COMPLEXES

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COMPLEXES
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Table des matières
1 Nombres complexes :
1.1 premières notions : . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 représentation géométrique dans le plan . . . .
1.3 conjugaison : . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 module : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 complexes de module 1, notation exponentielle
1.6 argument : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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:
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2 Techniques diverses
2.1 calcul de l’argument ( modulo 2π) d’un complexe : . . .
2.2 puissances entières d’un complexe : . . . . . . . . . . . .
2.3 une astuce pour factoriser a cos(t) + b sin(t) : . . . . . . .
2.4 l’astuce de l’angle médian : . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 linéarisation de cosp (t) sinq (t) : . . . . . . . . . . . . . .
en un polynôme en
2.6 développement de cos(kt) ou de sin(kt)
sin(t)
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cos(t) :
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2
2
3
3
4
5
6
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7
7
7
7
7
8
8
3 Exponentielle complexe
8
4 Résolution de certaines équations dans C
4.1 un résultat théorique : . . . . . . . . . . . . . .
4.2 équations du type ” z n = α ”, racines nieme d’un
4.3 cas particulier des racines carrées d’un complexe
4.4 équations de degré 2 à coefficients complexes : .
5
. . . . . .
complexe
α: . . .
. . . . . .
Notions géométriques
5.1 rappel : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 propriétés affines : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 propriétés euclidiennes (distances, angles et orthogonalité)
5.4 transformations du plan et de C associées . . . . . . . . . .
1
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9
9
9
9
10
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11
11
11
11
12
1
1.1
Nombres complexes :
premières notions :
• définition :
un nombre complexe z s’écrit de manière unique z = a + ib où a et b sont des réels et i
.
n’est pas un réel ( on ne définit pas i, on se servira uniquement de sa propriété : i2 = −1)
• vocabulaire et notations :
- l’ écriture de z sous la forme z = a + ib avec a et b réels s’appelle forme algébrique
de z.
- le réel a est la partie réelle de z (notée Re(z)), b sa partie imaginaire (notée Im(z)).
- on note C l’ensemble des complexes.
- tout réel a est aussi un complexe puisqu’il peut s’écrire a + i × 0. Autrement dit, on a
R ⊂ C.
- on appelle imaginaire pur tout complexe z pouvant s’écrire z = ib où b est un réel.
On notera iR l’ensemble des imaginaires purs.
• caractériser un réel ou un imaginaire pur : soit z un complexe
z ∈ R ⇔ Im(z) = 0
z ∈ iR ⇔ Re(z) = 0
• principe d’identification des parties réelles et imaginaires :
si a, b, c, d sont des réels tels que a + ib = c + id alors a = c et b = d
• règles de calcul : pour z et z 0 complexes quelconques
Re(z + z 0 ) = Re(z) + Re(z 0 ) et Im(z + z 0 ) = Im(z) + Im(z 0 )
Cette règle est valable avec − à la place de + et s’étend à des sommes finies. Pour le produit ou le quotient, on ne dispose pas de règle simple de ce genre, mais on a quand même
un résultat intéressant :
∀x ∈ R, z ∈ C, Re(xz) = xRe(z) et Im(xz) = xIm(z)
On peut résumer cette règle en disant que ” l’on peut sortir ou rentrer un réel en facteur
d’une partie réelle ou imaginaire”.
• pour résumer : le calcul sur les nombres complexes est formellement identique au
calcul sur les nombres réels, en tenant compte du fait que i2 = −1.
2
1.2
représentation géométrique dans le plan
• plan complexe :
Le plan complexe est un plan euclidien ( c’est à dire dans lequel on sait mesurer les
angles et les distances) , muni d’un repère orthonormé.
• affixe d’un point :
à tout point M de coordonnées réelles (a, b) on associe son affixe complexe ( souvent
notée zM ) a + ib.
• point image d’un complexe :
réciproquement, à tout complexe z, on associe le point de coordonnées réelles
(Re(z), Im(z)), appelé l’image de z.
• affixe d’un vecteur :
−
−
−
à tout vecteur →
u de coordonnées (α, β) dans la base (→
e1 , →
e2 ) du plan complexe ( c’est à
→
−
→
−
→
−
dire qu’on a u = α e1 + β e2 ), on associe son affixe complexe ( souvent notée zu ) α + iβ.
• vecteur associé à un complexe :
réciproquement, à tout complexe z, on peut associer le vecteur de coordonnées réelles
(Re(z), Im(z)), appelé vecteur associé à z.
- ce qui est remarquable avec cette dernière notion est que l’addition des vecteurs correspond à l’addition de leurs affixes complexes, de même la multiplication des vecteurs par
un réel correspond à la multiplication de leurs affixes par ce réel :
zu+v = zu + zv
1.3
;
zλu = λzu
conjugaison :
• définition :
pour tout complexe z, on définit son conjugué , noté z, par :
z = Re(z) − iIm(z)
• remarque : ∀z ∈ C, z = z.
• caractériser les réels ou les imaginaires purs : soit z un complexe
z∈R⇔z=z
;
z ∈ iR ⇔ z = −z
• règles de calcul : soient z1 , z2 deux complexes, on a :
z1 + z2 = z1 + z2
;
z1 z2 = z1 z2
;
Ces propriétés s’étendent à des sommes finies et des produits finis.
∀z ∈ C, n ∈ N, z n = z n
3
z1
z2
=
z1
z2
• formules d’Euler : soit z un complexe,
1
Re(z) = (z + z)
;
2
Im(z) =
1
(z − z)
2i
• conjugué et géométrie : soient M et M 0 des points du plan complexe d’affixes respectives z et z 0 . On a l’équivalence :
z 0 = z ⇔ M et M’ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses
1.4
module :
• définition :
pour tout complexe z, le module de z, noté | z | est défini par :
p
| z |= (Re(z))2 + (Im(z))2
• règles de calcul : soient z et z 0 deux complexes, on a :
z
|z|
| zz 0 |=| z || z 0 | et si z 0 6= 0, | 0 |= 0
z
|z |
( cette propriété s’étend à des produits finis).
∀n ∈ N, | z n |=| z |n
| z |=| z |
;
;
zz =| z |2
• module et géométrie : on note O l’origine du plan complexe et M, M 0 deux points
du plan.
| zM |= OM
| zM 0 − zM |= M M 0
;
- ainsi, pour tout réel strictement positif r et tout point M0 du plan, le cercle de centre
M0 et de rayon r est l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant |z − z0 | = r. Le disque
de centre M0 et de rayon r est l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant |z − z0 | 6 r.
• inégalité entre Re(z), Im(z) et |z| : soit z un complexe.
Re(z) 6 |Re(z)| 6 |z|
;
Im(z) 6 |Im(z)| 6 |z|
• inégalité triangulaire : soient z et z 0 deux complexes, alors on a :
| z + z 0 |6| z | + | z 0 |
de plus, il y a égalité entre ces deux termes ssi il existe un réel positif t, tel que z 0 = tz
ou z = 0.
4
1.5
complexes de module 1, notation exponentielle :
• notation U :
l’ensemble des complexes de module 1 est noté U. Il est représenté dans le plan complexe
par le cercle de centre O et de rayon 1, appelé cercle unité ou cercle trigonométrique.
- le cercle unité est paramétré par les fonctions cos et sin ( appelées pour cela fonctions
circulaires). Autrement dit, pour tout point M du cercle unité, il existe un réel t tel que
(cos(t), sin(t)) soient les coordonnées réelles de M .
• notation eit pour t réel :
pour tout complexe z de U, il existe un réel t tel que z = cos(t) + i sin(t). On note eit ce
complexe. On a donc :
∀t ∈ R, eit = cos(t) + i sin(t)
On a donc :
(
cos(t) = Re(eit )
∀t ∈ R,
sin(t) = Im(eit )
• règle fondamentale : la notation exponentielle est justifiée par la propriété suivante :
0
∀t, t0 ∈ R, ei(t+t ) = eit eit
0
• formules d’Euler :
1
∀t ∈ R, cos(t) = (eit + e−it )
2
;
sin(t) =
1 it
(e − e−it )
2i
ces formules sont des cas particuliers des formules d’Euler plus générales, vues avant.
• règles de calcul : soient t et t0 deux réels, on a les formules suivantes :
1
eit
−it
i(t−t0 )
it
e = it = e
;
e
= it0
;
∀n ∈ N, eint = (eit )n
e
e
• formule de Moivre : la dernière formule ci-dessus peut aussi s’écrire :
∀n ∈ N, ∀t ∈ R, (cos(t) + i sin(t))n = cos(nt) + i sin(nt)
• cas d’égalité : soient t et t0 deux réels.
eit = 1 ⇔ t = 0[2π]
;
5
0
eit = eit ⇔ t = t0 [2π]
1.6
argument :
• forme exponentielle d’un complexe non nul :
tout complexe non nul z peut s’écrire sous la forme z = reit où r et t sont 2 réels avec
r > 0.
- dans cette forme exponentielle, r est unique : r = |z| et t est unique à un multiple de
2π près. Autrement dit, pour r, r0 , t, t0 réels avec r, r0 > 0, on a l’équivalence :
(
r = r0
0
reit = r0 eit ⇔
t = t0 [2π]
• définition : soit z un complexe non nul.
On appelle argument de z et on note arg(z), toute valeur réelle de t telle que z = |z|eit .
- un complexe non nul a donc une infinité d’arguments, tous égaux modulo 2π.
• caractériser les réels, les réels positifs ou les imaginaires purs :
on a les équivalences suivantes pour un complexe non nul z :
z ∈ R ⇔ arg(z) = 0[π]
z ∈ R+ ⇔ arg(z) = 0[2π]
;
z ∈ iR ⇔ arg(z) =
π
[π]
2
• cos et sin de l’argument d’un complexe non nul :
soit un complexe non nul z et θ un réel :
θ = arg(z)[2π] ⇔ z =| z | (cos(θ) + i sin(θ)) ⇔
(
cos(θ) =
sin(θ) =
Re(z)
|z|
Im(z)
|z|
• règles de calcul : soient z et z 0 deux complexes non nuls, on a les formules :
arg(z) = − arg(z)[2π]
z
arg(zz 0 ) = arg(z) + arg(z 0 )[2π]
;
arg 0 = arg(z) − arg(z 0 )[2π]
z
n
∀n ∈ N, arg(z ) = n × arg(z)[2π]
arg(−z) = arg(z) + π[2π]
;
• identification de modules et arguments :
soient z et z 0 deux complexes non nuls :
(
| z |=| z 0 |
z = z0 ⇔
arg(z) = arg(z 0 )[2π]
• sens géométrique :
pour tout complexe non nul z, représenté dans le plan par le point M , arg(z) est une
−−→
−
−
mesure de l’angle orienté (→
e1 ; OM ), où →
e1 est le premier vecteur de la base.
6
2
2.1
Techniques diverses
calcul de l’argument ( modulo 2π) d’un complexe :
• si z est sous forme algébrique, notons r =| z | et t un argument de z, alors on a
tan(t) = Im(z)/Re(z) ce qui donne t à un multiple de π près. On se sert ensuite du signe
de Re(z) ou de Im(z) pour connaitre arg(z) à un multiple de 2π près.
2.2
puissances entières d’un complexe :
• définitions :
pour z complexe, on définit les puissances entières positives de z ( les z n pour n entier
naturel), par récurrence sur n .
- pour z complexe non nul, on définit z −1 = 1/z, puis les puissances entières négatives de
z, par ∀n ∈ N, z −n = (z n )−1 .
• règles de calcul : on a les formules attendues :
∀z ∈ C? , ∀r, s ∈ Z : z r z s = z r+s
;
(z r )s = z rs
∀z, z 0 ∈ C? , ∀r ∈ Z, (zz 0 )r = z r z 0r
• mise en garde : pour x réel strictement positif, on peut définir les puissances réelles
de x par : xr = er ln(x) . Mais, on ne peut pas définir z r quand r est un réel non entier et z
un complexe non réel positif ! ( si l’on veut que les formules usuelles restent valables, bien
sûr)
- en particulier (eit )n = eint n’est valable que pour n entier relatif : comparer (ei2π )1/2 et
eiπ par exemple.
2.3
une astuce pour factoriser a cos(t) + b sin(t) :
• méthode : on introduit le complexe z = a+ib, que l’on met sous forme trigonométrique
z = reiφ et on remplace a par r cos(φ) et b par r sin(φ) pour obtenir :
a cos(t) + b sin(t) = r cos(t − φ)
• applications en physique et SI : on montre avec cette technique que la somme
de fonctions sinusoı̈dales de pulsation ω est une autre fonction sinusoı̈dale de pulsation ω.
2.4
l’astuce de l’angle médian :
• méthode : factorisation par eit/2 dans eit + 1 ou eit − 1.
0
0
0
- pour eit + eit ou eit − eit , on factorise par ei(t+t )/2 .
N.B : la traduction géométrique est que la diagonale d’un losange est aussi une bissectrice !
( faire un dessin)
• application : factoriser rapidement cos(p) + / − cos(q) et sin(p) + / − sin(q).
7
2.5
linéarisation de cosp (t) sinq (t) :
• objectif : écrire une telle fonction comme une somme de fonctions du type t →
Ak cos(kt) ou t → Bk sin(kt) avec k entiers et Ak , Bk réels.
• méthode : formules d’Euler, développement avec la formule du binôme ( + distribution éventuelle dans le cas d’un produit de cos et sin), passage à la partie réelle.
• intér^
et : calcul de dérivées nieme , de primitives ou de sommes.
2.6
développement de cos(kt) ou de
cos(t) :
sin(kt)
sin(t)
en un polynôme en
• méthode : formule de Moivre, on développe (cos(t) + i sin(t))k avec la formule du
binôme, on prend la partie réelle ou imaginaire.
• intér^
et : résolution d’équations particulières et polynômes de Tchébychev.
3
Exponentielle complexe
• définition :
on définit la fonction exp de C dans C par :
∀z ∈ C, exp(z) = eRe(z) eiIm(z)
• cohérence avec les exponentielles déjà définies : on vérifie que si z est réel,
alors exp(z) = ez et si z est imaginaire pur, i.e. de la forme it avec t réel, alors exp(it) = eit .
On notera alors aussi ez pour exp(z).
• module et argument :
∀z ∈ C, | ez |= eRe(z)
;
arg(ez ) = Im(z)[2π]
• règles de calcul :
soient z, z 0 deux complexes et n un entier naturel, on a :
ez = ez̄
;
0
ez+z = ez ez
0
;
8
0
ez−z =
ez
ez 0
;
(ez )n = enz
4
4.1
Résolution de certaines équations dans C
un résultat théorique :
• théorème de d’Alembert :
toute équation polynomiale de degré n ( n entier supérieur ou égal à 1) à coefficients
complexes admet exactement n solutions dans C comptées avec multiplicité ( cf cours sur
les polynômes). En particulier, elle admet au moins une solution et au plus n solutions
distinctes dans C.
4.2
équations du type ” z n = α ”, racines nieme d’un complexe
Soit n un entier naturel non nul.
• cas où α = 1 :
l’équation ” z n = 1 ” ( d’inconnue z) admet exactement n solutions dans C, qu’on appelle
racines nieme de l’unité. On note Un l’ensemble de ces solutions :
Un = {e
2ikπ
n
, k ∈ [0; n − 1]} = {ωnk , k ∈ [0; n − 1]} où ωn = e
2iπ
n
- les images des racines de l’unité sont les sommets d’un polygone régulier, inscrit dans le
cercle unité.
- les racines cubiques de l’unité sont 1, j, j où j = exp(2iπ/3).
- pour tout entier n > 2, la somme des racines nieme de l’unité est égale à 0.
• résultat général :
- soit n un entier supérieur ou égal à 1, soit α un complexe non nul. L’équation ” z n = α”
( d’inconnue complexe z) a exactement n solutions distinctes dans C.
- ces solutions, appelées les racines nieme de α, sont données par les formules :
t
| α |1/n ei( n +
2kπ
)
n
où t est un argument de α et k décrit n entiers consécutifs, par exemple k décrit [0; n−1].
- si l’on a une racine nieme de α ( notons la z0 ), les autres s’en déduisent en multipliant
z0 par les racines nieme de 1.
4.3
cas particulier des racines carrées d’un complexe α :
• méthode à partir d’une forme exponentielle de α :
on utilise le résultat ci-dessus : les 2 racines carrées de α sont :
argument de α.
+
−
p
| α |eit/2 , où t est un
- l’inconvénient de cette méthode est qu’un argument de α fait souvent intervenir la fonction arctan, ce qui donne des expressions peu pratiques.
9
• méthode à partir d’une forme algébrique de α :
on cherche a et b, des réels tels que (a + ib)2 = A + iB où A = Re(α) et B = Im(α).
On raisonne par déduction. Si a + ib est une racine carrée de A + iB alors : à partir de
(a + ib)2 = A + iB, on égalise les parties réelles et les modules ce qui donne a et
b au signe près, donc 4 complexes a + ib possibles. Le signe des parties imaginaires
permet d’éliminer 2 de ces 4 complexes. Or, on sait qu’un complexe non nul a deux racines
carrées distinctes...
4.4
équations de degré 2 à coefficients complexes :
• formules : soient trois complexes a, b, c tels que a 6= 0. On considère l’équation, en
l’inconnue complexe z :
az 2 + bz + c = 0 (E)
soit ∆ = b2 − 4ac ( discriminant de (E) ) et δ une des deux racines carrées de ∆.
—> Si ∆ = 0, (E) admet une solution ( dite double) :
z0 = −
b
2a
et, on a la factorisation suivante :
az 2 + bz + c = a(z − z0 )2
—> Si ∆ 6= 0, (E) admet deux solutions distinctes :
z1 =
−b + δ
2a
;
z2 =
−b − δ
2a
et, on a la factorisation suivante :
az 2 + bz + c = a(z − z1 )(z − z2 )
- en pratique, l’usage de ce résultat requiert l’obtention d’une racine carrée de ∆, ce qui
nous renvoie au paragraphe précédent.
• somme et produit des racines :
la somme et le produit des racines ( égales dans le cas d’une solution double) de l’équation
az 2 + bz + c = 0 sont respectivement − ab et ac .
• trouver 2 complexes quand on connait leur somme et leur produit :
soient s et p deux complexes.
Soit (E) l’équation en z : z 2 − sz + p = 0 et (S) le système ( z1 + z2 = s et z1 z2 = p ).
On a l’équivalence : (z1 , z2 ) solution de (S) ⇔ z1 et z2 sont les deux solutions de (E)
10
5
Notions géométriques
−
→
On notera P le plan complexe. Pour tout vecteur →
u , on notera z−
u son affixe complexe et
pour tout point M de P, on notera zM son affixe complexe.
5.1
rappel :
• le calcul vectoriel correspond au calcul sur les complexes ( en se limitant à la somme et
au produit par des réels), via les formules ci-dessous :
zu+v = zu + zv
5.2
;
zλu = λzu
propriétés affines :
• condition de colinéarité de 2 vecteurs :
→
z−
v
→
−
−
→
∈R
u et →
v sont colinéaires ⇔ z−
u = 0 ou
→
z−
u
- on en déduit sans peine une condition d’alignement de 3 points avec leurs affixes.
• affixe du milieu et du centre de gravité :
z +z
- si I est le milieu des points P et Q, alors zI = P 2 Q .
- si G est le centre de gravité des points P, Q et R, alors zG =
5.3
zP +zQ +zR
.
3
propriétés euclidiennes (distances, angles et orthogonalité)
• norme d’un vecteur et distance entre 2 points :
−
→
k→
u k =| z−
u |; AB =| zB − zA |
• angle entre 2 vecteurs, angle dans un triangle :
→
z−
−
−
(→
u ,→
v ) = arg( v )[2π]
→
z−
u
- la formule donnant un angle orienté dans un triangle, en fonction des affixes des points,
s’en déduit aisément.
• condition d’orthogonalité de 2 vecteurs :
→
z−
→
−
−
→
u ⊥→
v ⇔ v ∈ iR ou z−
u = 0
→
z−
u
11
5.4
transformations du plan et de C associées
A toute application f de P dans P, on peut faire correspondre une application φ de
C dans C : à tout complexe z, on associe φ(z), qui est l’affixe de f (M ) où M est d’affixe
z. ( φ est en quelque sorte l’application f au niveau des affixes )
• translation :
−
−
soit →
u un vecteur du plan. On appelle translation dans P de vecteur →
u l’application,
−
−
−
→
→
−
0
0
→
notée t−
u , qui à tout point M de P associe le point M tel que M M = u .
A cette translation, correspond l’application de C dans C, qu’on appellera translation
dans C :
→
z → z + z−
u
- une translation de vecteur non nul n’a pas de point fixe.
Dans ce qui suit, Ω est un point quelconque du plan. On notera ω son affixe complexe.
• rotation de centre Ω :
soit θ un réel. On appelle rotation de centre Ω et d’angle θ dans P l’application de
P dans P, qui à tout point M de P associe le point M 0 vérifiant :
−−→ −−→
ΩM = ΩM 0 et (ΩM , ΩM 0 ) = θ[2π]
A la rotation de P, de centre Ω et d’angle θ, correspond la rotation dans C donnée par
l’expression suivante :
z → eiθ (z − ω) + ω
• homothétie de centre Ω :
soit λ un réel non nul. On appelle homothétie de centre Ω et de rapport λ l’application de P dans P qui, à tout point M de P, associe le point M 0 tel que :
−−→0
−−→
ΩM = λΩM
A l’homothétie de P de centre Ω et de rapport λ, correspond l’application de C dans C,
, qu’on appellera homothétie de C, donnée par l’expression suivante :
z → λ(z − ω) + ω
• symétrie par rapport à Ox :
à la symétrie par rapport à Ox correspond la symétrie de C par rapport à l’axe des réels :
z→z
12