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1. ´
EPIMORPHISMES EFFECTIFS UNIVERSELS 181
usoit un ´epimorphisme effectif universel, il faut et suffit que u0: T0= T ×SS0→S0
le soit :
T
u
²²
T0
v0
oo
u0
²²
S S0
v
oo.
Seul le «il suffit »demande une d´emonstration. Or si u0est un ´epimorphisme effectif
universel, il en est de mˆeme de vu0grˆace `a 1.8, et comme vu0=uv0, on conclut par
1.8 que uest un ´epimorphisme effectif universel.
Remarque 1.11. — Le mˆeme raisonnement montre que dans 1.10 on peut remplacer
«´epimorphisme effectif universel »par «´epimorphisme universel »ou «´epimorphisme
universel et effectif », ou simplement par «´epimorphisme »(et dans ce dernier cas,
l’hypoth`ese «uquarrable »est ´evidemment inutile).
Dans la d´emonstration de 1.8 nous avons utilis´e le r´esultat suivant, qui m´erite
d’ˆetre explicit´e :
Proposition 1.12. — Soit u: T →Sun morphisme qui admette une section. Alors
uest un ´epimorphisme, et si T×STexiste, c’est un ´epimorphisme effectif, et un
´epimorphisme effectif universel si de plus uest quarrable.
La premi`ere assertion est contenue dans 1.4 a), et la troisi`eme va r´esulter aussitˆot
de la seconde, qu’il suffira donc d’´etablir. En fait on a une conclusion plus forte : pour
tout foncteur F : C◦→(Ens) (non n´ecessairement repr´esentable), le diagramme
d’ensembles
F(S) →F(T) ⇒F(T ×
ST)
est exact. Ceci peut ˆetre consid´er´e comme un cas particulier du formalisme de la
cohomologie de ˇ
Cech (en dimension 0 !) que nous nous contentons de rappeler ici.
Supposons simplement que T ×ST existe, on pose alors
H0(T/S,F) = Ker¡F(T) ⇒F(T ×
ST)¢.
On peut regarder H0(T/S,F) de fa¸con ´evidente comme un foncteur contravariant en 166
l’argument T variable dans C/S, tout S-morphisme T0→T d´efinissant une application
(+) H0(T/S,F) →H0(T0/S,F).
Fixons T et T0dans C/S. Un calcul bien connu montre que s’il existe un S-morphisme
de T0dans T, l’application correspondante (+) est en fait ind´ependante du choix de
ce morphisme (6), de sorte que H0(T/S,F) peut ˆetre regard´e comme un foncteur sur
la cat´egorie associ´ee `a l’ensemble Ob C/Spr´eordonn´e par la relation de «domination »
(6)N.D.E. : Il s’agit de l’argument suivant, communiqu´e par M. Demazure. Soient f, g : T0→T,
et soit φ: T0→T×ST le morphisme de composantes fet g, d’o`u p1◦φ=fet p2◦φ=g.
Alors F(φ) : F(T ×ST) →F(T0) v´erifie F(φ)◦F(p1) = F(f) et F(φ)◦F(p2) = F(g). Or, pour tout
x∈H0(T/S,F), on a F(p1)(x) = F(p2)(x). Donc, appliquant F(φ) aux deux membres, on obtient
F(f)(x) = F(g)(x), ce qui montre que fet ginduisent le mˆeme morphisme.