LM261 Feuille de TD 2

LM261 Feuille de TD 2
Exercice 1[Continuité uniforme]
(1) Démontrer que la fonction f(x) = x−1est uniformément continue sur [0,0001,1]. Est-ce qu’elle est
uniformément continue sur ]0,1] ?
(2)Soit fune fonction définie sur l’intervalle I. Démontrer que fn’est pas uniformément continue sur Isi
et seulement si : il existe deux suites réelles (xn)n∈N,(yn)n∈Navec xn, yn∈Iet un constant positif ε0tels
que limn→+∞|xn−yn|= 0,|f(xn)−f(yn)|>ε0.
(3)Démontrer que f(x) = x2n’est pas uniformément continue sur R
(4)Démontrer que si fest une fonction dérivable sur un intervalle ouvert Iet que supx∈I|f0(x)|<+∞,
alors fest uniformément continue sur I.
(5)Étudier la fonction f(x) = arctan(x)sur R.
Exercice 2 Étudier (d’après l’intuition) la convergence simple et uniforme des suites de fonctions sui-
vantes :
(1)fn(x) = xnsur les intervalles : [0,1],[0,1[ et [0,0,999999].
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
(2)fn(x) = xn(1 −x)sur [0,1].
(3)fn(x) = nx
1+n|x|sur R,[−10000,−0,0001],]0,+∞[et ]0,1].
(4)fn(x) = 
x2sin 1
nx, x 6= 0,
0, x = 0.
sur R

UPMC LM261 Compléments d’Analyse 2013-2014
TD 2
Exercice 3 Soit fnune suite de fonctions réelles.
(1)Démontrer que (fn)n∈Nne converge pas uniformément vers une fonction fsur un intervalle Isi et
seulement si : il existe une suite réelle (xn)n∈Navec xn∈Iet un constant positif ε0tels que |fn(xn)−
f(xn)|>ε0.
(2)Analyser les exemples d’Exercice 1 théoriquement.
Exercice 4[Convergence uniforme vers une fonction non-uniformément continue]
Démontrer qua la suite fn(x) = n+x2
nx converge uniformément sur ]0,1[.
Exercice 5[Un peu de théorie]
(1)Soit fnune suite de fonctions réelles qui converge uniformément sur [a, b]. Démontrer que |fn|converge
aussi uniformément sur [a, b].
(2)Donner un exemple qui montre que l’inverse de (1) n’est pas vraie.
(3)Soit fnune suite de fonctions réelles qui converge uniformément sur ]a, b[, et si fnsont continue sur [a, b].
Démontrer que limn→+∞fn(a)et limn→+∞fn(b)existent. Puis démontrer que fnconverge uniformément
sur [a, b].
Exercice 5∗[Relation entre convergence simple et convergence uniforme, Théorème de Dini]
Soit fune fonction continue définie sur [a, b]. Soit fnune suite de fonctions continues définies sur [a, b].
Si ∀x∈[a, b],∀n∈N∗,fn(x)6fn+1(x)et limn→+∞fn(x) = f(x). Alors fnconverge uniformément vers f
sur [a, b].
Application : Question (1)(avec [0,0,999999]),(2) d’Exercice 1.
“Contre-exemple” Question (1) d’Exercice 1 avec [0,1].