ds1 2016 2017

[DS 1 - ECE 2 \
Exercice 1
On note g:[4,+∞[→Rl’application définie, pour tout x∈[4;+∞[, par :
g(x)=10
x(x−2)(2x−5)
1. Trouver trois réels a,b,ctels que
∀x∈[4;+∞[,g(x)=a
x+b x−2+c 2x−5
2. Calculer alors, pour AÊ4 , l’intégrale ZA
4g(x)d x.
3. En déduire que l’intégrale Z+∞
4g(x)d x converge et déterminer sa valeur.
Exercice 2
On considère l’application f: [0;+∞[→définie, pour tout tde [0;+∞[, par :
f(t)=(t2−tln(t) si t6=0
0 si t=0
On admet : 0,69 <ln(2) <0,70.
Partie I : Étude de la fonction f
1. Montrer que fest continue sur [0;+∞[.
2. Justifier que fest classe C2sur ]0;+∞[ et calculer, pour tout tde ]0;+∞[, f′(t) et f′′(t).
3. Dresser le tableau de variations de f. On précisera la limite de fen +∞.
4. On note Cla courbe représentative de fdans un repère orthonormal (O;−→ i,−→ i).
(a) Montrer que Cadmet une tangente en Oet préciser celle-ci.
(b) Montrer que Cadmet un point d’inflexion et un seul, noté I, et préciser les coordonnées de I.
(c) Tracer l’allure de C.
5. Montrer que l’équation f(t)=t, d’inconnue t∈[0;+∞[, admet exactement deux solutions et les déterminer.
Partie II : Étude d’une suite récurrente
On considère la suite (un)n∈définie par : u0=1
2et ∀n∈,un+1=f(un).
6. Montrer : ∀n∈,un∈·1
2;1¸.
7. Montrer que la suite (un)n∈est croissante.
8. En déduire que la suite (un)n∈converge et déterminer sa limite.
9. Écrire un programme en Scilab qui calcule et affiche un entier naturel Ntel que 1 −uN<10−4.
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Exercice 3
Pour tout entier n≥1, on pose : In=Z1
0xn.ln¡1+x2¢d x et Jn=Z1
0
xn
1+x2d x.
1. Etude de la suite (Jn)n≥1et de la série P
nÊ1Jn
(a) Calculer J1
(b) Montrer que, pour tout entier n≥1, 0 ≤Jn≤1
n+1
(c) Etudier la convergence de la suite (Jn)n≥1
(d) Montrer que, pour tout entier n≥1, 1
2(n+1) ≤Jn
(e) En déduire la nature de la série P
nÊ1Jn
2. Etude de la suite (In)n≥1
(a) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tout entier n≥1,In=ln2
n+1−2 n+1Jn+2
(b) Etudier la convergence de la suite (In)n≥1.
(c) Déterminer un équivalent de Inlorsque ntend vers +∞
Exercice 4, Au choix avec le suivant
Partie A : Etude d’une intégrale
Pour n∈N, on pose In=R1
0
x2n+1
1+x2d x.
1. Calculer I0.
2. Calculer I0+I1et en déduire I1.
3. (a) Quel est le signe de In?
(b) Montrer que : In+In+1=1
2n+2
(c) En déduire que : In≤1
2n+2.
(d) Montrer que la suite (In)n∈Nest convergente et calculer sa limite.
Partie B : Etude d’une série
1. (a) Montrer par récurrence que :
∀n∈N∗2.(−1)n−1.In=
n
X
k=1
(−1)k−1
k−ln2
(b) En déduire lim
n→+∞
n
P
k=1
(−1)k−1
k
2. (a) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que :
In=1
4(n+1) +1 n+1Z1
0
x2n+3
(1+x2)2d x
(b) Etablir les inégalités : 0 ≤R1
0
x2n+3
(1+x2)2d x ≤1 2n+4
(c) En déduire lim
n→+∞nIn.
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3. A l’aide des questions précédentes, donner un équivalent de
n
X
k=1
(−1)k−1
k−ln2
quand ntend vers +∞.
Exercice 5, Au choix avec le précédent
Pour chaque entier naturel n, on définit la fonction fnpar : ∀x∈[n,+∞[ , fn(x)=Zx
n
eptd t .
1. Étude de fn.
(a) Montrer que fnest de classe C1sur [n,+∞[ puis déterminer f′
n(x) pour tout xde [n,+∞[ . Donner le sens
de variation de fn.
(b) En minorant fn(x) , établir que l i m
x→+∞fn(x)=+∞.
(c) En déduire que pour chaque entier naturel n, il existe un unique réel, noté un, élément de [n,+∞[ , tel
que fn(un)=1 .
2. Étude de la suite (un).
(a) Montrer que l i m
n→+∞un=+∞ .
(b) Montrer que : ∀n∈N,e−pun≤un−n≤e−pn.
3. (a) Utiliser la question 2b) pour compléter les commandes Scilab suivantes afin qu’elles permettent d’afficher
un entier naturel npour lequel un−nest inférieur ou égal à 10−4.
n=0
while -------
n=------
end
disp(n)
(b) Le script affiche l’une des trois valeurs n=55 , n=70 et n=85 . Préciser laquelle en prenant 2,3 comme
valeur approchée de l n10 .
4. On pose vn=un−n.
(a) Montrer que lim
n→+∞vn=0 .
(b) Établir que, pour tout réel xsupérieur ou égal à −1 ,on a : p1+x≤1+x
2.
(c) Vérifier ensuite que : ∀n∈N∗:e−pun≥e−pnexp(−vn
2pn).
(d) Déduire de l’encadrement obtenu en 2b) que : un−n∼
+∞ e−pn.
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[DS 1 - Corrigé - ECE 2 \
Exercice 1 : EMLyon, E
1. On réécrit les deux expressions sous la même forme factorisée :
a
x+b x−2+c 2x−5=a(x−2)(2x−5)+bx (2x−5)+cx (x−2) x(x−2)(2x−5)
=10a+(−9a−5b−2c)x+(2a+2b+c)x2
x(x−2)(2x−5)
g(x)=10+0x+0x2
x(x−2)(2x−5)
Et on détermine a,bet ctels que : (c’est une condition suffisante)
10a=10
−9a−5b−2c=0
2a+2b+c=0⇐⇒
a=1
5b+2c=−9L2−2L3
2b+c=−2⇐⇒
a=1
b=−5
c=8
Conclusion : a=1 : b=−5 : c=8 conviennent.
2. On a alors
ZA
4g(x)d x =ZA
4
1
x+−5 x−2+8 2x−5d x
=[ln(x)+−5ln(x−2)+4ln(2x−5)]A
4
=ln(A)−5ln(A−2)+4ln(2A−5)
−ln(4)+5ln(2)−4ln(3)
Conclusion :
ZA
4g(x)d x =ln(A)−5ln(A−2)+4ln(2A−5)+3ln(2)−4ln(3)
3. Il reste à déterminer la limite quand A→+∞:
ln(A)−5ln(A−2)+4ln(2A−5)
=ln(A)−5ln·Aµ1−2
A¶¸+4ln·2Aµ1−5 2A¶¸
=(1−5+4)ln(A)+4ln(2)+−5lnµ1−2
A¶+4lnµ1−5 2A¶
→4ln(2)
Donc ZA
4g(x)d x →7ln(2)−4ln(3)
Conclusion :
Z+∞
4g(x)d x =7ln(2)−4ln(3)
Exercice 2 : EMLyon, E
∀t∈[0;+∞[, f(t)=(t2−tln(t) si t6=0
0 si t=0, 0,69 <ln(2) <0,70 .
Partie I : Étude de la fonction f
1. Sur ]0;+∞[,t7→ t,t7→ ln(t)sont de classe C∞, donc les produits t7→ t2,t7→ tln(t)sont de classe C∞, leur
différence t7→t2−tln(t) est de classe C∞.
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On en déduit que fest de classe C∞sur ]0;+∞[. D’autre part lim
t→0+tln(t)=0 (cours) donc lim t→0+t2−tln(t)=0 .
fest continue sur [0;+∞[.
2. fest classe C2sur ]0;+∞[ et pour tout t∈]0;+∞[,
f(t)=t2−tln(t) , f′(t)=2t−ln(t)−1 , f′′(t)=2−1
t.
3. Pour t>0 , f(t)=t2−tln(t)=t2µ1−ln(t)
t¶∼
t→+∞ t2−→ t→+∞ +∞;f′µ1
2¶=ln(2)>0; fµ1 2¶=1+2ln(2) 4
t0 1/2 +∞
signe¡f′′ (t)¢q−0+
+∞
f′(t)ց ր
ln(2)
signe¡f′(t)¢q+
+∞
ր
f(x)1+2ln(2)
4
ր
0
.
4. On note Cla courbe représentative de fdans un repère orthonormé (O;−→ i,−→ i).
(a) Pour t>0, f(t)−f(0)
t=t2−tln(t)−0 t=t−ln(t)−→
t→0++∞,
donc Cadmet ¡O y¢comme demi tangente en O.
(b) f′′ s’annule en changeant de signe uniquement en 1
2, donc Cadmet un point d’inflexion et un seul, Ide
coordonnées µ1; 1+2ln(2)
4¶.
(c) Tracer de C.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
01234
5. En dehors de la solution évidente t=0, les solutions t6=0 de f(t)=tvérifient t−ln(t)=1.
Notons g(t)=t−ln(t)−1. On a g′(t)=1−1
t=t−1 t.
Donc gest strictement décroissante sur ]0;1[, et strictement croissante sur ]1;+∞[.
Or g(1) =0 et le minimum de gest donc atteint en 1 qui est la seule solution strictement positive de f(t)=t
donc
l’équation f(t)=t, d’inconnue t∈[0;+∞[, admet 0 et 1 pour solutions .
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