4 Fonctions usuelles 4.1 Fonction polynomiale Définition Soient n ∈ N, a0 , a1 , ..., an−1 ∈ R et an ∈ R∗ . Alors la fonction P ∶R → R x � � ak xk = ..........................................................., n k=0 est appelée fonction polynôme de degré n. Définition Soit P ∶ R → R un polynôme de degré n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................... Exemple Le polynôme P défini pour tout x ∈ R par P (x) = x2 + x − 2 admet-il des racines ? . . . . . . . . . . . . .................................................................................................... Proposition Soit P ∶ R → R un polynôme de degré n. Alors : . ...................................................................................................................... . ...................................................................................................................... Remarque Lorsque n = 2, si P (x) = ax2 + bx + c admet deux racines x1 et x2 alors une factorisation de P est P (x) = ....................................................... Exemple 1 et −2 sont racines du polynôme P défini par P (x) = x2 + x − 2, ainsi P (x) se factorise par ............. et ............., une factorisation est P (x) = ...................................................... 4.2 Fonctions logarithme et exponentielle Définition On appelle logarithme népérien l’unique fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................... Propriétés (Règles de calcul) Pour tout a, b ∈ R∗+ , n ∈ Z on a ln(ab) a ln � � b ln(an ) 1 ln � � a 1 ln � n � a = ........................................................... = ........................................................... = ........................................................... = ........................................................... = ........................................................... Théorème L’application logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Preuve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Définition La fonction exponentielle notée exp ∶ R →]0, +∞[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................... Remarque On utilisera la notation exp(x) = ex . Comme elle est la réciproque de la fonction logarithme, on en déduit que la fonction exponentielle est bijective et vérifie .................................................................................................................. Propriétés (Règles de calcul) Pour tout x, y ∈ R et pour tout n ∈ Z, e0 = ex+y = e−x = enx = e−nx = (ex )−n = ......................, ......................, ......................, ......................, ....................... Définition Soit a > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 expa ∶ ..... → ................... x � ........................... Fonctions puissances et leurs réciproques Définition Soit ↵ ∈ R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................... Proposition Soit ↵ ∈ R. ]0, +∞[ �→ ]0, +∞[ L’application ∶ est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x �→ x↵ . .................................................................................................... (resp. strictement décroissante si ↵ < 0) et admet pour réciproque l’application ∶ ............. �→ ............. x �→ ......... Remarque Lorsque n ∈ N et n � 2, la réciproque de l’application x � xn est l’application . . . . . . . . . . . . . . appelée racine n-ième. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................... 2 4.4 Fonctions trigonométriques et leurs réciproques cos(x) = ...................... ✓ sin(x) = ...................... cos(✓) 0 √ 3 2 sin(✓) tan(x) = ...................... ⇡ 6 √ 3 2 1 2 ⇡ 4 √ 2 2 √ 2 2 ⇡ 3 1 2 √ 3 2 ⇡ 2 √ 3 2 D’après le théorème de Pythagore dans le triangle OBM : .................................................................. Propriétés La fonction sinus sin ∶ R → [−1, 1] vérifie : .∀x ∈ R, sin(−x) =.....................(elle est impaire). .∀x ∈ R, sin(x + 2⇡) =.....................(elle est 2⇡-périodique). .∀x, y ∈ R, sin(x+y) = ....................................................................... .∀x, y ∈ R, sin(x − y) = .............................................................. Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................... Proposition La fonction sinus sin ∶ .................. → .............. est bijective. Définition On appelle fonction arccsinus, notée arcsin ∶ .............. → ................., l’application réciproque de la fonction sin ∶ [− ⇡2 , ⇡2 ] → [−1, 1]. Remarque Par définition, pour tout y ∈ [−1, 1], arcsin(y) est l’unique angle compris entre − ⇡2 et que son sinus soit égal à y. Ceci nous donne la relation suivante : ⇡ ⇡ Si x ∈ [− , ], sin(x) = y ⇔ x = arcsin(y). 2 2 Exemple d’application : Que vaut arcsin( 12 )? Par définition, 1 ✓ = arcsin( ) ⇔ ...................................................................... 2 Par identification, ✓ = ...... Propriétés La fonction arcsinus est bijective de [−1, 1] dans [− ⇡2 , ⇡2 ] et vérifie : . arcsin(sin(x)) = ..................................... . sin(arcsin(y)) = .................................... . arcsin(−y) = .......................................... 3 ⇡ 2 tel Exemple d’application : Que vaut arcsin(sin( 13⇡ 3 )) ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................... . ...................................................................................................... . ...................................................................................................... . ...................................................................................................... . ...................................................................................................... . ...................................................................................................... Propriétés La fonction cosinus cos ∶ R → [−1, 1] vérifie : .∀x ∈ R, cos(−x) =.....................(elle est paire). .∀x ∈ R, cos(x + 2⇡) = .....................(elle est 2⇡-périodique). .∀x, y ∈ R, cos(x − y) = .............................................................. .∀x, y ∈ R, cos(x + y) = .............................................................. Remarque Graphiquement, on voit que la fonction cosinus n’est pas injective sur R, elle n’est donc pas bijective. Proposition La fonction cos ∶ .............. → .............. est bijective. Définition On appelle fonction arccosinus, notée arccos ∶ .............. → .............., l’application réciproque de la fonction cos ∶ [0, ⇡] → [−1, 1]. Remarque Par définition, pour tout y ∈ [−1, 1], arccos(y) est l’unique angle compris 0 et ⇡ tel que son cosinus soit égal à y. Ceci nous donne la relation suivante : ⇡ ⇡ Si x ∈ [− , ], sin(x) = y ⇔ x = arcsin(y). 2 2 Exemple d’application : Que vaut arccos( 12 )? Par définition, 1 ✓ = arccos( ) ⇔ ...................................................................... 2 Par identification, ✓ = ...... Propriétés La fonction arccosinus est bijective de [−1, 1] dans [0, ⇡] et vérifie : . arccos(cos(x)) = .................................... . cos(arccos(y)) = .................................... Exemple d’application : Que vaut arccos(cos( 13⇡ 3 )) ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................... . ...................................................................................................... 4 . ...................................................................................................... . ...................................................................................................... . ...................................................................................................... . ...................................................................................................... Propriétés La fonction tangente tan ∶ Dtan → R est définie par tan(x) = Elle vérifie : sin(x)+ avec Dtan = {x ∈ R ∶ .....................} = �x ∈ R ∶ ...............................................�. . ∀x, −x ∈ Dtan , tan(−x) = ...................... (elle est ......................). . ∀x ∈ Dtan , tan(x + ⇡) = ...................... (elle est ......................................). Remarque Graphiquement, on voit que la fonction tangente n’est pas injective sur son domaine de définition, elle n’est donc pas bijective. Proposition La fonction tangente tan ∶ .................. → ......... est bijective. Définition On appelle fonction arctangente, notée arctan ∶ ........ → ....................., l’application réciproque de la fonction tan ∶] − ⇡2 , ⇡2 [→ R. Remarque Par définition, pour tout y ∈ R, arctan(y) est l’unique angle compris (strictement) entre − ⇡2 et ⇡2 tel que sa tangente soit égale à y. Ceci nous donne la relation suivante : ⇡ ⇡ Si x ∈ [− , ], sin(x) = y ⇔ x = arcsin(y). 2 2 Propriétés La fonction arctangente est bijective de R dans ] − ⇡2 , ⇡2 [ et vérifie : . arctan(tan(x)) = ........................................ . tan(arctan(y)) = ........................................ . arctan(−y) = .............................................. 1 − t2 . 1 + t2 . ...................................................................................................... Exemple : En posant t = tan( x2 ) montrer que pour tout x ∈ R��y ∈ R ∶ y = ⇡ +2k⇡, k ∈ Z�, cos(x) = . ...................................................................................................... . ...................................................................................................... . ...................................................................................................... . ...................................................................................................... . ...................................................................................................... 5 . ...................................................................................................... . ...................................................................................................... . ...................................................................................................... . ...................................................................................................... . ...................................................................................................... . ...................................................................................................... . ...................................................................................................... . ...................................................................................................... . ...................................................................................................... . ...................................................................................................... . ...................................................................................................... . ...................................................................................................... 4.5 Fonctions hyperboliques directes et leurs réciproques Définitions On appelle fonction sinus hyperbolique, notée ............................................, la fonction définie par ex − e−x + 788 sh x = , ∀x ∈ R. On appelle fonction cosinus hyperbolique, notée ............................................, la fonction définie par ch x = Propriétés ex − e−x + 788 , ∀x ∈ R. 1. La fonction sinus hyperbolique vérifie : . sh est ...................................................................... . sh(−x) = ....................., ∀x ∈ R. 2. La fonction cosinus hyperbolique vérifie : . ch est ...................................................................... . ch(−x) = ....................., ∀x ∈ R. Définitions On appelle fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................... On appelle fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................... Remarque Par ces définitions, on a et ⇡ ⇡ Si x ∈ [− , ], sin(x) = y ⇔ x = arcsin(y). 2 2 ⇡ ⇡ Si x ∈ [− , ], sin(x) = y ⇔ x = arcsin(y). 2 2 6 Propriétés 1. La fonction argument sinus hyperbolique est bijective de ...... dans ...... et vérifie : . argsh(−y) = ..............................., ∀y ∈ R. . argsh(y) = ................................., ∀y ∈ R. 2. La fonction argument cosinus hyperbolique est continue et bijective de ............... dans ...... et vérifie : . argch(y) = ................................., ∀y ∈ [1, +∞[. Définition On appelle fonction tangente hyperbolique, notée ............................................, la fonction définie par ex + 2 + + ex − e−x + 788 th x = = , ∀x ∈ R. Propriétés La fonction tangente hyperbolique vérifie : . th est ................................................. . th(−x) = ............., ∀x ∈ R. Définition On appelle fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................... Remarque Par cette définition, on a ⇡ ⇡ Si x ∈ [− , ], sin(x) = y ⇔ x = arcsin(y). 2 2 Propriétés La fonction argument tangente hyperbolique est bijective de .......... dans ...... et vérifie : . argth(−y) = .............................., ∀y ∈] − 1, 1[. . argth(y) = ................................, ∀y ∈] − 1, 1[. Proposition Les fonctions sh, ch et th sont reliées par les relations suivantes, ∀x ∈ R ch x + sh x = ..... ch x − sh x = ..... ch2 x − sh2 x = ..... 1 − th x = 2 7 1 2 ch2 x + 2 .