Chapitre 1 Maths II trous

4Fonctionsusuelles
4.1 Fonction polynomiale
Définition Soient n∈N,a0,a
1,...,a n−1∈Ret an∈R∗.Alorslafonction
P∶R→R
xn
�
k=0
akxk=...........................................................,
est appelée fonction polynôme de degré n.
Définition Soit P∶R→Run polynôme de degré n. . ................................................
.....................................................................................................
Exemple Le polynôme Pdéfini pour tout x∈Rpar P(x)=x2+x−2admet-il des racines ? .. . . . . . . . . .
.....................................................................................................
Proposition Soit P∶R→Run polynôme de degré n.Alors:
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
Remarque Lorsque n=2,siP(x)=ax2+bx +cadmet deux racines x1et x2alors une factorisation de
Pest P(x)=.......................................................
Exemple 1et −2sont racines du polynôme Pdéfini par P(x)=x2+x−2,ainsiP(x)se factorise par
............. et .............,unefactorisationestP(x)=......................................................
4.2 Fonctions logarithme et exponentielle
Définition On appelle logarithme népérien l’unique fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.....................................................................................................
Propriétés (Règles de calcul)
Pour tout a, b ∈R∗
+,n∈Zon a
ln(ab)=...........................................................
ln a
b=...........................................................
ln(an)=...........................................................
ln 1
a=...........................................................
ln 1
an=...........................................................
Théorème L’application logarithme .................................................................
1

Preuve. ..............................................................................................
.......................................................................................................
......................................................................................................
Définition La fonction exponentielle notée exp ∶R→]0,+∞[.........................................
.....................................................................................................
Remarque On utilisera la notation exp(x)=ex.Commeelleestlaréciproquedelafonctionlogarithme,
on en déduit que la fonction exponentielle est bijective et vérifie
..................................................................................................................
Propriétés (Règles de calcul)
Pour tout x, y ∈Ret pour tout n∈Z,
e0=......................,
ex+y=......................,
e−x=......................,
enx =......................,
e−nx =(ex)−n=.......................
Définition Soit a>0................................................................................
expa∶..... →...................
x...........................
4.3 Fonctions puissances et leurs réciproques
Définition Soit ↵∈R. ..............................................................................
.....................................................................................................
Proposition Soit ↵∈R.
L’application ∶]0,+∞[→ ]0,+∞[
x→ x↵est ...........................................................
.....................................................................................................
(resp. strictement décroissante si ↵<0)etadmetpourréciproquel’application∶............. → .............
x→ .........
Remarque Lorsque n∈Net n�2,laréciproquedel’applicationxxnest l’application . . . . . . . . . . . . . .
appelée racine n-ième. .............................................................................
.....................................................................................................
2

4.4 Fonctions trigonométriques et leurs réciproques
cos(x)=......................
sin(x)=......................
tan(x)=......................
✓0⇡
6
⇡
4
⇡
3
⇡
2
cos(✓)√3
2
√3
2
√2
2
1
2
√3
2
sin(✓)1
2
√2
2
√3
2
D’après le théorème de Pythagore dans le triangle OBM :..................................................................
Propriétés La fonction sinus sin ∶R→[−1,1]vérifie :
.∀x∈R,sin(−x)=.....................(elle est impaire).
.∀x∈R,sin(x+2⇡)=.....................(elle est 2⇡-périodique).
.∀x, y ∈R,sin(x+y)=.......................................................................
.∀x, y ∈R,sin(x−y)=..............................................................
Remarque .........................................................................................
.....................................................................................................
Proposition La fonction sinus sin ∶.................. →.............. est bijective.
Définition On appelle fonction arccsinus,notéearcsin ∶.............. →................., l’application réciproque
de la fonction sin ∶[−⇡
2,⇡ 2]→[−1,1].
Remarque Par définition, pour tout y∈[−1,1],arcsin(y)est l’unique angle compris entre −⇡
2et ⇡ 2tel
que son sinus soit égal à y.Cecinousdonnelarelationsuivante:
Si x∈[−⇡
2,⇡ 2],sin(x)=y⇔x=arcsin(y).
Exemple d’application : Que vaut arcsin(1
2)?
Par définition,
✓=arcsin(1
2)⇔......................................................................
Par identification, ✓=......
Propriétés La fonction arcsinus est bijective de [−1,1]dans [−⇡
2,⇡ 2]et vérifie :
.arcsin(sin(x))=.....................................
.sin(arcsin(y))=....................................
.arcsin(−y)=..........................................
3

Exemple d’application : Que vaut arcsin(sin(13⇡
3))? ................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
Propriétés La fonction cosinus cos ∶R→[−1,1]vérifie :
.∀x∈R,cos(−x)=.....................(elle est paire).
.∀x∈R,cos(x+2⇡)=.....................(elle est 2⇡-périodique).
.∀x, y ∈R,cos(x−y)=..............................................................
.∀x, y ∈R,cos(x+y)=..............................................................
Remarque Graphiquement, on voit que la fonction cosinus n’est pas injective sur R,ellen’estdoncpas
bijective.
Proposition La fonction cos ∶.............. →.............. est bijective.
Définition On appelle fonction arccosinus,notéearccos ∶.............. →.............., l’application réciproque
de la fonction cos ∶[0,⇡]→[−1,1].
Remarque Par définition, pour tout y∈[−1,1],arccos(y)est l’unique angle compris 0et ⇡tel que son
cosinus soit égal à y.Cecinousdonnelarelationsuivante:
Si x∈[−⇡
2,⇡ 2],sin(x)=y⇔x=arcsin(y).
Exemple d’application : Que vaut arccos(1
2)?
Par définition,
✓=arccos(1
2)⇔......................................................................
Par identification, ✓=......
Propriétés La fonction arccosinus est bijective de [−1,1]dans [0,⇡]et vérifie :
.arccos(cos(x))=....................................
.cos(arccos(y))=....................................
Exemple d’application : Que vaut arccos(cos(13⇡
3))? ...............................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
4

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.......................................................................................................
.......................................................................................................
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Propriétés La fonction tangente tan ∶Dtan →Rest définie par tan(x)=sin(x)+avec
Dtan ={x∈R∶.....................}=x∈R∶................................................
Elle vérifie :
.∀x, −x∈Dtan,tan(−x)=...................... (elle est ......................).
.∀x∈Dtan,tan(x+⇡)=...................... (elle est ......................................).
Remarque Graphiquement, on voit que la fonction tangente n’est pas injective sur son domaine de
définition, elle n’est donc pas bijective.
Proposition La fonction tangente tan ∶.................. →......... est bijective.
Définition On appelle fonction arctangente,notéearctan ∶........ →....................., l’application
réciproque de la fonction tan ∶]−⇡
2,⇡ 2[→R.
Remarque Par définition, pour tout y∈R,arctan(y)est l’unique angle compris (strictement) entre −⇡
2
et ⇡
2tel que sa tangente soit égale à y.Cecinousdonnelarelationsuivante:
Si x∈[−⇡
2,⇡ 2],sin(x)=y⇔x=arcsin(y).
Propriétés La fonction arctangente est bijective de Rdans ]−⇡
2,⇡ 2[et vérifie :
.arctan(tan(x))=........................................
.tan(arctan(y))=........................................
.arctan(−y)=..............................................
Exemple : En posant t=tan(x
2)montrer que pour tout x∈R�y∈R∶y=⇡+2k⇡,k ∈Z,cos(x)=1−t2
1+t2.
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5