Vecteurs – Translation et rotation - Hachette

Vecteurs – Translation et rotation
M.C. ESCHER
1898-1972
v Quels outils géométriques
M.C. Escher a-t-il utilisés dans
ses œuvres ?
Les gravures et dessins de M.C. Escher expriment diverses symétries, translations ou
rotations.
vComment caractérise-t-on les symétries, les translations et les rotations ?
• Établir une relation entre les vecteurs et la translation.
• Construire un représentant du vecteur somme à l’aide d’un parallélogramme.
• Construire et caractériser la composée de deux symétries centrales de centres différents.
• Construire les images de figures par une rotation donnée.
Objectifs
CHAPITRE 10
•

Des outils pour démarrer
102 MATHÉMATIQUES - 3eDÉCOUVERTE PROFESSIONNELLE
Symétrie orthogonale
vL’image d’un point Mpar la symétrie
orthogonale d’axe dest le point M©tel que d
est la médiatrice du segment [MM©] si M
n’est pas sur d.
vUne droite dest axe de symétrie d’une
figure si les deux parties de la figure se super-
posent par pliage le long de cette droite.
Symétrie centrale
vL’image d’un point Mpar la symétrie cen-
trale de centre O(M≠O) est le point M©tel
que le point Oest le milieu de [MM©].
vUn point Oest centre de symétrie d’une
figure s’il est le milieu du segment reliant
deux points correspondants de la figure.
vLa symétrie orthogonale et la symétrie
centrale conservent les longueurs, l’aligne-
ment, les angles et les aires.
Parallélogramme
vUn parallélogramme est un quadrilatère
dont les côtés opposés sont parallèles.
vUn parallélogramme a un centre de symé-
trie qui est le point d’intersection des diago-
nales.
vDans un parallélogramme :
• les diagonales se coupent en leur milieu ;
• les côtés opposés ont la même longueur ;
• les angles opposés sont égaux.
3.
2.
1.
Un demi-tour
Deux figures sont symétriques par rapport
au point
O si, en faisant tourner une figure
d’un demi-tour autour du point
O , on
obtient le symétrique de la figure.
M
N
N©
M©
O
Les deux figures se superposent par pliage
le long de la droite
d .
M©
N
M
N©
d
O est centre de symétrie.
M
M©
O
d est axe de symétrie.
A
BC
d
Le centre I du parallélogramme
est centre de symétrie.
AB
CD
I

RÉPONSES
1
A B C
Si MA = MB alors : M est le milieu
de [AB]
le triangle AMB
est isocèle
M est sur la
médiatrice de [AB]
2
Le symétrique d’un segment [AB]
par rapport à une droite d
est un segment :
parallèle à [AB]de même
longueur que [AB]
perpendiculaire
à la droite d
3
Dans quel(s) cas le triangle
vert et le triangle bleu sont-ils
symétriques par rapport
au point I ?
4
Dans quel(s) cas le drapeau
vert et le drapeau bleu sont-ils
symétriques par rapport
à la droite rouge ?
5
Le mot a un axe
de symétrie
a deux axes
de symétrie
a un centre
de symétrie
10
Les figures ayant un centre
de symétrie sont :
le parallélogramme le carré le triangle équilatéral
III
Effectuer un demi-tour,
c’est tourner de : 90° 180°
45°
6
7
Effectuer un quart de tour,
c’est tourner de : 90° 180°
40°
Si ABCD est un parallélogramme,
alors : AD = BC (DA) // (BC)
AC = BD
8
Les diagonales d’un
paralléllogramme :
sont perpendiculaires ont même longueur
se coupent
en leur milieu
9
Un triangle équilatéral :
est inscrit dans un
cercle dont le centre
est le point
d’intersection
de ses médiatrices
a un centre
de symétrie
a trois angles
qui mesurent 60°
11
VECTEURS – TRANSLATION ET ROTATION 103
Un Q.C.M. pour faire le point
Pour chaque ligne, indiquer la (ou les) bonne(s) réponse(s).

De la translation au vecteur
a. Reproduire le dessin représentant un téléphérique sur une feuille de papier quadrillé.
b. Construire l’image B©C©D©E©de la cabine BCDE du téléphérique après un glissement appelé
«translation » qui amène Aen A©.
c. Tracer en vert les « segments fléchés » de Bà B©, de Cà C©, de Dà D©C et de Eà E©C.
d. Ces segments fléchés ont-ils même longueur ? Sont-ils parallèles ? Ont-ils le même sens ?
e. Quelle est la nature des quadrilatères AA©B©B, AA©C©CC, AA©D©CDet AA©E©CE?
Composition de deux translations :
somme de deux vecteurs
a. Reproduire la figure Ösur une feuille de papier quadrillé.
C
B
A
Ö
Activité 2
E
DC
B
A
A
©
Activité 1
Des activités pour découvrir
104 MATHÉMATIQUES - 3eDÉCOUVERTE PROFESSIONNELLE

b. Construire l’image Ö© de la figure Öpar la translation de vecteur ⁄ ABùpuis l’image Ö¢ de Ö©
par la translation de vecteur
⁄ BCù.
c. Quelle translation transforme directement la figure Öen la figure Ö¢ ?
d. Construire l’image Ddu point Apar la translation de vecteur
⁄ BCù.
e. Quelle est l’image de Dpar la translation de vecteur ⁄ ABù?
f. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
Composition de deux symétries centrales
a. Reproduire la figure Öet les points Iet Jsur une feuille de papier quadrillé.
b. À l'aide du quadrillage, dessiner :
•l’image A©du point Aet l’image Ö© de la figure Öpar la symétrie de centre I;
•l’image A¢du point A©et l’image Ö¢ de la figure Ö© par la symétrie de centre J.
c. Par quelle transformation passe-t-on directement de la figure Öà la figure Ö¢ ?
d. Mesurer et comparer les longueurs des segments [AA¢] et [IJ].
e. Tracer les vecteurs
⁄ AA¢ùet ⁄ IJù. Ces vecteurs ont-ils même direction et même sens ?
f. Compléter l'égalité suivante : ⁄ AA¢ù= … ⁄ IJù.
Rotation
Pour chacun des pavés, décalquer un motif de base et décrire un procédé permettant de le réali-
ser. On ne tient pas compte des couleurs des motifs.
Activité 4
Ö
A
J
I
Activité 3
VECTEURS – TRANSLATION ET ROTATION 105