TS3 DM à rendre le lundi 16 mai 2011. MATHEMATIQUES Exercice 1

TS3 DM à rendre le lundi 16 mai 2011.
MATHEMATIQUES
Exercice 1 : les figures du jeu de poker.
Au poker on dispose d'un jeu de 32 cartes. Le donneur distribue à chaque joueur cinq cartes qui constituent une
main. On rappelle que dans un jeu de 32 cartes, chaque carte a une valeur et une couleur. Les 8 valeurs sont,
par ordre croissant, 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as ; et les 4 couleurs sont trèfle, carreau, cœur, pique.
1) Parmi toutes ces mains possibles, dénombrer les :
a) quintes floches : cinq cartes de valeurs consécutives, de la même couleur.(ex : 8, 9, 10, V, D à cœur)
b) couleurs : cinq cartes de valeurs non consécutives de la même couleur.(ex : 7, 8, V, R, A à cœur)
c) carrés : quatre cartes de la même valeur et une autre carte.(ex : les 4 valets et le 7 de trèfle)
d) fulls : trois cartes de la même valeur et deux cartes d’une même autre valeur. (ex : 3 as et 2 dames)
e) quintes (non floches) : cinq cartes de valeurs consécutives pas toutes de la même couleur
(ex : 9 de cœur, 10 de trèfle, valet de trèfle, dame de pique, roi de cœur)
f) brelans : trois cartes de la même valeur (et trois seulement) (ex : 3 rois, as de pique, dame de trèfle)
g) doubles paires : deux paires de valeurs distinctes (ni brelan, ni full)(ex : 2 as, 2 valets, 8 de pique)
h) simples paires : deux cartes de la même valeur et deux seulement (ni brelan, ni full, ni carré)
(ex : 2 rois, as de trèfle, dame de pique, 9 de carreau)
2) Calculer la probabilité de chacune des figures précédentes : on donnera d’abord la valeur exacte sous forme
de fraction irréductible, puis une valeur approchée à 10−3 près.
3) Quelle est la probabilité d’avoir au moins une des figures précédentes ?
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Exercice 2
Une urne contient 10 boules indiscernables, 5 rouges, 3 jaunes, et 2 vertes.
Dans la question 1) on tire au hasard et simultanément 3 boules de cette urne. Les réponses seront données sous
forme de fractions irréductibles.
1) Soit les événements suivants :
A : « Les trois boules sont rouges. »
B : « Les trois boules sont de la même couleur. »
C : « Les trois boules sont chacune d’une couleur différente. »
a) Calculer les probabilités p(A), p(B) et p(C).
b) On appelle X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de couleurs obtenues.
Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer E(X).
2) Dans cette question, on remplace les 5 boules rouges par n boules rouges où n est un entier supérieur ou égal
à 2. L’urne contient donc n + 5 boules, c’est-à-dire, n rouges, 3 jaunes et 2 vertes.
On tire au hasard et simultanément deux boules de cette urne. Soient les événements suivants :
D : « Tirer deux boules rouges. »
E : « Tirer deux boules de la même couleur. »
a) Montrer que la probabilité de l’événement D est
p ( D) =
b) Calculer p(E) en fonction de n.
Pour quelles valeurs de n a-t-on p ( E ) ≥
1
?
2
n(n − 1)
.
(n + 5)(n + 4)
CORRIGE
Exercice 1
1) Les figures
a) Quintes floches. (5 cartes de valeurs consécutives, de la même couleur)
Pour une couleur donnée, il y a 4 quintes possibles : du 7 au valet, du 8 à la dame, du 9 au roi et du 10 à
l'as. Il y a 4 couleurs, donc : 4 × 4 = 16 mains sont des quintes floches.
b) Couleurs. (5 cartes de valeurs non consécutives, de la même couleur)
8
8
Il y a   mains d’une couleur donnée. Il y a 4 couleurs, donc 4×   mains avec toutes les cartes de la
5
5
même couleur. Parmi celles-ci, il y a les quintes floches, donc les mains avec toutes les cartes de la
8
même couleur non consécutives sont au nombre de : 4×   – 16 = 208. Il y a 208 « couleurs ».
5
c) Carrés. (4 cartes de la même valeur, plus une autre carte)
Il y a 8 valeurs possibles du carré et 28 façons de choisir la 5ème carte.
Il y a donc en tout : 8×28 = 224 carrés.
d) Fulls. (3 cartes de la même valeur et 2 cartes d’une même autre valeur)
Il y a 8 × 7 = 56 façons de choisir un couple de valeurs : l’une pour les 3 cartes de même valeur, l’autre
4
pour les 2 cartes de même valeur. Il y a   façons de choisir les 3 cartes de même valeur parmi les 4
3 
4
d’une valeur donnée, et   façons de choisir les 2 cartes de même valeur parmi les 4 de l’autre valeur.
2
 4  4
En tout, on a donc : 56 ×   ×   = 1344 fulls.
3  2
e) Quintes (non floches). (5 cartes de valeurs consécutives, pas toutes de la même couleur)
Il y a 4 valeurs de quintes possibles : du 7 au valet, du 8 à la dame, du 9 au roi, du 10 à l'as. Pour
chacune des cartes d’une quinte donnée il y a 4 couleurs possibles. Il y a donc 4 × 45 = 4096 quintes
possibles, y compris les quintes floches. Il y a donc : 4096 – 16 = 4080 quintes non floches.
f) Brelans. (3 cartes de la même valeur, et 3 seulement)
 4
Il y a 8 choix possibles de la valeur des 3 cartes et   façons de choisir ces 3 cartes parmi les 4 cartes
3
 28 
de la même valeur. Il reste 2 cartes à choisir parmi les 28 restantes, soit   façons de le faire. En tout,
2
 4   28 
on a ainsi : 8     = 12096 mains contenant 3 cartes de même valeur, y compris les fulls.
3  2 
Il y a donc : 12096 – 1344 = 10752 brelans.
g) Doubles paires. (2 paires de valeurs distinctes)
8 
4
Il y a   façons de choisir les deux valeurs des paires parmi 8 valeurs. Pour chaque paire, il y a  
2
2
choix de 2 cartes parmi les 4 d’une valeur donnée. La 5ème carte doit être choisie parmi les 24 cartes
8   4  4
restantes. En tout, on a :       ×24 = 24192 doubles paires.
 2  2  2
h) Simples paires. (2 cartes de la même valeur et 2 seulement)
4
Il y a 8 choix possibles de la valeur de la paire, et   choix de 2 cartes parmi les 4 d’une valeur
2
donnée. Les 3 autres cartes doivent être choisies de 3 valeurs différentes, et différentes de la valeur de la
7
paire (pourquoi ?) : il y a   façons de choisir ces valeurs, et pour chaque valeur, il y a 4 façons de
3
4 7
choisir la couleur de la carte. Soit en tout : 8     ×4×4×4 = 107520 paires simples.
 2 3
2) Tableau des résultats :
Figures
Nb de cas
probabilités
v. app.
Quintes
floches
Couleurs
Carrés
Fulls
16
1
12586
0,000 08
208
13
12586
0,001
224
1
899
0,001
1 344
6
899
0,007
Quintes
non
floches
4 080
255
12586
0,020
Brelans
Doubles
paires
Simples
paires
10 752
48
899
0,053
24 192
108
899
0,120
107 520
480
899
0,534
148336
≈ 0,737
0,737.
37.
201376
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Exercice 2
Une urne contient 10 boules indiscernables, 5 rouges, 3 jaunes, et 2 vertes.
On tire au hasard et simultanément 3 boules de cette urne.
3) La probabilité d’avoir au moins une de ces figures est la somme de ces valeurs :
1) Soit les événements suivants :
A : « Les trois boules sont rouges. »
B : « Les trois boules sont de la même couleur. »
C : « Les trois boules sont chacune d’une couleur différente. »
a) Calculons les probabilités demandées :
5
 
3
10
1
• P( A) =   =
soit P( A) =
12
 10  120
3
 
 5  3
 + 
3
3
11
11
• P( B) =     =
soit P ( B ) =
120
120
 10 
3
 
 5  3  2 
   
1 1 1
30
1
• P(C ) =     =
soit P(C ) =
10
120
4
 
3
 
b) On appelle X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de couleurs obtenues.
Déterminons la loi de probabilité de X et calculons E(X) :
L’événement B signifie que X = 1 et C que X = 3. On en déduit que :
11 1 79
P( X = 2) = 1 − P( X = 1) − P( X = 3) = 1 −
− =
.
120 4 120
Donc la loi de X est donnée par :
X
P
Et on a : E ( X ) =
1
11
120
2
79
120
3
1
4
259
≈ 2, 2
120
2) Dans cette question, on remplace les 5 boules rouges par n boules rouges où n est un entier supérieur ou égal
à 2. L’urne contient donc n + 5 boules, c’est-à-dire, n rouges, 3 jaunes et 2 vertes.
On tire au hasard et simultanément deux boules de cette urne. Soit les événements suivants :
D : « Tirer deux boules rouges. »
E : « Tirer deux boules de la même couleur. »
n(n − 1)
.
(n + 5)(n + 4)
 n + 5
Le nombre total de tirages possibles de 2 boules est : 

 2 
n
Le nombre de tirages de 2 rouges est :   et donc on a :
2
a) Montrons que la probabilité de l’événement D est P( D ) =
n
n(n − 1)
 
2
n(n − 1)
2
P( D) =   =
=
.
 n + 5  (n + 5)(n + 4) (n + 5)(n + 4)
 2 
2


b) • Calculons la probabilité P(E) en fonction de n :
E est la réunion de 3 événements incompatibles : tirer 2 rouges (D) ou 2 jaunes ou 2 vertes.
3
2
 
 
2
2
n(n − 1)
3
1
n2 − n + 8


P( E ) = P ( D) +
+
=
+
+
=
.
 n + 5   n + 5  (n + 5)(n + 4) (n + 5)(n + 4) (n + 5)(n + 4) (n + 5)(n + 4)
 2   2 
2
2

 

Soit : P( E ) =
n2 − n + 8
.
(n + 5)(n + 4)
• Cherchons pour quelles valeurs de n on a : P( E ) ≥
n2 − n + 8
1
1
soit
≥
2
(n + 5)(n + 4) 2
2n2 − 2n + 16 ≥ n 2 + 9n + 20 ⇔ n2 − 11n − 4 ≥ 0
11 − 137
11 + 137
Ce polynôme du 2nd degré a pour racines
soit environ – 0,35 et 11,4 ; il est
et
2
2
1
positif pour n extérieur à ces valeurs, donc : on a P( E ) ≥ pour n ≥ 12.
2