annales

I.U.T. Saint-Omer Dunkerque Année 2012–2013
Département G.T.E. Promotion de 1re année
Annales de mathématiques
Denis Bitouzé

Avant-propos
Ces annales sont un recueil des énoncés et des corrigés de certains des contrôles des années
précédentes.
Au chapitre I page 4, on trouvera les énoncés, éventuellement quelque peu modifiés, des
épreuves. Pour la plupart d’entre elles, les documents et calculatrices personnels étaient inter-
dits mais, lors de certaines, les calculatrices du département avaient été mises à la disposition
des étudiants. Jusqu’à l’année universitaire 2004–2005, le temps imparti pour chaque épreuve
était de 2 h. À partir de 2005–2006, le temps imparti pour
• les 1re et 3eépreuves de l’année universitaire était de 1 h ;
• les 2eet 4eépreuves de l’année universitaire était de 2 h.
Regroupés dans le chapitre II page 75, les corrigés indiquent de manière très précise la ou
une des méthodes à employer et un exemple de rédaction dont il est fortement conseillé de
s’inspirer.
Ces annales constituent un excellent moyen de jauger ce qui peut vous être demandé en
contrôle et de vous exercer à composer en temps limité. Vous êtes donc invités à les travailler,
avant la veille de la première épreuve !
1

Table des matières
I Énoncés des épreuves 4
Année 1995–1996 . . . . . . . . . . . 4
2 avril 1996 . . . . . . . . . . . 4
9mai1996............ 5
19 juin 1996 . . . . . . . . . . . 6
Année 1996–1997 . . . . . . . . . . . 8
9 janvier 1997 . . . . . . . . . . 8
12 mars 1997. . . . . . . . . . . 8
4 juin 1997 . . . . . . . . . . . . 10
Année 1997–1998 . . . . . . . . . . . 11
24 novembre 1997 . . . . . . . . 11
16 février 1998. . . . . . . . . . 12
11 juin 1998 . . . . . . . . . . . 14
Année 1998–1999 . . . . . . . . . . . 15
16 novembre 1998 . . . . . . . . 15
26 février 1999. . . . . . . . . . 16
11 juin 1999 . . . . . . . . . . . 17
Année 1999–2000 . . . . . . . . . . . 19
2 décembre 1999 . . . . . . . . . 19
1er mars 2000. . . . . . . . . . . 20
13 juin 2000 . . . . . . . . . . . 21
Année 2000–2001 . . . . . . . . . . . 23
19 décembre 2000 . . . . . . . . 23
4 mai 2001 . . . . . . . . . . . . 24
15 juin 2001 . . . . . . . . . . . 25
Année 2001–2002 . . . . . . . . . . . 26
10 décembre 2001 . . . . . . . . 26
18 mars 2002. . . . . . . . . . . 27
17 juin 2002 . . . . . . . . . . . 29
Année 2002–2003 . . . . . . . . . . . 30
18 décembre 2002 . . . . . . . . 30
9 avril 2003 . . . . . . . . . . . 31
13 juin 2003 . . . . . . . . . . . 32
Année 2003–2004 . . . . . . . . . . . 34
16 décembre 2003 . . . . . . . . 34
7 avril 2004 . . . . . . . . . . . 35
8 juin 2004 . . . . . . . . . . . . 37
Année 2004–2005 . . . . . . . . . . . 38
5 janvier 2005 . . . . . . . . . . 38
28 avril 2005 . . . . . . . . . . . 39
12 mai 2005 . . . . . . . . . . . 40
15 juin 2005 . . . . . . . . . . . 41
Année 2005–2006 . . . . . . . . . . . 42
23 novembre 2005 . . . . . . . . 42
26 janvier 2006. . . . . . . . . . 43
2 février 2006 . . . . . . . . . . 44
17 mai 2006 . . . . . . . . . . . 45
21 juin 2006 . . . . . . . . . . . 46
Année 2006–2007 . . . . . . . . . . . 47
1er décembre 2006 . . . . . . . . 47
15 janvier 2007. . . . . . . . . . 48
22 janvier 2007. . . . . . . . . . 49
11 avril 2007 . . . . . . . . . . . 50
13 juin 2007 . . . . . . . . . . . 50
20 juin 2007 . . . . . . . . . . . 52
Année 2007–2008 . . . . . . . . . . . 52
10 décembre 2007 . . . . . . . . 52
15 janvier 2008. . . . . . . . . . 53
18 janvier 2008. . . . . . . . . . 54
25 avril 2008 . . . . . . . . . . . 55
12 juin 2008 . . . . . . . . . . . 55
Année 2008–2009 . . . . . . . . . . . 57
24 novembre 2008 . . . . . . . . 57
9 janvier 2009 . . . . . . . . . . 57
22 janvier 2009. . . . . . . . . . 59
22 mai 2009 . . . . . . . . . . . 59
15 juin 2009 . . . . . . . . . . . 60
17 juin 2009 . . . . . . . . . . . 61
Année 2009–2010 . . . . . . . . . . . 62
26 novembre 2009 . . . . . . . . 62
8 janvier 2010 . . . . . . . . . . 63
25 mars 2010. . . . . . . . . . . 65
4 juin 2010 . . . . . . . . . . . . 65
2

Table des matières Table des matières
Année 2010–2011 . . . . . . . . . . . 67
10 décembre 2010 . . . . . . . . 67
19 janvier 2011. . . . . . . . . . 67
6 mai 2011 . . . . . . . . . . . . 68
17 juin 2011 . . . . . . . . . . . 69
Année 2011–2012 . . . . . . . . . . . 71
25 novembre 2011 . . . . . . . . 71
12 janvier 2012. . . . . . . . . . 72
20 avril 2012 . . . . . . . . . . . 72
21 juin 2012 . . . . . . . . . . . 73
II Corrigés des épreuves 75
Année 1995–1996 . . . . . . . . . . . 75
2 avril 1996 . . . . . . . . . . . 75
9 mai 1996 . . . . . . . . . . . . 80
19 juin 1996 . . . . . . . . . . . 80
Année 1996–1997 . . . . . . . . . . . 80
9 janvier 1997 . . . . . . . . . . 80
12 mars 1997. . . . . . . . . . . 83
4 juin 1997 . . . . . . . . . . . . 86
Année 1997–1998 . . . . . . . . . . . 91
24 novembre 1997 . . . . . . . . 91
16 février 1998. . . . . . . . . . 94
11 juin 1998 . . . . . . . . . . . 99
Année 1998–1999 . . . . . . . . . . . 99
16 novembre 1998 . . . . . . . . 99
26 février 1999. . . . . . . . . . 104
11 juin 1999 . . . . . . . . . . . 106
Année 1999–2000 . . . . . . . . . . . 106
2 décembre 1999 . . . . . . . . . 106
1er mars 2000. . . . . . . . . . . 111
13 juin 2000 . . . . . . . . . . . 115
Année 2000–2001 . . . . . . . . . . . 115
19 décembre 2000 . . . . . . . . 115
4 mai 2001 . . . . . . . . . . . . 121
15 juin 2001 . . . . . . . . . . . 127
Année 2001–2002 . . . . . . . . . . . 127
10 décembre 2001 . . . . . . . . 127
18 mars 2002. . . . . . . . . . . 132
17 juin 2002 . . . . . . . . . . . 138
Année 2002–2003 . . . . . . . . . . . 138
18 décembre 2002 . . . . . . . . 138
9 avril 2003 . . . . . . . . . . . 142
13 juin 2003 . . . . . . . . . . . 148
Année 2003–2004 . . . . . . . . . . . 148
16 décembre 2003 . . . . . . . . 148
7 avril 2004 . . . . . . . . . . . 152
8 juin 2004 . . . . . . . . . . . . 156
Année 2004–2005 . . . . . . . . . . . 156
5 janvier 2005 . . . . . . . . . . 156
28 avril 2005 . . . . . . . . . . . 161
12 mai 2005 . . . . . . . . . . . 166
15 juin 2005 . . . . . . . . . . . 170
Année 2005–2006 . . . . . . . . . . . 170
23 novembre 2005 . . . . . . . . 170
26 janvier 2006. . . . . . . . . . 173
2 février 2006 . . . . . . . . . . 177
17 mai 2006 . . . . . . . . . . . 177
21 juin 2006 . . . . . . . . . . . 180
Année 2006–2007 . . . . . . . . . . . 180
1er décembre 2006 . . . . . . . . 180
15 janvier 2007. . . . . . . . . . 183
22 janvier 2007. . . . . . . . . . 187
11 avril 2007 . . . . . . . . . . . 191
13 juin 2007 . . . . . . . . . . . 193
20 juin 2007 . . . . . . . . . . . 193
Année 2007–2008 . . . . . . . . . . . 196
10 décembre 2007 . . . . . . . . 196
15 janvier 2008. . . . . . . . . . 197
18 janvier 2008. . . . . . . . . . 202
25 avril 2008 . . . . . . . . . . . 204
12 juin 2008 . . . . . . . . . . . 207
Année 2008–2009 . . . . . . . . . . . 208
24 novembre 2008 . . . . . . . . 208
9 janvier 2009 . . . . . . . . . . 210
22 janvier 2009. . . . . . . . . . 215
22 mai 2009 . . . . . . . . . . . 217
15 juin 2009 . . . . . . . . . . . 221
17 juin 2009 . . . . . . . . . . . 222
Année 2009–2010 . . . . . . . . . . . 224
26 novembre 2009 . . . . . . . . 224
8 janvier 2010 . . . . . . . . . . 228
25 mars 2010. . . . . . . . . . . 233
4 juin 2010 . . . . . . . . . . . . 236
Année 2010–2011 . . . . . . . . . . . 239
10 décembre 2010 . . . . . . . . 239
19 janvier 2011. . . . . . . . . . 242
6 mai 2011 . . . . . . . . . . . . 246
17 juin 2011 . . . . . . . . . . . 250
Année 2011–2012 . . . . . . . . . . . 253
25 novembre 2011 . . . . . . . . 253
12 janvier 2012. . . . . . . . . . 256
20 avril 2012 . . . . . . . . . . . 260
21 juin 2012 . . . . . . . . . . . 263
Index 269
3

Chapitre I
Énoncés des épreuves
Année 1995–1996
2 avril 1996
Exercice 1 (sur 4)
1. Calculer le développement limité de
1xcosxà l’ordre 3 en 0.
2. Étudier localement au point d’abscisse
x00 la courbe Cd’équation
y1xcosx1
x.
Exercice 2 (sur 3)
1. Rappeler la définition de Arccosx.
2. Rappeler l’expression de cos2aen fonc-
tion de cosa.
3. Prouver que cos 2Arccos 5
67 18 et en
déduire que 2Arccos 5
6Arccos 7 18 .
Exercice 3 (sur 5)
1. Démontrer que, en 0, tanh h h3
3
o h3.
2. (a) Rappeler le développement limité
de ln 1 tà l’ordre 3 en 0.
(b) Calculer le développement limité
de ln 1 tanhln 1 tanhà
l’ordre 3 en 0.
3. On rappelle que
tan a b tanatanb
1 tanatanb.
Déduire des questions précédentes le dé-
veloppement limité de ln tanxà l’ordre
3 en π
4.
Exercice 4 (sur 4)
1. (a) Rappeler, avec ses hypothèses, la
formule de Taylor-Lagrange en 0 à
l’ordre 2.
(b) Prouver que si c0 alors
01
1c31.
(c) En appliquant cette formule, établir
que pour tout x0
xx2
2ln 1 x x x2 2
x3
3.
2. Pour quelles valeurs de xcette inéga-
lité permet-elle d’affirmer que xx2
2est
une valeur approchée de ln 1 xà 10 3
près ?
3. Donner une valeur approchée de ln 1,1
à 10 3près.
4