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C- Lois usuelles
C.1- Lois discrètes- Loi uniforme
•
Loi d’une variable aléatoire X
prenant ses valeurs dans {1,…,n}
avec la même probabilité:
P( X = x) =
•
1
n
Ex : E=« lancer d’un dé régulier »
X=numéro apparaissant sur le dé
X suit une loi uniforme de
probabilité 1/6
∀x ∈{1, 2,...n}
Moments :
n +1
n2 − 1
E( X ) =
; V (X ) =
2
12
Eléments de calcul pour l’espérance
et la variance :
n
n
n(n + 1)
n(n + 1)(2n + 1)
; ∑ i² =
∑i=
2
6
i =1
i =1
C.1- Lois discrètes- Loi de Bernoulli
•
Loi :
X ∼ B ( p) ⇔
P( X = x) = p x q1− x , x ∈{0,1}
•
Moments
E: Tirage dans une urne de
Bernoulli ayant une proportion
p de boules rouges. q=1-p
p
E ( X ) = p ; V ( X ) = pq
X=nombre de boules rouges
1 x ∈ A
Fonction indicatrice de A : 1A ( x) = 
0 x ∉ A
Rq :
X = 1A ∼ B ( P( A))
C.1- Lois discrètes- Loi Binomiale
•
Loi :
X ∼ B (n, p ) ⇔
E: n tirages avec remise dans une
urne de Bernoulli ayant une
proportion p de boules rouges
P( X = x) = C n p x q n − x ∀x ∈{0,..., n}
x
n
Moments :
E ( X ) = np ; V ( X ) = npq
• Propriétés
Si n>50 et p<0.1 X ≈ P (np )
Si n>50 et p>0.1 X ≈ N np, npq
(
X=nombre de boules rouges
)
X 1 ∼ B (n1 , p ) 

X 2 ∼ B (n2 , p )  ⇒ X 1 + X 2 ∼ B (n1 + n2 , p )
X 1 ⊥ X 2 
Outils :
Cn =
x
n
∑C
x=0
Cn =
x
n!
x !( n − x)!
x n− x
p
q =1
n
x
n x −1
x C n −1
C.1- Lois discrètes- Loi de Poisson
•
Loi :
X ∼ P (λ ), λ > 0 ⇔
P( X = x) = e
•
−λ
λx
x!
•
Ex : nombre de personnes se
présentant à l’arrêt de bus après
une durée λ.
•
Outils :
, ∀x ∈ N
Moments
E( X ) = V ( X ) = λ
• Propriétés :
Si λ grand,
X ≈ N (λ , λ )
X 1 ∼ P (λ1 ) 

X 2 ∼ P (λ2 )  ⇒ X 1 + X 2 ∼ P (λ1 + λ2 )
X 1 ⊥ X 2 
+∞
λx
∑ x! = eλ
x=0
C.1- Lois discrètes- Loi Binomiale
négative
•
Loi :
X ∼ BN ( r , p ) ⇔
P( X = x) = C x + r −1 p r q x ∀x ∈ N
x
•
E: tirages avec remise dans une
urne de Bernoulli ayant une
proportion p de boules rouges
Moments :
E( X ) =
rq
p
; V (X ) =
rq
p²
X=nombre de boules blanches
précédent la r° boule rouge
Outils:
∞
∑C
x=0
r x
p
q =1
x + r −1
x
C.1- Lois discrètes- Loi Géométrique
•
X ∼ G ( p) ⇔
Loi :
P( X = x) = pq x −1 ∀x ∈ N
•
Moments :
E( X ) =
•
E: tirages avec remise dans une
urne de Bernoulli ayant une
proportion p de boules rouges
1
q
; V (X ) =
p
p²
X=rang de la 1° boule rouge
Outils
∞
1
p
=
∑
1− p
x=0
x
très utilisé en
durée de vie et en biologie.
C.1- Lois discrètes- Loi Hypergéométrique
•
Loi :
X ∼ H (n, N, p ) ⇔
x
P( X = x) =
C C
C
Np
n− x
N − Np
n
∀x ∈{0,..., n}
N
•
N
n
Moments :
E ( X ) = np ; V ( X ) =
•
E: n tirages sans remise dans une
urne de Bernoulli ayant une
proportion p de boules rouges
N −n
npq
N −1
Propriétés
Si N>>n (N>10n)
X ≈ B (n, p )
X=nombre de boules rouges
C.2- Lois continues- Loi uniforme
•
Loi :
•
Propriétés
X ∼ U [ a, b] ⇔
f ( x) =
•
1
1a ≤ x≤b
b−a
a≤ x≤b
f
1/(b-a)
a+b
(b − a )²
; V (X ) =
2
12
a
b
a
b
F
Fonction de répartition
 0
 x − a
F ( x) = 
b − a
 1
X −a
∼ U [0,1]
b−a
sinon
Moments
E( X ) =
•
 1

= b − a
 0
X ∼ U [ a, b] ⇔
x<a
a≤ x≤b
x>b
C.2- Lois continues- Loi normale
•
X ∼ N ( µ ,σ ) ⇔
Loi
f ( x) =
•
1
e
σ 2π
1  x−µ 
− 

2 σ 
m=0
S=1
2
, ∀x ∈ R
Moments
E( X ) = µ ; V ( X ) = σ ²
•
m=1,S=1
m
m
Propriétés :
X 1 ∼ N ( µ1 ,σ 1 ) 
X −m
X
∼
N
(
m
,
σ
)
⇔
U
=
∼ N (0,1)

2
2
σ
X 2 ∼ N ( µ 2 ,σ 2 )  ⇒ X 1 + X 2 ∼ N ( µ1 + µ 2 , σ 1 + σ 2 )

X1 ⊥ X 2

C.2- Lois continues- Loi normale
•
Propriétés d’une v.a. U de loi
normale N(0,1)
Ф(-x)
1-Ф(x)
On note Φ la fdr de U
1
1
Φ (0) = ; Φ ( x) < ⇔ x < 0
2
2
Φ (− x) = 1 − Φ ( x)
P(| X |< x) = 2Φ ( x) − 1
-x
x
C.2- Lois continues- Loi log-normale
•
Loi
X ∼ LN ( µ ,σ ) ⇔ Y = ln( X ) ∼ N ( µ ,σ )
•
Moments
E( X ) = e
(
2
µ + σ2
σ2
)
V ( X ) = e −1 e
2 µ +σ 2
F(-x)
1-F(x)
C.2- Lois continues- Loi exponentielle
•
Loi
X ∼ ε (λ ), λ > 0 ⇔
 0 x<0
f ( x) = λ e − λ x 1x≥0 =  − λ x
λ e x ≥ 0
•
λ=3
λ=4
Moments
1
1
E( X ) = ; V ( X ) =
λ
λ²
•
Loi souvent utilisée en fiabilité :
durée de vie d’un composant
Fonction de répartition :
x<0
0
F ( x) = 
−λ x
1 − e x ≥ 0
λ=1
C.2- Lois continues- Loi gamma
•
Loi
•
x k −1e θ
f ( x) =
1x≥0
Γ(k )θ k
Moments
X ∼ Γ(k ,θ ), k > 0,θ > 0 ⇔
−x
E ( X ) = kθ ; V ( X ) = kθ 2
• Propriétés
Si k=1, X ∼ ε (1/ θ )
Si θ=2, X ∼ χ ²(2k )
Si k entier, la loi de X s’appelle loi
d’Erlang
n
Si X i.i.d. ∼ ε (1/ θ ) ⇒ Y = X ∼ Γ( n,θ )
i
∑
i =1
i
∞
Γ(k ) = ∫ t k −1e − t dt ; Γ(k + 1) = k Γ(k )
0
C.2- Lois continues- Loi du chi2
•
Loi : la loi du chi2 à k ddl est la loi de la
somme de n variables de loi N(0,1):
X ∼ χ ²(k ), k ∈ N * ⇔ X a même loi que
k
Z = ∑ U i2
, Ui
i.i.d . ∼ N (0,1)
i=1
•
Moments
E ( X ) = k ; V ( X ) = 2k
• Propriétés :
X à valeurs positives.
La loi de X/2 est une loi gamma(n)
Lorsque k=2 X suit E(1/2)
Si k>50,
X ≈ N ( k , 2k )
f ( x) =
1
2 Γ(
k
2
k
2
)
k
−1
2
− 2x
x e 1x≥0
C.2- Lois continues- Loi de Student
•
Loi :
X ∼ T (k ), k ∈ N * ⇔ X a même loi que
U
T=
, U ⊥ Z, U ∼ N (0,1), Z ∼ χ ²(k )
Z/k
•
Moments
E ( X ) = 0, k > 1
V (X ) =
k
,k > 2
k −2
• Propriétés :
Si k>30 alors X ≈ N (0,1)
C.2- Lois continues- Loi de Fisher
•
Loi :
X ∼ F (n1 , n2 ), ni ∈ N * ⇔ X a même loi que
F=
Z1 / n1
, Z1 ⊥ Z2 , Z1 ∼ χ ²(n1 ), Z 2 ∼ χ ²( n2 )
Z2 / n2
•
Moments
n
E ( X ) = 2 , n2 > 2
n2 − 2
V (X ) =
•
2n2 (n1 + n2 − 2)
, n2 > 4
2
n1 (n2 − 2) (n2 − 4)
X ∼ F (1, n2 ) ⇔ X a même loi que
Propriété
F =T2 ,
T ∼ T ( n2 )
C-3 Simulations de lois
Théorème d’inversion
Soit F une fonction de répartition sur R. On note F −1 ( y ) = inf{x ∈ R / F ( x) ≥ y}
l’inverse généralisé de F (vaut l’inverse habituelle lorsque F est continue
est strictement croissante). Soit U deloi uniforme sur [0,1]. Alors,
1.
2.
X = F −1 (U ) a pour fonction de répartition F
Si F est continue sur R et X de fdr F, U=F(X) suit une loi uniforme
sur [0,1].
C-3 Simulations de lois
Simulation d’une loi continue
Simulation de n réalisations X de loi F:
–
on simule n réalisations d’une loi uniforme sur [0,1] (tirage au
hasard de n nombres sur cet intervalle) : u1,…,un
–
On calcule
de loi F.
∀i = 1,...., n, xi = F −1 (ui ). Ce sont n réalisations de X
C-3 Simulations de lois
Simulation d’une loi discrète
Soit ( pi = P ( X = xi ) )
la loi de probabilité discrète d’une variable
k
1≤i ≤ n
aléatoire à valeurs dans {x1 ,..., xn }. On note sk = P ( X ≤ xk ) = ∑ pi
n
i =1
etF (u ) = ∑ sk −11xk −1 ≤u < xk la fonction de répartition de cette loi en tout point.
Soient uk =11,..., un n réalisations d’une variable de loi uniforme sur [0,1].
Alors
n
∀i = 1,..., n, x = F (ui ) = ∑ xk 1sk −1 ≤ui < sk
*
k
−1
k =1
Sont n réalisations d’une variable aléatoire
discrète de loi F.