Inégalités, fonctions continues, limites

Université Jean Monnet Année 2007/2008
Licence de Mathématiques (3ème année)
Calcul différentiel
Inégalités, fonctions continues, limites
Exercice 1. Soient p, q ∈]1,+∞[tels que 1
p+1 q= 1.
1) Montrer que pour tout X, Y ∈R+, on a
XY 6Xp
p+Yq q.
Indication : on pourra établir et utiliser la convexité de x7→ −ln x.
2) Soit n∈N∗et soient a1, . . . , an, b1, . . . , bn∈R+tels que
n
X
i=1
ap
i=
n
X
i=1
bq
i= 1.
Montrer que Pn
i=1 aibi61.
3) Soit n∈N∗et x1, . . . , xn, y1, . . . , yn∈C. Montrer que
(∗)
n
X
i=1 |xiyi|6 n
X
i=1 |xi|p!1/p n
X
i=1 |yi|q!1/q
.
Cette inégalité est l’une des inégalités de Hölder. Il en existe une version pour les intégrales, ainsi
que pour les séries.
Exercice 2. Soient p, q ∈]1,+∞[tels que 1
p+1 q= 1.
1) En utilisant l’exercice précédent, montrer que pour tout n∈N∗et x1, . . . , xn, y1, . . . , yn∈C, on a
X
i=1 |xi|·|xi+yi|p−16 n
X
i=1 |xi|p!1/p n
X
i=1 |xi+yi|p!1/q
et
X
i=1 |yi|·|xi+yi|p−16 n
X
i=1 |yi|p!1/p n
X
i=1 |xi+yi|p!1/q
.
2) En déduire que pour tout n∈N∗et x1, . . . , xn, y1, . . . , yn∈C
(∗∗) n
X
i=1 |xi+yi|p!1/p
6 n
X
i=1 |xi|p!1/p
+ n
X
i=1 |yi|p!1/p
.
Cette inégalité est l’une des inégalités de Minkowski. Il en existe une version pour les intégrales,
ainsi que pour les séries.

Exercice 3.
1. Montrer que pour tout n∈Net pour tout x∈Ron a
sin x=x−x3
3! +··· + (−1)nx2n+1 (2n+ 1)! +Rn(x),avec |Rn(x)|6|x|2n+3 (2n+ 3)!
2. Montrer que pour tout n∈Net pour tout x∈Ron a
ex= 1 + x+x2
2! +··· +xn n!+En(x),avec |En(x)|6|x|n+1 (n+ 1)!e|x|.
Exercice 4.
1) Soit x > 0. Montrer qu’il existe θ=θ(x)∈]0,1[ tel que
sin x=x−x3
6cos xθ.
2) Montrer que pour 0< x 6π/2, le réel θ(x)est unique.
3) Déterminer un équivalent de θ(x)quand x→0+.
Exercice 5. Montrer que pour tout x∈[0, π/2] on a 2x
π6sin x6x.
Exercice 6. Soit (E, k · k)un R-espace vectoriel normé. Soit Uun ouvert de Eet f:U→Rune
fonction continue.
1) Rappeler le critère séquentiel de continuité
2) On suppose que E=R2muni de la norme euclidienne. Les fonctions suivantes sont-elles prolon-
geables par continuité en (0,0) ?
f1(x, y) := xy
x2+y2, f2(x, y) := sin(xy) x2+y2, f3(x, y) := x5y3 x6+y4,
f4(x, y) := 1 + x+y
x2−y2, f5(x, y) := xy2 x2+y2, f6(x, y) := xsin y−ysin x x2+y2
3) Même question avec E=R3et les fonctions suivantes :
g1(x, y, z) := xyz
x2+y2+z2m, g2(x, y, z) := sin(|x|+|y|+|z|)
√x2+y2+z2
Exercice 7. Soit
f(x, y) := ((x2+y2) sin 1
xy si xy 6= 0
0si xy = 0.
1) Quel est le domaine de continuité de f?
2) Même question avec la fonction
f(x, y) = sin(xy)
ysi y6= 0,et f(x, 0) = x.

Université Jean Monnet Année 2007/2008
Licence de Mathématiques (3ème année)
Calcul différentiel
Espaces normés, espaces de Banach
Exercice 8. On munit Rnde la norme x7→ kxk∞:= max16i6n|xi|. On considère l’espac E=Mn(R)
des matrices carrées d’ordre nà coefficients réels. On considère l’application k·k :E→R+définie par
kAk:= sup
kxk∞61kAxk∞.
1) Vérifier que kAkexiste pour tout A∈Eet que k·kdéfinit une norme sur E.
2) Montrer que pour tout, A, B ∈Eon a kABk6kAkkBk.
3) Soit k∈N+. Étudier la continuité de la fonction A7→ Akde Edans E. Indication : on pourra
commencer par établir que pour tout A, H ∈Eet pour m∈Non a
k(A+H)m−Amk6(kAk+kHk)m−(kAk)m.
4) Soit 16i, j 6n. Montrer que l’application A7→ ai,j est continue sur E(ici ai,j désigne le coefficient
de Aen ligne iet colonne j.)
5) En déduire que det : A7→ det Aest continue sur E.
6) En déduire que l’ensemble Udes matrices inversibles est un ouvert de E.
7) Montrer que l’ouvert Uest dense dans E.
Exercice 9. Soit E=C1([0,1]; R). On considère l’application
f∈E7→ N1(f) := |f(0)|+ sup
t∈[0,1] |f0(t)|.
L’application est-elle une norme sur E?
Exercice 10. 1) Rappeler la définition d’une norme.
2) Montrer que l’application k·k:E→R+est une norme sur Esi et seulement si
(i) kxk= 0 si et seulement si x= 0,
(ii) kλxk=|λ|kxkpour tout (λ, x)∈R×E
(iii) la partie {x∈E, kxk61}est une partie convexe de E.

Exercice 11. Soient E=C0([0,1]; R)et F=C1([0,1]; R). Pour tout f∈E, on définit
kfk∞:= sup
t∈[0,1] |f(t)|.
a) Montrer que k·k∞est une norme sur Eet sur F.
b) Montrer que (E, k·k∞)est complet, mais que (F, k·k∞)ne l’est pas.
Exercice 12. Soit E=C[X]. On définit les applications k·k∞et k·k1de Cdans R+de la façon
suivante : (P=Pn
i=0 aiXi∈C[X]7−→ kPk∞:= max06i6n|ai|,
P=Pn
i=0 aiXi∈C[X]7−→ kPk1:= Pn
i=0 |ai|.
a) Montrer que k·k∞et k·k1sont des normes sur E.
b) Montrer que (E, k·k∞)(resp. (E, k·k1)) n’est pas complet.
c) Montrer que k·k∞et k·k1ne sont pas équivalentes.
Exercice 13. Soit E=C0([0,1]; R). Soit g∈Efixée, non identiquement nulle. On définit
Φ : (E→R
f7→ R1
0f(t)g(t)dt.
On munit Ede la norme f7→ kfk∞:= supt∈[0,1] |f(t)|. Montrer que Φest une application linéaire
continue de (E, k·k∞)et calculer sa norme.
Exercice 14. Soient (E, k · kE)et (F, k · kF)deux espaces vectoriels normés. Soit u:E→Fune
application linéaire. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) l’application uest continue,
(ii) pour toute suite (xn)n∈Nd’éléments de E, convergente de limite 0, la suite u(xn)n∈Nest bornée
dans F.
Exercice 15. Soit E=Rn. On considère les normes usuelles x= (x1, . . . , xn)7→ kxk1:= Pn
i=1 |xi|,
x= (x1, . . . , xn)7→ kxk2:= (Pn
i=1 |xi|2)1/2et x= (x1, . . . , xn)7→ kxk∞:= max16i6n|xi|sur E. Montrer
que pour tout x∈Rn\ {0},
kxk∞6kxk16nkxk∞
kxk∞6kxk26(√n)kxk∞
1
√nkxk16kxk26kxk1.
Ces inégalités sont-elles optimales ?
Exercice 16. Soit E=C0([0,1]; R). Pour tout f∈E, on définit
kfk∞:= sup
t∈[0,1] |f(t)|et kfk1:= Z1
0|f(t)|dt.
Montrer que k·k∞et k·k1sont des normes sur Equi ne sont pas équivalentes.

Université Jean Monnet Année 2007/2008
Licence de Mathématiques (3ème année)
Calcul différentiel
Dérivées
Exercice 17. On considère la fonction f:R→Rdéfinie par la relation
f(t) := exp(−1/t2)si t6= 0 et f(0) = 0.
Montrer que fest de classe C∞sur R.
Exercice 18. On considère la fonction f:R→Rdéfinie par la relation
f(x) := e−1/x2sin e1/x2si x6= 0 et f(0) = 0.
1) Montrer que pour tout n∈N,fadmet un développement limité à l’ordre nen x= 0. Quel est ce
développement limité ?
2) Montrer que fest dérivable sur Ret donner sa dérivée.
3) Montrer que f0n’est bornée sur aucun voisinage de x= 0.
4) La fonction fest-elle deux fois dérivable ?
Exercice 19. Soit (E, k·kE)un espace de Banach. On pose F:= Lc(E, E)que l’on munit de la norme
usuelle k·kdéduite de la norme k·kE.
Soit u∈F. On pose u0:= IdEet pour n∈N∗, on pose un+1 := u◦un=un◦u.
1) Rappeler la définition de la norme k·ksur F.
2) Soit u∈F. Montrer que pour tout n∈N,kunk6kukn.
3) Soit u∈F. Montrer que la série
+∞
X
n=0
un
n!
converge dans F. On note exp usa valeur. On l’appelle exponentielle de l’endomorphisme E. On
peut montrer (mais on l’admet ici) que si uet vdans Fsont tels que u◦v=v◦u, alors exp(u+v) =
exp u◦exp v.
Dans la suite, on fixe u∈F, et on définit f:R→Fpar la relation
f(t) := exp(tu),(t∈R).
4) Montrer que fest continue sur R, dérivable sur R. Calculer f0(t)pour tout t∈R.
5) On considère maintenant une fonction ϕ:R→Fdérivable sur Rtelle que pour tout t∈Ron ait
ϕ0(t) = u◦(ϕ(t)).
Pour tout t∈R, on pose ξ(t) := exp(−tu)◦ϕ(t).
(a) Calculer ξ0(t)pour tout t∈R.