eu - convergence uniforme

EU - CONVERGENCE UNIFORME
Dans ce texte on étudie la limite de suites de fonctions. La convergence uniforme est introduite pour
que, connaissant des propriétés des fonctions de la suite, par exemple la continuité, on puisse en déduire
la même propriété pour la limite.Toutes les fonctions envisagées seront à valeurs réelles ou complexes
et définies sur un ensemble Anon vide. Pour certains résultats, l’ensemble Asera un intervalle de R.
1. Les fonctions bornées
Rappelons qu’une fonction fà valeurs réelles ou complexes définie sur Aest bornée s’il existe un
nombre Mtel que, pour tout xde A
|f(x)| ≤ M .
Dans ce cas |f|admet une borne supérieure, et l’on notera
||f||∞= sup
x∈A|f(x)|.
On appelle cette expression la norme infinie de f.
Lorsque fn’est pas bornée, on pourra poser
||f||∞= +∞.
On a alors les propriétés suivantes :
1) ||f||∞= 0 si et seulement si f= 0
2) Quels que soient le scalaire λnon nul, et la fonction f
||λf ||∞=|λ|||f||∞
3) Inégalité triangulaire : Quelles que soient les fonctions fet gdéfinies sur A,
||f+g||∞≤ ||f||∞+||g||∞.
4) Quelles que soient les fonctions fet gdéfinies sur A, pour lesquelles le produit ||f||∞||g||∞
ait un sens,
||f g ||∞≤ ||f||∞||g||∞.

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Les deux premières propriétés résultent des définitions. Pour la troisième, on remarque qu’elle
est évidente si fou gn’est pas bornée car le membre de droite est infini. Si fet gsont bornées,
on a, pour tout xde A,
|f(x)| ≤ ||f||∞et |g(x)| ≤ ||g||∞,
et donc
|f(x) + g(x)| ≤ |f(x)|+|g(x)| ≤ ||f||∞+||g||∞.
Alors ||f||∞+||g||∞majore |f+g|. Elle majore aussi la borne supérieure et donc
||f+g||∞≤ ||f||∞+||g||∞.
Pour la quatrième, sauf si ||f||∞= 0 et ||g||∞= +∞(ou l’inverse), on a
|f(x)g(x)|=|f(x)||g(x)| ≤ ||f||∞||g||∞.
Alors ||f||∞||g||∞majore |f g|. Elle majore aussi la borne supérieure et donc
||f g ||∞≤ ||f||∞||g||∞.
2. La convergence simple
Soit (fn)n≥0une suite de fonctions à valeurs réelles ou complexes, définies sur le même ensemble A, et
soit fune fonction définie sur A. On dit que la suite (fn)n≥0converge simplement vers f, ou que f
est limite simple de la suite (fn)n≥0, si pour tout xdans A, la suite (fn(x))n≥0converge vers f(x).
On peut formuler cette propriété avec des quantificateurs :
(∀x∈A)(∀ε > 0)(∃N∈N)(∀n∈N)((n≥N)⇒(|fn(x)−f(x)|< ε)) .
Nous remarquerons que dans cette formulation, le nombre Ndépend à la fois de εet de x.
Pour cette convergence, on regarde donc point par point les suites numériques (fn(x))n≥0, et les théo-
rèmes obtenus pour ces suites subsistent donc, (limite de sommes, produits, quotients etc. . . )
Le point de vue qui nous intéresse est celui de la conservation des propriétés par passage à la limite.
La conservation des inégalités nous permet d’obtenir facilement les deux résultats suivants.
Si les fonctions fnsont positives, alors la limite est positive.
Si les fonctions fnsont croissantes (resp. décroissantes), la limite est croissante (resp. décrois-
sante).

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En effet, si l’on a pour tout xdans A, et pour tout entier n, l’inégalité fn(x)≥0, on en déduit
que f(x)≥0, et si l’on a quels que soient xet ydans Atels que x≤y, et pour tout entier n,
l’inégalité fn(x)≤fn(y)(resp. fn(x)≥fn(y)) on obtient f(x)≤f(y), (resp.f(x)≥f(y)). 
Par contre nous allons voir sur un exemple, que la propriété ne se conserve pas, si cette propriété est
le fait d’être bornée, d’être continue, ou d’être Riemann-intégrable.
Soit fndéfinie sur [ 0,1 ] par
fn(x) = 
n2xsi 0≤x≤1/n
1
xsi 1/n < x ≤1
.
Si x= 0, on a pour tout n,fn(x) = 0 et la suite converge vers 0.
Si 0< x ≤1, soit n0>1/x. Alors, si n≥n0, on a x > 1/n et
fn(x) = 1
x.
La suite (fn(x)) est stationnaire et converge vers 1/x. La suite (fn)admet donc comme limite simple
la fonction fdéfinie par
f(x) = 
0si x= 0
1
xsi 0< x ≤1
.
✲
✻
1
1
n
n

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Les fonctions fnsont continues, donc Riemann-intégrables et bornées sur [ 0,1 ] . Aucune de ces pro-
priétés n’a lieu pour la fonction f, et l’intégrale
1
Z
0
f(x)dx n’est même pas convergente.
3. Définition de la convergence uniforme
Nous allons donner pour commence une définition quantifiée de la convergence uniforme, puis ensuite
quelques définitions équivalentes.
Soit (fn)n≥0une suite de fonctions à valeurs réelles ou complexes, définies sur le même ensemble A,
et soit fune fonction définie sur A. On dit que la suite (fn)n≥0converge uniformément vers f, ou
que fest limite uniforme de la suite (fn)n≥0, si l’on a la propriété suivante :
(∀ε > 0)(∃N∈N)(∀n∈N)(∀x∈A)((n≥N)⇒(|fn(x)−f(x)|< ε)) ,
La différence avec la définition de la convergence simple vient de la place du (∀x∈A)dans la formule
quantifiée. Dans le cas de la convergence uniforme le nombre Nne dépend plus que de ε. Il doit être
le même pour tout xde A. Cette définition est beaucoup plus forte que celle de la convergence simple.
Si Aest un intervalle de Ret si l’on trace les courbes représentatives des fonctions f+εet f−ε, dire
que la suite (fn)converge uniformément vers frevient à dire qu’à partir d’un certain rang la courbe
de fnest comprise entre les deux autres.
✲
✻
f−ε
f+εf
fn
a b

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On retiendra que
Si (fn)n≥0converge uniformément vers falors (fn)n≥0converge simplement vers f.
On va reformuler la définition de la convergence uniforme d’une manière plus condensée, en utilisant
la norme infinie.
La fonction fest limite uniforme de la suite (fn)n≥0si et seulement la suite numérique
(||fn−f||∞)n≥0converge vers 0.
Si la suite (fn)converge uniformément vers f, quel que soit ε > 0, il existe N, tel que n≥Net
x∈Aimpliquent
|fn(x)−f(x)|<ε
2.
Alors fn−fest bornée et
||fn−f||∞≤ε
2< ε .
Donc la suite (||fn−f||∞)converge vers 0.
Réciproquement, si la suite (||fn−f||∞)converge vers 0, pour tout ε > 0, il existe N, tel que
n≥Nimplique
||fn−f||∞< ε .
On en déduit, pour tout xde A,
|fn(x)−f(x)|< ε ,
et donc (fn)converge uniformément vers f.
Remarques : 1) les premiers termes de la suite (||fn−f||∞)peuvent éventuellement être infinis.
2) dire que (fn)converge uniformément vers féquivaut à dire que (fn−f)converge uniformément
vers la suite constante nulle, on dit dans ce cas que (fn−f)converge uniformément vers 0.
En pratique, pour étudier si une suite (fn)converge uniformément, on commencera par déterminer sa
limite simple f, par un calcul de limite. Si l’on peut, par l’étude des variations de la fonction fn−f
par exemple, déterminer la borne supérieure de |fn−f|, il restera à voir si la suite (||fn−f||∞)de ces
bornes supérieures converge vers 0.
Remarque : si fn−fest continue et si Aet un intervalle fermé, il existe xndans Atel que
||fn−f||∞=|fn(xn)−f(xn)|.