Transition 1 S – Terminale S 1] Trigonométrie

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Transition 1ère S – Terminale S
1] Trigonométrie
Dans toute la suite on admettra que :
1) Déterminez la valeur de 
 et  .
2) a) A l’aide d’un triangle équilatéral, déterminez la valeur de 
 et 
b) En déduire, la valeur de 
,  ,   et 
3) On note 
 la fonction « tangente ».
a) Quel est l’ensemble de définition de la fonction tangente ?
b) Soient  et  deux réels appartenant au domaine de définition de la fonction
tangente, exprimez  et  en fonction uniquement de  et .
4) On peut remplacer les coordonnées cartésiennes d’un point par ses coordonnées polaires
qui définissent également la position de ce point. Les coordonnées polaires sont un couple
de nombre  où  est la distance du point au centre du cercle trigonométrique et 
l’angle fait avec le centre du cercle trigonométrique et le point en question.
Prenons le cercle trigonométrique :
Dans le repère   le point  a pour coordonnées cartésiennes le couple 
Déterminez les coordonnées polaires de  en fonction de ses coordonnées cartésiennes.

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5) Equations trigonométriques :
Résoudre dans  :
a) 
b) 
c) 
d) 
2] Dérivation
1) Dérivez la fonction  telle que :
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i)   où les coordonnées de ces deux vecteurs dans un repère
orthonormée du plan sont : 
 et  .
j)  
2) Soit  la fonction définie par :

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a) Dérivez  deux fois.
b) Etudiez le signe de sa dérivée seconde (dérivée de la dérivée).
c) On dit qu’une fonction  est convexe si et seulement si sa dérivée première est
croissante.  est-elle convexe ? Et si oui, sur quels intervalles ?
3) Soit  une fonction définie par :
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Dans chacun des cas, dérivez . Plus, généralement, soit  une fonction telle que :
 où  et  sont des fonctions quelconques. Quelle règle générale semble se
dégager quant à la dérivée de  ?
4) Une primitive d’une fonction  est une fonction  qui vérifie :
Pour tout  d’une partie du domaine de définition de . Pour chaque fonction
 donnée, il existe une infinité de primitives associées.
Montrez que deux primitives ne diffèrent que par une constante.
5) Soit  une fonction telle que :
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 

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f) 
g) 
Pour chacun de ces cas, pour quelles fonctions  est-elle une primitive ?
6) Soit  une fonction définie par :
a) 
b)  où  est un réel quelconque et  un entier naturel non-nul
quelconque.
c) 
Dans chacun de ces cas, déterminez l’ensemble des primitives de .
3] Equations
1) Résoudre dans  :
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 

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2) Soient  et , résoudre :
a) 
b) 
 en fonction de l’entier 
c) 
d) 
e) 
3) a) Soit la fonction  la fonction suivante :
Pour tout , . On sait que ce polynôme admet deux racines  et
, réécrire  en fonction de  et  uniquement.
b) Soit  une fonction de la forme :
Pour tout réel ,  avec  des réels. On sait que  admet
un maximum local sur l’intervalle  qui le point d’abscisse  et un minimum
local sur  qui est le point d’abscisse . On sait aussi que la courbe de  passe
par le point de coordonnées .
Déterminer l’expression de .
4] Suites
1) Démontrez que  
 sachant que ce nombre est bien un réel.
2) On dit qu’une suite  tend vers  si et seulement si, pour tout réel  il existe un
réel  tel que pour tout entier naturel , .
Soit  la suite définie par : pour tout entier naturel  non nul, 
, montrez que
 tend vers . On notera : 
3) Le raisonnement par récurrence est un raisonnement mathématique qui permet de
démontrez des propriétés vraies pour tout entier naturel. Il se base sur le principe suivant :