TS3 DM à rendre le lundi 16 mai 2011. MATHEMATIQUES Exercice 1

TS3 DM à rendre le lundi 16 mai 2011.
MATHEMATIQUES
Exercice 1 : les figures du jeu de poker.
Au poker on dispose d'un jeu de 32 cartes. Le donneur distribue à chaque joueur cinq cartes qui constituent une
main. On rappelle que dans un jeu de 32 cartes, chaque carte a une valeur et une couleur. Les 8 valeurs sont,
par ordre croissant, 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as ; et les 4 couleurs sont trèfle, carreau, cœur, pique.
1) Parmi toutes ces mains possibles, dénombrer les :
a) quintes floches : cinq cartes de valeurs consécutives, de la même couleur.(ex : 8, 9, 10, V, D à cœur)
b) couleurs : cinq cartes de valeurs non consécutives de la même couleur.(ex : 7, 8, V, R, A à cœur)
c) carrés : quatre cartes de la même valeur et une autre carte.(ex : les 4 valets et le 7 de trèfle)
d) fulls : trois cartes de la même valeur et deux cartes d’une même autre valeur. (ex : 3 as et 2 dames)
e) quintes (non floches) : cinq cartes de valeurs consécutives pas toutes de la même couleur
(ex : 9 de cœur, 10 de trèfle, valet de trèfle, dame de pique, roi de cœur)
f) brelans : trois cartes de la même valeur (et trois seulement) (ex : 3 rois, as de pique, dame de trèfle)
g) doubles paires : deux paires de valeurs distinctes (ni brelan, ni full)(ex : 2 as, 2 valets, 8 de pique)
h) simples paires : deux cartes de la même valeur et deux seulement (ni brelan, ni full, ni carré)
(ex : 2 rois, as de trèfle, dame de pique, 9 de carreau)
2) Calculer la probabilité de chacune des figures précédentes : on donnera d’abord la valeur exacte sous forme
de fraction irréductible, puis une valeur approchée à
3
10
−
près.
3) Quelle est la probabilité d’avoir au moins une des figures précédentes ?
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Exercice 2
Une urne contient 10 boules indiscernables, 5 rouges, 3 jaunes, et 2 vertes.
Dans la question 1) on tire au hasard et simultanément 3 boules de cette urne. Les réponses seront données sous
forme de fractions irréductibles.
1) Soit les événements suivants :
A : « Les trois boules sont rouges. »
B : « Les trois boules sont de la même couleur. »
C : « Les trois boules sont chacune d’une couleur différente. »
a) Calculer les probabilités p(A), p(B) et p(C).
b) On appelle X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de couleurs obtenues.
Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer E(X).
2) Dans cette question, on remplace les 5 boules rouges par n boules rouges où n est un entier supérieur ou égal
à 2. L’urne contient donc 5
+
n boules, c’est-à-dire, n rouges, 3 jaunes et 2 vertes.
On tire au hasard et simultanément deux boules de cette urne. Soient les événements suivants :
D : « Tirer deux boules rouges. »
E : « Tirer deux boules de la même couleur. »
a) Montrer que la probabilité de l’événement D est
( 1)
( ) .
( 5)( 4)
n n
p D n n
−
=+ +
b) Calculer p(E) en fonction de n.
Pour quelles valeurs de n a-t-on
1
( ) ?
2
p E ≥

CORRIGE
Exercice 1
1) Les figures
a) Quintes floches. (5 cartes de valeurs consécutives, de la même couleur)
Pour une couleur donnée, il y a 4 quintes possibles : du 7 au valet, du 8 à la dame, du 9 au roi et du 10 à
l'as. Il y a 4 couleurs, donc :
4 4
×
= 16 mains sont des quintes floches.
b) Couleurs. (5 cartes de valeurs non consécutives, de la même couleur)
Il y a
8
5
mains d’une couleur donnée. Il y a 4 couleurs, donc 4×
8
5
mains avec toutes les cartes de la
même couleur. Parmi celles-ci, il y a les quintes floches, donc les mains avec toutes les cartes de la
même couleur non consécutives sont au nombre de : 4×
8
5
– 16 = 208. Il y a 208 « couleurs ».
c) Carrés. (4 cartes de la même valeur, plus une autre carte)
Il y a 8 valeurs possibles du carré et 28 façons de choisir la 5ème carte.
Il y a donc en tout : 8×28 = 224 carrés.
d) Fulls. (3 cartes de la même valeur et 2 cartes d’une même autre valeur)
Il y a
8 7 56
× =
façons de choisir un couple de valeurs : l’une pour les 3 cartes de même valeur, l’autre
pour les 2 cartes de même valeur. Il y a
4
3
façons de choisir les 3 cartes de même valeur parmi les 4
d’une valeur donnée, et
4
2
façons de choisir les 2 cartes de même valeur parmi les 4 de l’autre valeur.
En tout, on a donc : 56 ×
4
3
×
4
2
= 1344 fulls.
e) Quintes (non floches). (5 cartes de valeurs consécutives, pas toutes de la même couleur)
Il y a 4 valeurs de quintes possibles : du 7 au valet, du 8 à la dame, du 9 au roi, du 10 à l'as. Pour
chacune des cartes d’une quinte donnée il y a 4 couleurs possibles. Il y a donc 4 × 45 = 4096 quintes
possibles, y compris les quintes floches. Il y a donc : 4096 – 16 = 4080 quintes non floches.
f) Brelans. (3 cartes de la même valeur, et 3 seulement)
Il y a 8 choix possibles de la valeur des 3 cartes et
4
3
façons de choisir ces 3 cartes parmi les 4 cartes
de la même valeur. Il reste 2 cartes à choisir parmi les 28 restantes, soit
28
2
façons de le faire. En tout,
on a ainsi : 8
4
3
28
2
= 12096 mains contenant 3 cartes de même valeur, y compris les fulls.
Il y a donc : 12096 – 1344 = 10752 brelans.
g) Doubles paires. (2 paires de valeurs distinctes)
Il y a
8
2
façons de choisir les deux valeurs des paires parmi 8 valeurs. Pour chaque paire, il y a
4
2
choix de 2 cartes parmi les 4 d’une valeur donnée. La 5ème carte doit être choisie parmi les 24 cartes
restantes. En tout, on a :
8
2
4
2
4
2
×24 = 24192 doubles paires.

h) Simples paires. (2 cartes de la même valeur et 2 seulement)
Il y a 8 choix possibles de la valeur de la paire, et
4
2
choix de 2 cartes parmi les 4 d’une valeur
donnée. Les 3 autres cartes doivent être choisies de 3 valeurs différentes, et différentes de la valeur de la
paire (pourquoi ?) : il y a
7
3
façons de choisir ces valeurs, et pour chaque valeur, il y a 4 façons de
choisir la couleur de la carte. Soit en tout : 8
4
2
7
3
×4×4×4 = 107520 paires simples.
2) Tableau des résultats :
Figures Quintes
floches Couleurs Carrés Fulls
Quintes
non
floches
Brelans Doubles
paires
Simples
paires
Nb de cas 16 208 224 1 344 4 080 10 752 24 192 107 520
probabilités
1
12586
13
12586
1
899
6
899
255
12586
48
899
108
899
480
899
v. app. 0,000 08 0,001 0,001 0,007 0,020 0,053 0,120 0,534
3) La probabilité d’avoir au moins une de ces figures est la somme de ces valeurs :
148336
201376
≈
0,7
0,70,7
0,737
3737
37.
..
.
_________________________________________________________________________________________
Exercice 2
Une urne contient 10 boules indiscernables, 5 rouges, 3 jaunes, et 2 vertes.
On tire au hasard et simultanément 3 boules de cette urne.
1) Soit les événements suivants :
A : « Les trois boules sont rouges. »
B : « Les trois boules sont de la même couleur. »
C : « Les trois boules sont chacune d’une couleur différente. »
a) Calculons les probabilités demandées :
•
5
3
10 1
( ) soit ( )
10
120 12
3
P A P A = = =
•
5 3
3 3
11 11
( ) soit ( )
10
120 120
3
P B P B
+
= = =
•
5 3 2
1 1 1
30 1
( ) soit ( )
10
120 4
3
P C P C
= = =

b) On appelle X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de couleurs obtenues.
Déterminons la loi de probabilité de X et calculons E(X) :
L’événement B signifie que X = 1 et C que X = 3. On en déduit que :
11 1 79
( 2) 1 ( 1) ( 3) 1
120 4 120
P X P X P X= = − = − = = − − = .
Donc la loi de X est donnée par :
X
1
2
3
P
11
120
79
120
1
4
Et on a : 259
( ) 2, 2
120
E X = ≈
2) Dans cette question, on remplace les 5 boules rouges par n boules rouges où n est un entier supérieur ou égal
à 2. L’urne contient donc 5
+
n boules, c’est-à-dire, n rouges, 3 jaunes et 2 vertes.
On tire au hasard et simultanément deux boules de cette urne. Soit les événements suivants :
D : « Tirer deux boules rouges. »
E : « Tirer deux boules de la même couleur. »
a) Montrons que la probabilité de l’événement D est
( 1)
( ) .
( 5)( 4)
n n
P D n n
−
=+ +
Le nombre total de tirages possibles de 2 boules est :
5
2
n
+
Le nombre de tirages de 2 rouges est :
2
n
et donc on a :
( 1)
2
( 1)
2
( ) .
( 5)( 4)
5
( 5)( 4)
2
2
nn n
n n
P D n n
nn n
  −
  −
= = =
+ +
++ +
b) • Calculons la probabilité P(E) en fonction de n :
E est la réunion de 3 événements incompatibles : tirer 2 rouges (D) ou 2 jaunes ou 2 vertes.
2
3 2
2 2
( 1) 3 1 8
( ) ( ) .
( 5)( 4) ( 5)( 4)
5 5
( 5)( 4) ( 5)( 4)
2 2
2 2
n n n n
P E P D n n n n
n n n n n n
    − − +
= + + = + + =
+ + + +
+ + + + + +
Soit :
2
8
( ) .
( 5)( 4)
n n
P E n n
− +
=+ +
• Cherchons pour quelles valeurs de n on a :
1
( )
2
P E
≥
soit
2
8 1
( 5)( 4) 2
n n
n n
− +
≥
+ +
2 2 2
2 2 16 9 20 11 4 0
n n n n n n
− + ≥ + + ⇔ − − ≥
Ce polynôme du 2nd degré a pour racines
11 137 11 137
et
2 2
− + soit environ – 0,35 et 11,4 ; il est
positif pour n extérieur à ces valeurs, donc : on a
1
( )
2
P E
≥
pour
12.
n≥