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ANALYSE ET TECHNIQUES NUMERIQUES, COURS GIN220
RESUME DES METHODES NUMERIQUES PRINCIPALES
1 Introduction
Le pourquoi et l’importance de l’analyse numérique, la clé de l’analyse numérique, et
les problèmes d’erreur associés à ces techniques.
1.1 Les méthodes numériques
1.2 Erreurs dans l’analyse numérique
2 Equations non-linéaires
On cherche une racine telle que .
2.1 Recherche incrémentale
On se donne un point de départ x0et un incrément . On calcule ensuite f(x0), f(x0+ ), f(x0+ ) ... Une
racine est encadrée lorsque la fonction f change de signe.
2.2 Méthodes d’encadrement1
On se donne (par la méthode de recherche incrémentale par exemple) un intervalle [xg...xd] où la fonction
f change de signe. On recherche ensuite la racine à l’intérieur de cet intervalle par une des méthodes
suivantes.
αf(α) = 0
∆x∆x2∆x
α
1 Les chiffres en italique réfèrent aux sections dans le livre de référence: APPLIED NUMERICAL METHODS, de
GERALD and WHEATLEY, 4th Edition, ADDISON-WESLEY.
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2.2.1 Bissection
On découpe l’intervalle en deux à chaque étape
1- xm=(x
g+x d)/2
2- Si f(xm) * f(xd) < 0 alors la racine est entre xdet xm. Alors on élimine le point xg, on pose xg=xmet
on retourne en 1.
3- Si f(xm) * f(xg) < 0 alors la racine est entre xget xm. Alors on élimine le point xd, on pose xd=xmet
on retourne en 1.
4- On continue jusqu’à ce que l’intervalle [xg...xd] soit réduit à une valeur tolérable qui doit être
prédéterminée.
Le nombre d’itération peut être déterminé à partir d’ et de l’intervalle initial par:
2.2.2 Regula Falsi
Interpolation linéaire entre les deux limites
1- fd= f(xd)
2- fg= f(xg)
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4- Si f(xm)•f(xd) < 0 alors la racine est entre xdet xm. Alors on élimine le point xg, on pose xg=xmet
on retourne en 1.
5- Si f(xm)•f(xg) < 0 alors la racine est entre xget xm. Alors on élimine le point xd, on pose xd=xmet
on retourne en 1.
6- On continue jusqu’à ce que la fonction f(xm) soit réduit à une valeur tolérable qui doit être
prédéterminée.
ε
ε
n≥
ln((xd−xg)/ε)
ln2
−1
xm=xg−fg
fd−fg(xd−xg)
ε
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2.3 Méthodes de point fixe
On transforme le problème de base qui consiste à chercher tel que en un problème où
l’on cherche tel que , c’est-à-dire un problème de point fixe. La transformation f(x) => F(x) n’est
pas unique.
La recherche de la racine devient alors simplement la suite x0,x1,x2,...xn, qui est établie en posant
x1=F(x0), x2=F(x1), x3=F(x2),...
La suite x0,x1,x2,...xnconvergera dans l’intervalle [a...b] vers la racine si:
Si elle converge, la méthode de point fixe converge linéairement.
2.3.1 Accélération d’Aitken
Lorsque la méthode de point fixe converge, on peut accélérer sa convergence en appliquant la
méthode d’Aitken:
αf(α) = 0
αF(α) = α
α
|F′(x)|≤1
xi+1=xi−2xi−xi−1
2
xi−2xi−1+xi−2
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2.4 Méthode de Newton-Raphson
La méthode consiste à approcher la racine par la série:
Elle converge de façon quadratique. Cependant elle convergera en xisi:
Cette méthode est à la base d’un grand nombre de méthodes numériques avancées à cause de ses
performances et de sa relative simplicité d’application. Les deux méthodes suivantes sont des variantes de
celle-ci.
2.4.1 Méthode de la sécante
La méthode consiste à utiliser exactement la même approche que par la méthode de Newton,
cependant la dérivée f’(xi) sera évaluée de façon approchée par l’expression de la sécante:
Elle converge bien mais pas de façon quadratique comme Newton. Cependant elle peut être
très utile lorsque l’expression analytique de la dérivée de la fonction f est inconnue.
2.4.2 Méthode de Newton du 2ème ordre
Cette méthode extremement performante converge de façon plus rapide que celle de Newton. Elle
est très utiliséelorsque les fonctions f sont de nature exponentielle,polynomiale ou trigonométrique.
xi+1=xi−f(xi)
f′(xi)
|f(xi)f′′(xi)
(f′(xi))2|< 1
f′(xi)=f(xi+ε)−f′(xi)
ε
xi+1=xi−f(xi)
f′(xi)−f′′(xi)f(xi)
2f′(xi)
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2.5 Méthode de Muller (quadratique)
MéthodeparentedecelledeRegula-Falsi,elleutiliseuneparaboleaulieud’unedroitepourapprocher
la racine.
On calcule lafonction f(x) en trois points xg,x
met xd. Le point xmétant situé entre xdet xg, on effectue
alors le changement de variable u = x - xm. Les variables ug=x
m-x get ud=x d-x msont alors calculées ainsi
que fd,f
met fg, les valeurs de la fonction sur les trois points mentionnés. Les coefficients de la parabole sont
alors calculés par:
La plus petite des deux racines de cette parabole est la nouvelle valeur améliorée de la racine de f(x), et
on peut continuer de façon itérative en éliminant un des points xdou xg, et en appliquant encore la méthode.
Cette méthode converge de façon quadratique.
2.6 Racines de Polynomes
Théorème du quotient.
Si on divise le polynome Pnpar le monôme x - x1on obtient:
La valeur de Pnen x = x1est alors directement obtenue par le reste bn+1. De même la dérivée P’nen
x=x
1est la valeur du polynome réduit Qn-1 en x = x1.
2.7 Systèmes non-linéaires
Pourunsystèmedenéquationsnon-linéairesàrésoudre,laméthodedeNewtonsemblelaplusinteressante
et pour sa facilité d’application et pour sa "solidité".
a=−(fd−fm)ug−(fg−fm)ud
−ud
2ug−udug 2
b=−(fg−fm)ud
2−(fd−fm)ug 2
−ud
2ug−udug 2
c=fm
Pn(x)
x−x1=Qn−1(x)+ bn+1 x−x1
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