COMPLEXES

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COMPLEXES
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Table des mati`eres
1 Nombres complexes : 2
1.1 premi`eresnotions: ............................... 2
1.2 repr´esentation g´eom´etrique dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 conjugaison: .................................. 3
1.4 module:..................................... 4
1.5 complexes de module 1, notation exponentielle : . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 argument:.................................... 6
2 Techniques diverses 7
2.1 calcul de l’argument ( modulo 2π) d’un complexe : . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 puissances enti`eres d’un complexe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 une astuce pour factoriser acos(t) + bsin(t):................. 7
2.4 l’astuce de l’angle m´edian : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 lin´earisation de cosp(t) sinq(t): ........................ 8
2.6 d´eveloppement de cos(kt) ou de sin(kt)
sin(t)en un polynˆome en cos(t) : . . . . . 8
3 Exponentielle complexe 8
4 R´esolution de certaines ´equations dans C9
4.1 un r´esultat th´eorique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 ´equations du type ” zn=α”, racines nieme d’un complexe . . . . . . . . . 9
4.3 cas particulier des racines carr´ees d’un complexe α: ............ 9
4.4 ´equations de degr´e 2 `a coefficients complexes : . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5 Notions g´eom´etriques 11
5.1 rappel: ..................................... 11
5.2 propri´et´esaffines: ............................... 11
5.3 propri´et´es euclidiennes (distances, angles et orthogonalit´e) . . . . . . . . . 11
5.4 transformations du plan et de Cassoci´ees................... 12
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1 Nombres complexes :
1.1 premi`eres notions :
•d´efinition :
un nombre complexe zs’´ecrit de mani`ere unique z=a+ib o`u aet bsont des r´eels et i
n’est pas un r´eel ( on ne d´efinit pas i, on se servira uniquement de sa propri´et´e : i2=−1) .
•vocabulaire et notations :
- l’ ´ecriture de zsous la forme z=a+ib avec aet br´eels s’appelle forme alg´ebrique
de z.
- le r´eel aest la partie r´eelle de z(not´ee Re(z)), bsa partie imaginaire (not´ee Im(z)).
- on note Cl’ensemble des complexes.
- tout r´eel aest aussi un complexe puisqu’il peut s’´ecrire a+i×0. Autrement dit, on a
R⊂C.
- on appelle imaginaire pur tout complexe zpouvant s’´ecrire z=ib o`u best un r´eel.
On notera iRl’ensemble des imaginaires purs.
•caract´eriser un r´eel ou un imaginaire pur : soit zun complexe
z∈R⇔Im(z)=0
z∈iR⇔Re(z) = 0
•principe d’identification des parties r´eelles et imaginaires :
si a, b, c, d sont des r´eels tels que a+ib =c+id alors a=cet b=d
•r`egles de calcul : pour zet z0complexes quelconques
Re(z+z0) = Re(z) + Re(z0) et Im(z+z0) = Im(z) + Im(z0)
Cette r`egle est valable avec −`a la place de + et s’´etend `a des sommes finies. Pour le pro-
duit ou le quotient, on ne dispose pas de r`egle simple de ce genre, mais on a quand mˆeme
un r´esultat int´eressant :
∀x∈R, z ∈C,Re(xz) = xRe(z) et Im(xz) = xIm(z)
On peut r´esumer cette r`egle en disant que ” l’on peut sortir ou rentrer un r´eel en facteur
d’une partie r´eelle ou imaginaire”.
•pour r´esumer : le calcul sur les nombres complexes est formellement identique au
calcul sur les nombres r´eels, en tenant compte du fait que i2=−1.
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1.2 repr´esentation g´eom´etrique dans le plan
•plan complexe :
Le plan complexe est un plan euclidien ( c’est `a dire dans lequel on sait mesurer les
angles et les distances) , muni d’un rep`ere orthonorm´e.
•affixe d’un point :
`a tout point Mde coordonn´ees r´eelles (a, b) on associe son affixe complexe ( souvent
not´ee zM)a+ib.
•point image d’un complexe :
r´eciproquement, `a tout complexe z, on associe le point de coordonn´ees r´eelles
(Re(z),Im(z)), appel´e l’image de z.
•affixe d’un vecteur :
`a tout vecteur −→ ude coordonn´ees (α, β) dans la base (−→ e1,−→ e2) du plan complexe ( c’est `a
dire qu’on a −→ u=α−→ e1+β−→ e2), on associe son affixe complexe ( souvent not´ee zu)α+iβ.
•vecteur associ´e `a un complexe :
r´eciproquement, `a tout complexe z, on peut associer le vecteur de coordonn´ees r´eelles
(Re(z),Im(z)), appel´e vecteur associ´e `a z.
- ce qui est remarquable avec cette derni`ere notion est que l’addition des vecteurs corres-
pond `a l’addition de leurs affixes complexes, de mˆeme la multiplication des vecteurs par
un r´eel correspond `a la multiplication de leurs affixes par ce r´eel :
zu+v=zu+zv;zλu =λzu
1.3 conjugaison :
•d´efinition :
pour tout complexe z, on d´efinit son conjugu´e , not´e z, par :
z= Re(z)−iIm(z)
•remarque : ∀z∈C, z =z.
•caract´eriser les r´eels ou les imaginaires purs : soit zun complexe
z∈R⇔z=z;z∈iR⇔z=−z
•r`egles de calcul : soient z1, z2deux complexes, on a :
z1+z2=z1+z2;z1z2=z1z2;z1
z2=z1 z2
Ces propri´et´es s’´etendent `a des sommes finies et des produits finis.
∀z∈C, n ∈N, zn=zn
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•formules d’Euler : soit zun complexe,
Re(z) = 1
2(z+z) ; Im(z) = 1 2i(z−z)
•conjugu´e et g´eom´etrie : soient Met M0des points du plan complexe d’affixes res-
pectives zet z0. On a l’´equivalence :
z0=z⇔M et M’ sont sym´etriques par rapport `a l’axe des abscisses
1.4 module :
•d´efinition :
pour tout complexe z, le module de z, not´e |z|est d´efini par :
|z|=p(Re(z))2+ (Im(z))2
•r`egles de calcul : soient zet z0deux complexes, on a :
|zz0|=|z|| z0|et si z06= 0,|z
z0|=|z| |z0|
( cette propri´et´e s’´etend `a des produits finis).
∀n∈N,|zn|=|z|n;|z|=|z|;zz =|z|2
•module et g´eom´etrie : on note Ol’origine du plan complexe et M, M0deux points
du plan.
|zM|=OM ;|zM0−zM|=MM0
- ainsi, pour tout r´eel strictement positif ret tout point M0du plan, le cercle de centre
M0et de rayon rest l’ensemble des points Md’affixe zv´erifiant |z−z0|=r. Le disque
de centre M0et de rayon rest l’ensemble des points Md’affixe zv´erifiant |z−z0|6r.
•in´egalit´e entre Re(z),Im(z)et |z|:soit zun complexe.
Re(z)6|Re(z)|6|z|; Im(z)6|Im(z)|6|z|
•in´egalit´e triangulaire : soient zet z0deux complexes, alors on a :
|z+z0|6|z|+|z0|
de plus, il y a ´egalit´e entre ces deux termes ssi il existe un r´eel positif t, tel que z0=tz
ou z= 0.
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1.5 complexes de module 1, notation exponentielle :
•notation U:
l’ensemble des complexes de module 1 est not´e U. Il est repr´esent´e dans le plan complexe
par le cercle de centre Oet de rayon 1, appel´e cercle unit´e ou cercle trigonom´etrique.
- le cercle unit´e est param´etr´e par les fonctions cos et sin ( appel´ees pour cela fonctions
circulaires). Autrement dit, pour tout point Mdu cercle unit´e, il existe un r´eel ttel que
(cos(t),sin(t)) soient les coordonn´ees r´eelles de M.
•notation eit pour tr´eel :
pour tout complexe zde U, il existe un r´eel ttel que z= cos(t) + isin(t). On note eit ce
complexe. On a donc :
∀t∈R, eit = cos(t) + isin(t)
On a donc :
∀t∈R,(cos(t) = Re(eit)
sin(t) = Im(eit)
•r`egle fondamentale : la notation exponentielle est justifi´ee par la propri´et´e suivante :
∀t, t0∈R, ei(t+t0)=eiteit0
•formules d’Euler :
∀t∈R,cos(t) = 1
2(eit +e−it) ; sin(t) = 1 2i(eit −e−it)
ces formules sont des cas particuliers des formules d’Euler plus g´en´erales, vues avant.
•r`egles de calcul : soient tet t0deux r´eels, on a les formules suivantes :
eit =1
eit =e−it ;ei(t−t0)=eit eit0;∀n∈N, eint = (eit)n
•formule de Moivre : la derni`ere formule ci-dessus peut aussi s’´ecrire :
∀n∈N,∀t∈R,(cos(t) + isin(t))n= cos(nt) + isin(nt)
•cas d’´egalit´e : soient tet t0deux r´eels.
eit = 1 ⇔t= 0[2π] ; eit =eit0⇔t=t0[2π]
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