Lois de probabilités discrètes 1 Loi équirépartie 2 Loi de

Chapitre 5d
Lois de probabilités discrètes
On s’intéresse ici aux lois de variables aléatoires prenant un nombre fini de valeurs.
1 Loi équirépartie
Soit X une variable aléatoire prenant nvaleurs x1,x2,...,xn.
On dit que X suit une loi équirépartie lorsque X prend ces nvaleurs avec la même probabilité 1
n.
P(X =x1)=P(X =x2)=...=P(X =xn)
2 Loi de BERNOULLI
Définition : loi de BERNOULLI
Une épreuve de BERNOULLI est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une appelée succès de pro-
babilité p, l’autre appelée échec de probabilité 1 −p.
La loi de probabilité ci-dessous est appelée loi de BERNOULLI de paramètre p.
issue succès (s) échec (e)
probabilité p1−p
Exemple :
On lance une fois une pièce équilibrée. On appelle succès l’événement « obtenir Pile ». On obtient la loi de BERNOULLI de
paramètre 1
2.
Exemple :
On lance une fois un dé équilibré à 6 faces. On appelle succès l’événement « obtenir la face 1 ». On obtient la loi de BER-
NOULLI de paramètre 1
6.
Remarques :
Soit X une variable aléatoire prenant pour valeur 0 ou 1 telle que
– P(X =1) =p;
– P(X =0) =1−p.
On dit que X est une variable de BERNOULLI de paramètre pou que X suit une loi de BERNOULLI (on le note «X suit B(p)»).
k1 0
P(x=k) p 1-p
Propriété :
La loi de BERNOULLI de paramètre pa pour :
– espérance mathématique E(X) =p(rappel : E(X) =Ppixi) ;
– variance V(X) =p(1 −p) (rappel : V(X) =Ppi(xi−x)2).
3 Loi binomiale
Définition : Shéma de BERNOULLI
Un shéma de BERNOULLI est la répétition d’épreuves de BERNOULLI identiques dans des conditions d’indépendance.
Exemple :
On lance ndés (n>1). On note A l’événement "obtenir au moins un 6 (sur l’ensemble des nlancers)".
1. Décrire l’événement A à l’aide d’une phrase.
2. Faire un arbre et calculer p(A) dans le cas où n=3.
3. Dans cette question, on suppose nquelconque. Exprimer p(A) en fonction de n.

4. Combien de dés faut-il lancer pour que la probabilité d’obtenir au moins un six soit supérieure à 3
4?
Définition : loi binomiale
Un shéma de BERNOULLI est constitué de népreuves indépendantes. X est la variable aléatoire qui, à chaque liste de n
résultats, associe le nombre de succès.
Alors pour tout entier k, avec 0 6k6n,
P(X =k)=Ãn
k!pk(1 −p)n−k.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi binomiale de paramètres n et p. Cette loi est notée B(n;p).
Démonstration :
Chaque liste formée de ksuccès et donc de n−kéchecs, a pour probabilité : pk(1 −p)n−k. Le nombre de telles listes est égal
au nombre de façons différentes de choisir la position des ksuccès parmi les nrésultats. Il y a ¡n
k¢telles listes.
Donc P(X =k)=¡n
k¢pk(1 −p)n−k.
Propriété :
La loi binomiale de paramètres net pa pour :
– espérance mathématique : E(X) =np ;
– variance : V(X) =np(1 −p) ;
– écart-type : σ(X) =pnp(1 −p).
Exercice :
Un élève répond au hasard aux 10 questions d’un Q.C.M. Pour chaque question, 5 réponses sont proposées dont une seule
est exacte. X est la variable aléatoire égale au nombre de bonnes réponses.
1. Montrer que la loi de probabilité de X est une loi binomiale.
2. Calculer la probabilité d’avoir au moins 5 bonnes réponses.
3. Calculer l’espérance mathématique du nombre de bonnes réponses.
Remarque :
Chaque question est une épreuve de BERNOULLI où le succès est « la réponse est exacte » ; alors p=
1
5. Le Q.C.M. est la
répétition de 10 épreuves identiques et indépendantes ; il correspond alors à un schéma de BERNOULLI.
Le nombre X de bonnes réponses au Q.C.M. est une variable aléatoire de loi binomiale de paramètres 10 et 1
5.