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Cat´egories
Notes d’expos´e du groupe de travail
Th´eorie de Lie
(Nantes)
Salim RIVIERE
Janvier 2011
Kd´esigne un anneau commutatif.
1 Cat´egories et foncteurs
1.1 Cat´egories, types de morphismes, objets initiaux et
terminaux
D´ efinition 1.1.1 Une cat´egorie Cest la donn´ee d’une classe d’objets Ob(C)et,
pour tous Aet Bdans Ob(C), d’un ensemble de morphismes (aussi appel´ees
”fl`eches”) not´e HomC(A, B)telles que
1. Pour tous A,Bet Cobjets de C, il existe une fonction appel´ee composition
et not´ee ◦
HomC(B, C)×HomC(A, B)→HomC(A, C)
(g, f)7−→ g◦f
V´erifiant la propriet´e d’associativit´e suivante
h◦(g◦f)=(h◦g)◦f
pour tous A,B,C,Ddans Ob(C), et f∈HomC(A, B),g∈HomC(B, C),
h∈HomC(C, D).
2. Pour tout objet Adans Ob(C)il existe un morphisme 1Adans HomC(A, A)
tel que pour tout objet Bdans Ob(C):
f◦1A=fet 1A◦g=g
pour tous f∈HomC(A, B)et g∈HomC(B, A)
Exemples 1.1.2
1. La cat´egorie des ensembles, not´ee Ens, dont les objets sont les ensembles
et les morphismes sont les applications entre ensembles.
2. La cat´egorie des espaces topologiques, not´ee Top, dont les objets sont les
espaces topologiques et les morphismes les applications continues entre es-
paces topologiques.
1

3. La cat´egorie des groupes, not´ee Grp, dont les objets sont les groupes et
les morphismes sont les morphismes de groupes.
4. La cat´egorie des K-modules (ou des K-espaces vectoriels lorsque Kest
un corps), not´ee K-mod , dont les objets sont les K-modules et les mor-
phismes sont les applications K-lin´eaires entre K-modules.
5. La cat´egorie des alg`ebres associatives, not´ee K-Alg, dont les objets sont les
K-alg`ebres associatives unitaires et les morphismes sont les morphismes
d’alg`ebres associatives unitaires.
6. Et enfin Var, la cat´egorie dont les objets sont les variet´es C∞et les mor-
phismes sont les applications C∞entre deux variet´es.
D´ efinition 1.1.3 Soient Cune cat´egorie, Aet Bdeux objets de C. Un mor-
phisme f:A→Best dit
–´epimorphisme si pour tout objet C∈Ob(C)et pour tous morphismes g
et hdans HomC(B, C)
g◦f=h◦f⇒g=h
i.e fest simplifiable `a droite.
–monomorphisme si pour tout objet C∈Ob(C)et pour tous morphismes
get hdans HomC(B, C)
f◦g=f◦h⇒g=h
i.e fest simplifiable `a gauche.
Exemples 1.1.4 Les monomorphismes de Ens sont les applications injectives
entre ensembles. Les ´epimorphismes correspondent quant `a eux aux applications
surjectives.
D´ efinition 1.1.5 Soient Cune cat´egorie, Aet Bdeux objets de Cet f:A→B
un morphisme. Une fl`eche g:B→Aest dite inverse `a gauche ou r´etraction
(resp. inverse `a droite ou section) de fsi elle v´erifie g◦f= 1A(resp.
f◦g= 1B). fest dite inversible si il existe un morphisme g:B→Aqui est `a
la fois inverse `a gauche et `a droite de f. Dans ce cas gest unique et est appel´e
l’inverse de f, not´e f−1.
Un idempotent f:A→Aest un morphisme v´erifiant f2:= f◦f= 1A. Il
est scind´e lorsque qu’il existe un objet Bdans Ob(C), un morphisme g:A→B
et un morphisme h:B→Atels que f=h◦get g◦h= 1B.
Remarque 1.1.6 Un morphisme inversible `a droite est un ´epimorphisme mais
la r´eciproque n’est pas toujours vraie (elle est vraie dans Ens mais pas dans
Grp). De mˆeme, un morphisme inversible `a gauche est toujours un monomor-
phisme.
D´ efinition 1.1.7 Soient Cune cat´egorie et Aun objet de C.Aest dit
–initial si pour tout objet Bde C, HomC(A, B)contient exactement une
seule fl`eche.
–terminal si pour tout objet Bde C, HomC(B, A)contient exactement une
seule fl`eche.
2

–nul si il est `a la fois initial et terminal. Aest alors est unique `a iso-
morphisme pr`es. La fl`eche nulle entre entre deux objets Bet C, not´ee
B0 →Cest l’unique compos´ee B→A→C.
Exemples 1.1.8
– Dans la cat´egorie Ens, l’ensemble r´eduit `a un point {∗} est terminal.
– Dans la cat´egorie Grp, le groupe `a un ´el´ement {1}est un objet nul.
1.2 Foncteurs
D´ efinition 1.2.1 Soient Cet Ddeux cat´egories. Un foncteur covariant F
de Cdans D, not´e F:C → D, est la donn´ee
– d’un objet F(A)dans Ob(D)pour tout objet Adans Ob(C),
– et pour toute paire (A, B)d’objets de C, d’une application F:HomC(A, B)→
HomD(A, B)telle que, pour tout objet Cde C:
F(g◦f) = F(g)◦ F(f)∀(f, g)∈HomC(A, B)×HomC(B, C) (∗)
Un foncteur contravariant Fde Cdans D, not´e F:C → D, est la donn´ee
– d’un objet F(A)dans Ob(D)pour tout objet Adans Ob(C),
– et pour toute paire (A, B)d’objets de C, d’une application F:HomC(A, B)→
HomD(B, A)telle que, pour tout objet Cde C:
F(g◦f) = F(f)◦ F(g)∀(f, g)∈HomC(A, B)×HomC(B, C) (∗bis)
Exemples 1.2.2
1. On d´efinit le foncteur contravariant C∞(−,R) : Var →Alg tel que
– Pour toute variet´e M,C∞(M, R)est l’alg`ebre des fonctions de classe
C∞de M`a valeurs dans R,
– Si Met Nsont deux variet´es, et f:M→Nun morphisme, le mor-
phisme d’alg`ebres C∞(f) : C∞(N, R)→ C∞(M, R)est d´efini par
C∞(f)(h) := h◦f
2. Le foncteur covariant P:Ens →Ens peut ˆetre d´efini en posant :
–P(V) := {U⊂V}pour tout objet Vdans Ob(Ens),
– Si f:U→Vest une application d’un ensemble Uvers un ensemble V,
P(f) : P(U)→ P(V)est l’application d´efinie par
P(f)(U0) := f(U0)⊂V∀U0∈ P(U)
D´ efinition 1.2.3 Soient Cune cat´egorie avec objet nul O,Aet Bdeux objets
de C, et f:A→Bun morphisme. Un noyau de fest une paire (N, i), o`u N
est un objet et i:N→Aest un morphisme, telle que le diagramme suivant
commute :
Ni//
0
@
@
@
@
@
@
@
@A
f
B
3

c’est `a dire f◦i=0:N→B, et telle que pour tout autre paire (N0, i0)v´erifiant
f◦i0=0:N0→B, il existe une unique fl`eche h:N0→Nqui factorise i0en
i0=i◦h, ce qui peut s’´ecrire sous la forme du diagramme commutatif :
N0
i0
A
A
A
A
A
A
A
A
∃!h
0
""
Af//B
N
i>>
}
}
}
}
}
}
}
}0
<<
Deux noyaux d’un mˆeme morphisme sont canoniquement isomorphes c’est `a dire
que si (N, i)et (N0, i0)sont deux noyaux de f, il existe un unique isomorphisme
j:N→N0tel que i=i0◦j.
Un conoyau de fest une paire (N∗, i∗), o`u N∗est un objet de Cet i∗:B→
N∗est un morphisme, telle que i∗◦f= 0 : A→N∗et v´erifiant la propriet´e
suivante : Si (N0∗, eti0∗)est une autre paire v´erifiant i0∗ ◦f=0:A→N0∗ ,
alors il existe une unique fl`eche h∗:N∗→N0∗ telle que h∗◦i∗=i0∗ i.e
N∗
∃!h
Af//
033
0
++
B
i∗
==
{
{
{
{
{
{
{
{
i0∗
!!
C
C
C
C
C
C
C
C
N0∗
commute. Deux conoyaux de fsont canoniquement isomorphes.
Proposition 1.2.4 Soient Cune cat´egorie avec objet nul not´e O,Aet Bdeux
objets de C, et f:A→Bun morphisme de HomC(A, B). Tout noyau de fest
un monomorphisme.
Preuve :
Soit (N, i) un tel noyau. Consid´erons un objet Cdans Ob(C) et un morphisme
p:C→Ntel que i◦p=0:C→N:
C
p
0
@
@
@
@
@
@
@0
""
Ni//Af//B
Comme f◦0 = 0 : C→Bla fl`eche nulle 0 : C→Ase factorise par un unique
morphisme u:C→Ntel que 0 = i◦u:C→A. Or u=pet u= 0 sont deux
choix possibles qui conviennent donc sont ´egaux par unicit´e de u. D’o`u p= 0 ce
qui prouve que i:N→Aest un monomorphisme.
Exemples 1.2.5
4

– Dans la cat´egorie Grp, tout morphisme de groupes f:A→Badmet un
noyau (N, i), avec N:= {a∈A/f(a) = eB}o`u eBest l’´el´ement neutre
de Bet i:N→Aest l’inclusion du sous-groupe Ndans A. Le conoyau
de fest le groupe quotient N∗:= B/<Imf >, o`u Imf:= {f(a)/a ∈A}
et <Imf > est le sous-groupe normal de Bengendr´e par Imf, muni de
la projection p:B→N∗.
De mˆeme, on d´efinit la notion d’image et de coimage :
D´ efinition 1.2.6 Soient Cune cat´egorie avec objet nul O,Aet Bdeux objets
de C, et f:A→Bun morphisme. Si il existe une suite
Ni//Ap//Ip∗
//Bi∗ //N∗(D)
telle que (N, i)est un noyau de f,(N∗, i∗)est un conoyau de f,(I, p)est un
noyau de i∗,(I, p∗)est un conoyau de iet f=p∗◦p, alors (I, p)est une image
de fet (I, p∗)est une coimage de f.
Si elle existe, une telle suite est unique `a isomorphisme pr`es.
Ceci nous m`ene `a la d´efinition de suite exacte de la fa¸con suivante : Soient C
une cat´egorie avec objet nul Opour laquelle tout morphisme a une d´ecomposition
de type (D) (i.e un noyau, une image, une coimage et un conoyau). Soient A,
Bet Ctrois objets de C, et f:A→B,g:B→Cdeux morphismes tels que
g◦f=0:A→C. Soient (N, i) un noyau de g, (N0, i0) un noyau de f, et (I, p)
une image de f. Par propriet´e universelle des noyaux, vu que g◦f= 0, il existe
une unique fl`eche ¯ f:A→Ntelle que i◦¯ f=f:A→B:
I N
i
N0
i0//A
p
OO¯
f??
~
~
~
~
~
~
~
f//Bg//C
Ainsi
i◦¯ f◦i0=f◦i0= 0
donc ¯ f◦i0(car iest un monomorphisme d’apr`es la proposition 1.2.4). Comme
(I, p) un conoyau de i0, il existe donc un unique morphisme ¯
¯
f:I→Ntel que
¯
fse factorise en
¯
f=¯
¯
f◦p:A→N
Ce qui nous conduit `a la d´efinition suivante :
D´ efinition 1.2.7 La suite de morphismes
Af//Bg//B
est dite exacte lorsque l’unique morphisme ¯
¯
fd´efini pr´ec´edemment est un iso-
morphisme.
I
¯
¯
f//N
i
N0
i0//A
p
OO¯
f??
~
~
~
~
~
~
~
f//Bg//C
5