Probabilités 2015-2016 Classes Préparatoires en Sciences et Techniques d’Oran KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités
Classes Préparatoires en Sciences et Techniques d’Oran
2015-2016
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Chapitre II :
Introduction au calcul de
probabilités
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
1
Définitions :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
1
Définitions :
Experience aléatoire :
On appelle "experience aléatoire" ou "épreuve", toute
experience dont le résultat est régi par le hasard.
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
1
Définitions :
Experience aléatoire :
On appelle "experience aléatoire" ou "épreuve", toute
experience dont le résultat est régi par le hasard.
Exemple :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
1
Définitions :
Experience aléatoire :
On appelle "experience aléatoire" ou "épreuve", toute
experience dont le résultat est régi par le hasard.
Exemple :
Le jet d’une pièce de monnaie.
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
1
Définitions :
Experience aléatoire :
On appelle "experience aléatoire" ou "épreuve", toute
experience dont le résultat est régi par le hasard.
Exemple :
Le jet d’une pièce de monnaie.
Le jet d’un dé.
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
Espace des événements :
L’espace des événements est l’ensemble qui contient
tous les résultats possibles de l’experience aléatoire. Il
est noté Ω .
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
Espace des événements :
L’espace des événements est l’ensemble qui contient
tous les résultats possibles de l’experience aléatoire. Il
est noté Ω .
Exemple :
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
Espace des événements :
L’espace des événements est l’ensemble qui contient
tous les résultats possibles de l’experience aléatoire. Il
est noté Ω .
Exemple :
Le jet d’une pièce de monnaie : Ω = {
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Probabilités et statistique
.
Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
Espace des événements :
L’espace des événements est l’ensemble qui contient
tous les résultats possibles de l’experience aléatoire. Il
est noté Ω .
Exemple :
Le jet d’une pièce de monnaie : Ω = { Pile, Face }.
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
Espace des événements :
L’espace des événements est l’ensemble qui contient
tous les résultats possibles de l’experience aléatoire. Il
est noté Ω .
Exemple :
Le jet d’une pièce de monnaie : Ω = { Pile, Face }.
Le jet d’un dé : Ω = {
KARA-ZAÏTRI L.
.
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
Espace des événements :
L’espace des événements est l’ensemble qui contient
tous les résultats possibles de l’experience aléatoire. Il
est noté Ω .
Exemple :
Le jet d’une pièce de monnaie : Ω = { Pile, Face }.
Le jet d’un dé : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
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Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
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Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
Événements :
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Introduction
Introduction
Événements :
On appelle "événement élémentaire", tout sous ensemble
de Ω qui ne contient qu’un seul élément.
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Introduction
Introduction
Événements :
On appelle "événement élémentaire", tout sous ensemble
de Ω qui ne contient qu’un seul élément.
On appelle "événement composé", tout sous ensemble de
Ω qui contient plusieurs éléments.
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Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
Événements :
On appelle "événement élémentaire", tout sous ensemble
de Ω qui ne contient qu’un seul élément.
On appelle "événement composé", tout sous ensemble de
Ω qui contient plusieurs éléments.
On appelle "événement certain" l’ensemble qui contient
tous les événements possibles : Ω.
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Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
Événements :
On appelle "événement élémentaire", tout sous ensemble
de Ω qui ne contient qu’un seul élément.
On appelle "événement composé", tout sous ensemble de
Ω qui contient plusieurs éléments.
On appelle "événement certain" l’ensemble qui contient
tous les événements possibles : Ω.
On appelle "événement impossible" l’ensemble qui ne
contient aucun événement possible. Il est noté ∅.
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
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Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
Exemple : Lorsqu’on jette un dé :
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Introduction
Introduction
Exemple : Lorsqu’on jette un dé :
L’événement "avoir le chiffre 3" est un événement
élémentaire. On note A = {3} .
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Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
Exemple : Lorsqu’on jette un dé :
L’événement "avoir le chiffre 3" est un événement
élémentaire. On note A = {3} .
L’événement "avoir un chiffre pair" est un événement
composé. On note B = {2, 4, 6} .
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Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
Exemple : Lorsqu’on jette un dé :
L’événement "avoir le chiffre 3" est un événement
élémentaire. On note A = {3} .
L’événement "avoir un chiffre pair" est un événement
composé. On note B = {2, 4, 6} .
L’événement Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} est dit événement
certain .
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Introduction
Introduction
Exemple : Lorsqu’on jette un dé :
L’événement "avoir le chiffre 3" est un événement
élémentaire. On note A = {3} .
L’événement "avoir un chiffre pair" est un événement
composé. On note B = {2, 4, 6} .
L’événement Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} est dit événement
certain .
L’événement "avoir le chiffre 9" est dit événement
impossible . On note ∅ = {9}
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Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
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Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
Réalisation d’un événement :
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Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
Réalisation d’un événement :
Quand on effectue une éxperience aléatoire, le résultat
obtenu est noté ω .
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Introduction
Introduction
Réalisation d’un événement :
Quand on effectue une éxperience aléatoire, le résultat
obtenu est noté ω .
Soit A un événement quelconque de cette experience :
Si ω ∈ A, nous disons que l’événement A est réalisé.
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Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
Réalisation d’un événement :
Quand on effectue une éxperience aléatoire, le résultat
obtenu est noté ω .
Soit A un événement quelconque de cette experience :
Si ω ∈ A, nous disons que l’événement A est réalisé.
Exemple : On jette un dé et on obtient le résultat 2.
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
Réalisation d’un événement :
Quand on effectue une éxperience aléatoire, le résultat
obtenu est noté ω .
Soit A un événement quelconque de cette experience :
Si ω ∈ A, nous disons que l’événement A est réalisé.
Exemple : On jette un dé et on obtient le résultat 2.
Lévénement A :"avoir un chiffre pair" est réalisé, car 2 ∈ A.
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Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
Réalisation d’un événement :
Quand on effectue une éxperience aléatoire, le résultat
obtenu est noté ω .
Soit A un événement quelconque de cette experience :
Si ω ∈ A, nous disons que l’événement A est réalisé.
Exemple : On jette un dé et on obtient le résultat 2.
Lévénement A :"avoir un chiffre pair" est réalisé, car 2 ∈ A.
Lévénement B :"avoir un chiffre supérieur à 3" n’est pas
réalisé, car 2 ∈
/B.
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Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
Événements incompatibles :
Nous disons que les événements A et B sont
incompatibles (ou disjoints) s’ils ne peuvent pas se
réaliser en même temps. ( c.à.d A ∩ B = ∅ )
KARA-ZAÏTRI L.
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Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
Événements incompatibles :
Nous disons que les événements A et B sont
incompatibles (ou disjoints) s’ils ne peuvent pas se
réaliser en même temps. ( c.à.d A ∩ B = ∅ )
Exemple : On jette un dé et on considère les
événements :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
Événements incompatibles :
Nous disons que les événements A et B sont
incompatibles (ou disjoints) s’ils ne peuvent pas se
réaliser en même temps. ( c.à.d A ∩ B = ∅ )
Exemple : On jette un dé et on considère les
événements :
A :"avoir un chiffre pair".
B :"avoir un chiffre impair".
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Introduction
Introduction
Événements incompatibles :
Nous disons que les événements A et B sont
incompatibles (ou disjoints) s’ils ne peuvent pas se
réaliser en même temps. ( c.à.d A ∩ B = ∅ )
Exemple : On jette un dé et on considère les
événements :
A :"avoir un chiffre pair".
B :"avoir un chiffre impair".
Les événements A et B sont incompatibles.
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Calcul de probabilités
Probabilité d’un événement
Probabilité d’un
événement
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Calcul de probabilités
Probabilité d’un événement
Probabilité d’un événement
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Calcul de probabilités
Probabilité d’un événement
Probabilité d’un événement
1
Définition :
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Calcul de probabilités
Probabilité d’un événement
Probabilité d’un événement
1
Définition :
Soit Ω un espace d’événements, et soit P(Ω) l’ensemble
des parties de Ω.
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Calcul de probabilités
Probabilité d’un événement
Probabilité d’un événement
1
Définition :
Soit Ω un espace d’événements, et soit P(Ω) l’ensemble
des parties de Ω.
Une probabilité P sur un espace d’événements Ω est une
application :
P:
P(Ω)
−→
[0; 1]
telle que :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Probabilité d’un événement
Probabilité d’un événement
1
Définition :
Soit Ω un espace d’événements, et soit P(Ω) l’ensemble
des parties de Ω.
Une probabilité P sur un espace d’événements Ω est une
application :
P:
P(Ω)
−→
[0; 1]
telle que :
1
P(Ω) = 1
et
P(∅) = 0.
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Probabilité d’un événement
Probabilité d’un événement
1
Définition :
Soit Ω un espace d’événements, et soit P(Ω) l’ensemble
des parties de Ω.
Une probabilité P sur un espace d’événements Ω est une
application :
P:
P(Ω)
−→
[0; 1]
telle que :
1
P(Ω) = 1
2
∀A, B ∈ P(Ω) tels que : A et B incompatibles :
et
P(∅) = 0.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
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Calcul de probabilités
Probabilité d’un événement
Probabilité d’un événement
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Calcul de probabilités
Probabilité d’un événement
Probabilité d’un événement
2
Propriétés :
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Probabilité d’un événement
Probabilité d’un événement
2
Propriétés :
1
Soit A un événement de Ω, et soit A son complémentaire
dans Ω. Alors :
P(A) = 1 − P(A).
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Calcul de probabilités
Probabilité d’un événement
Probabilité d’un événement
2
Propriétés :
1
2
Soit A un événement de Ω, et soit A son complémentaire
dans Ω. Alors :
P(A) = 1 − P(A).
Soient A et B deux événements de Ω, tels que A ⊂ B.
Alors :
P(A) ≤ P(B).
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Probabilité d’un événement
Probabilité d’un événement
2
Propriétés :
1
2
Soit A un événement de Ω, et soit A son complémentaire
dans Ω. Alors :
P(A) = 1 − P(A).
Soient A et B deux événements de Ω, tels que A ⊂ B.
Alors :
P(A) ≤ P(B).
3
Soient A et B deux événements quelconques de Ω. Alors :
P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B).
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Probabilité d’un événement
Probabilité d’un événement
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Calcul de probabilités
Probabilité d’un événement
Probabilité d’un événement
3
Formule de Pointcarré :
Soient A et B deux événements quelconques de Ω.
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Calcul de probabilités
Probabilité d’un événement
Probabilité d’un événement
3
Formule de Pointcarré :
Soient A et B deux événements quelconques de Ω.
Les événements A et B − A sont incompatibles.
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Probabilité d’un événement
Probabilité d’un événement
3
Formule de Pointcarré :
Soient A et B deux événements quelconques de Ω.
Les événements A et B − A sont incompatibles.
⇒ P(A ∪ B) = P(A ∪ (B − A)) = P(A) + P(B − A).
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Calcul de probabilités
Probabilité d’un événement
Probabilité d’un événement
3
Formule de Pointcarré :
Soient A et B deux événements quelconques de Ω.
Les événements A et B − A sont incompatibles.
⇒ P(A ∪ B) = P(A ∪ (B − A)) = P(A) + P(B − A).
On applique la proriété 3 :
P(A ∪B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
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Calcul de probabilités
Probabilité d’un événement
Probabilité d’un événement
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Probabilité d’un événement
Probabilité d’un événement
Remarque :
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Probabilité d’un événement
Probabilité d’un événement
Remarque :
La probabilité de l’union de 3 événements quelconques : A , B
et C est donnée par :
P(A ∪ B ∪ C) =
P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B)−
P(B ∩ C) − P(A ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
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Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
1
Définition :
Soit l’espace des événements équiprobables :
Ω = {ω1 , ω2 , · · · , ωn }.
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
1
Définition :
Soit l’espace des événements équiprobables :
Ω = {ω1 , ω2 , · · · , ωn }.
∀i ∈ {1, 2, · · · , n} : P(ωi ) =
KARA-ZAÏTRI L.
1
card(Ω)
=
1
n
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
1
Définition :
Soit l’espace des événements équiprobables :
Ω = {ω1 , ω2 , · · · , ωn }.
∀i ∈ {1, 2, · · · , n} : P(ωi ) =
Soit A ∈ P(Ω). Alors :
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1
card(Ω)
P(A) =
=
card(A)
card(Ω)
1
n
=
card(A)
n
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
1
Définition :
Soit l’espace des événements équiprobables :
Ω = {ω1 , ω2 , · · · , ωn }.
∀i ∈ {1, 2, · · · , n} : P(ωi ) =
Soit A ∈ P(Ω). Alors :
1
card(Ω)
P(A) =
=
card(A)
card(Ω)
1
n
=
card(A)
n
En terme général :
P(A) =
Nombre de cas favorables à A
Nombre de cas possibles
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
2
Probabilité conditionnelle :
La probabilité que lévénement A se réalise, sachant que
lévénement B s’est déjà réalisé est appelée "probabilité
conditionnelle" et est donnée par :
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
2
Probabilité conditionnelle :
La probabilité que lévénement A se réalise, sachant que
lévénement B s’est déjà réalisé est appelée "probabilité
conditionnelle" et est donnée par :
P(A/B) =
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P(A ∩ B)
P(B)
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
2
Probabilité conditionnelle :
La probabilité que lévénement A se réalise, sachant que
lévénement B s’est déjà réalisé est appelée "probabilité
conditionnelle" et est donnée par :
P(A/B) =
P(A ∩ B)
P(B)
Propriétés :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
2
Probabilité conditionnelle :
La probabilité que lévénement A se réalise, sachant que
lévénement B s’est déjà réalisé est appelée "probabilité
conditionnelle" et est donnée par :
P(A/B) =
P(A ∩ B)
P(B)
Propriétés :
P(A ∩ B) = P(A/B).P(B) = P(B/A).P(A) .
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
2
Probabilité conditionnelle :
La probabilité que lévénement A se réalise, sachant que
lévénement B s’est déjà réalisé est appelée "probabilité
conditionnelle" et est donnée par :
P(A/B) =
P(A ∩ B)
P(B)
Propriétés :
P(A ∩ B) = P(A/B).P(B) = P(B/A).P(A) .
P(A/B) = 1 − P(A/B) .
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
Exemple :
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
Exemple :
On choisit au hasard une famille qui a 4 enfants, et on
s’interesse au nombre de fille et de garçons qu’elle a (en
tenant compte de l’ordre des naissances des enfants).
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
Exemple :
On choisit au hasard une famille qui a 4 enfants, et on
s’interesse au nombre de fille et de garçons qu’elle a (en
tenant compte de l’ordre des naissances des enfants).
Quelle est la probabilité que cette famille ait 4 filles ?
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
Exemple :
On choisit au hasard une famille qui a 4 enfants, et on
s’interesse au nombre de fille et de garçons qu’elle a (en
tenant compte de l’ordre des naissances des enfants).
Quelle est la probabilité que cette famille ait 4 filles ?
Sachant que cette famille a des enfants des deux sexes,
quelle est la probabilité qu’elle ait au moins deux
garçons ?
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
3
Formule des probabilités totales :
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
3
Formule des probabilités totales :
Rappel :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
3
Formule des probabilités totales :
Rappel :
On appelle partition de l’espace d’événements Ω, la
donnée des événements : A1 , A2 , · · · , An tels que :
n
[
T
∀i, j ∈ {1, 2, · · · , n} : Ai Aj = ∅ et
Ai = Ω
i=1
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
3
Formule des probabilités totales :
Rappel :
On appelle partition de l’espace d’événements Ω, la
donnée des événements : A1 , A2 , · · · , An tels que :
n
[
T
∀i, j ∈ {1, 2, · · · , n} : Ai Aj = ∅ et
Ai = Ω
i=1
Formule :
Soit A1 , A2 , · · · , An une partition de Ω, et soit B un
événement quelconque de Ω. Alors :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
3
Formule des probabilités totales :
Rappel :
On appelle partition de l’espace d’événements Ω, la
donnée des événements : A1 , A2 , · · · , An tels que :
n
[
T
∀i, j ∈ {1, 2, · · · , n} : Ai Aj = ∅ et
Ai = Ω
i=1
Formule :
Soit A1 , A2 , · · · , An une partition de Ω, et soit B un
événement quelconque de Ω. Alors :
n
n
X
\
X
P(B) =
P(B Ai ) =
P(B/Ai ).P(Ai )
i=1
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i=1
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
Exemple :
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
Exemple :
Une boite contient trois urnes U1 , U2 et U3 de 10 boules
chacune.
U1 contient une boule blanche, U2 en contient 2 et U3 en
contient 6.
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
Exemple :
Une boite contient trois urnes U1 , U2 et U3 de 10 boules
chacune.
U1 contient une boule blanche, U2 en contient 2 et U3 en
contient 6.
On choisit une boule au hasard de la boite. Quelle est la
probabilité que la boule soit blanche ?
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
4
Formule de Bayes :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
4
Formule de Bayes :
Soit A1 , A2 , · · · , An une partition de Ω, et soit B un
événement quelconque de Ω. Alors :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
4
Formule de Bayes :
Soit A1 , A2 , · · · , An une partition de Ω, et soit B un
événement quelconque de Ω. Alors :
P(Ai /B) =
KARA-ZAÏTRI L.
P(Ai ).P(B/Ai )
P(B)
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
4
Formule de Bayes :
Soit A1 , A2 , · · · , An une partition de Ω, et soit B un
événement quelconque de Ω. Alors :
P(Ai /B) =
P(Ai ).P(B/Ai )
P(B)
Exemple :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
4
Formule de Bayes :
Soit A1 , A2 , · · · , An une partition de Ω, et soit B un
événement quelconque de Ω. Alors :
P(Ai /B) =
P(Ai ).P(B/Ai )
P(B)
Exemple :
Dans l’exemple précédent, quelle est la probabilité que la
boule blanche tirée soit de l’urne U2 ?
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
5
Événements indépendants :
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
5
Événements indépendants :
Soient A et B deux événements quelconques.
Nous disons que A est indépendant de B si :
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Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
5
Événements indépendants :
Soient A et B deux événements quelconques.
Nous disons que A est indépendant de B si :
P(A/B) = P(A)
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
5
Événements indépendants :
Soient A et B deux événements quelconques.
Nous disons que A est indépendant de B si :
P(A/B) = P(A)
Remarque :
KARA-ZAÏTRI L.
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Calcul de probabilités
Calcul de probabilité
Calcul de probabilité
5
Événements indépendants :
Soient A et B deux événements quelconques.
Nous disons que A est indépendant de B si :
P(A/B) = P(A)
Remarque :
A et B sont indépendants si et seulement si :
P(A
T
B) = P(A).P(B)
KARA-ZAÏTRI L.
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