cours algebre iii chapitre 1 et chapitre 2

1
R´ eduction des endomorphismes
1.1 Position du probl` eme
Les endomorphismes qui sont des applications lin´ eaires agissent sur un espace vectoriel Eet prend ses valeurs
dans le mˆ eme espace, peuvent ˆ etre compl´ etement d´ ecrit dans le cas de la dimension finie de l’espace Epar des
matrices carr´ ees, qu’on peut les d´ efinir par rapport ` a des bases de l’espace en question. En particulier si on a un
endomorphisme fd’un K- espace vectoriel de dimension finie et si Best une base de l’espace en question, on peut
montrer l’existence d’une matrice carr´ ee dont la taille vaut la dimension de l’espace sur lequel l’endomorphisme
agit et de telle sorte que
MBf. x / DMB.f/MB. x / ;
tel que MB.f/est la matrice correspondante ` afdans la base B,MB. x / respectivement MBf. x / c’est la
matrice colonne form´ ee par les composantes du vecteur xrespectivement f. x / dans cette base.
Technique 1
1. On calcule les valeurs de f. ei/pour iD1   n
2. On d´ ecompose le vecteur f. ei/dans la base fe1;   ; engpour avoir l’´ ecriture
f. ei/Da1i e1C    C ani enD
n
X
kD1
aki ek:
3. les composantes de f. ei/dans la base fe1;   ; engqui peuvent ˆ etre mise sous la forme d’un vecteur
colonne 0
B
B
B
B
B
B
@
a1i
:
:
:
aki
:
:
:
ani
1
C
C
C
C
C
C
A
;
forme la i´
eme colonne de la matrice de f, ainsi
M.f/feigD0
B
B
B
@
a11 a12    a1n
a21 a22    a2n
:
:
::
:
:::::
:
:
an1 an2    ann
1
C
C
C
A
:
Exemple 1 Soit l’application lin´ eaire de R3d´ efinie par
8X2R3Wf. X / D0
@
xC2 y Cz
xy
yCz1
A;
et soit Bla base de R3d´ efinie par
BD8
<
:
e1D0
@
1
1
01
A; e2D0 @
1
0
11
A; e3D0 @
0
1
11
A9
=
;
;
M.Houbad, Introduction ` a l’Alg` ebre Lin´ eaire
D´ epartement de Math´ ematiques
c
Universit´ e de Tlemcen, http://www.univ-tlemcen.dz, 2016
1

21 R´ eduction des endomorphismes M.Houbad
et on veut d´ eterminer la matrice associ´ ee ` afdans la base B, alors le calcule fournit
f. e1/D˛ e1Cˇ e2C e3H) 8
<
:
˛CˇD3
˛CD0
ˇCD1
alors
˛D1 ; ˇ D2 ;  D  1 ;
ce qui donne que
f. e1/De1C2 e2e3;
de la mˆ eme mani` ere on obtient que
f. e2/De1Ce2;f. e3/D3 e2e3;
et donc
MB.f/D0
@
1 1 0
2 2 3
1 0 11
A:
Maintenant si on consid` ere une autre base ˚e0
idu mˆ
eme espace, on peut d´ efinir une autre matrice associ´ ee au
mˆ eme endomorphisme par rapport ` a cette nouvelle, les deux matrices qui repr´ esentent le mˆ eme endomorphisme
dans deux bases diff´ erentes sont li´ ees entre eux par la relation
M.f/fe0
igDP1M.f/feigP ;
tel que Pest une matrice carr´ ee inverssible appel´ ee matrice de passage de la base feig` a la base ˚e0
i.
Technique 2
1. On d´ ecompose les vecteurs e0
isur les ´
elements de la base feigpour avoir l’expression
e0
iDp1i e1C    C pni enD
n
X
kD1
pki ek:
2. les composantes de e0
idans la base fe1;   ; engqui peuvent ˆ
etre mise sous la forme d’un vecteur colonne
0
B
B
B
B
B
B
@
p1i
:
:
:
pki
:
:
:
pni
1
C
C
C
C
C
C
A
;
forme la i´
eme colonne de la matrice de Painsi
PD0
B
B
B
@
p11 p12    p1n
p21 p22    p2n
:
:
::
:
:::::
:
:
pn1 pn2    pnn
1
C
C
C
A
:
Ainsi vu la possibilit´ e de tel changement, une r´ eflection naturelle se pr´ esente : comment on choisit les bases de
l’espace Ede telle sorte que l’ecriture matricielle de l’endomorphisme soit la plus simple, dans le sens ou sa
matrice contient le plus possible de z´ eros. Les matrices les plus adapt´ ees aux calcul sont les matrices diagonales
ou triangulaires sup´ erieures.
D´ efinition 1 ( Diagonalisable ) On dit qu’un endomorphisme f( respectivement une matrice carr´ ee A) est dia-
gonalisable s’il existe une base ˚e0
ide E( respectivement une matrice inversibble P) telle que M.f/fe0
ig(
respectivement P1AP) est diagonale.

Universit´ e de Tlemcen 1.2 Valeurs et vecteurs propres 3
D´ efinition 2 ( Triangularisable ) On dit qu’un endomorphisme f( respectivement une matrice carr´ ee A) est
triangularisable s’il existe une base ˚e0
ide E( respectivement une matrice inversibble P) telle que M.f/fe0
ig
( respectivement P1AP) est traingulaire sup´ erieure.
Alors le but de ce premier chapitre est
— POUR LES ENDOMORPHISMES. Il s’agit de
1. Caract´ eriser les endomorphismes diagonalisables ou triangularisables.
2. D´ eterminer l’existence des bases feigdans lesquelles la matrice M.f/feigest diagonale ou triangu-
laire sup´ erieure.
— POUR LES MATRICES. Il s’agit de
1. Caract´ eriser les matrices A2M.K/qui sont diagonalisables ou triangularisables.
2. D´ eterminer l’existence des matrices inversibles Ppour lesquelles la matrice P1APest diagonale
ou triangulaire sup´ erieure.
Remarque 1.1. Si on a deux matrices carr´ ees Aet A0v´ erifiant pour cetaine matrice inversible Pla relation
A0DP1AP ;
cela est ´ equivalent ` a dire que les deux matrices en question repr´ esentent le mˆ eme endomorphisme dans deux bases
diff´ erentes, et on dit que ces deux matrices sont somblables.
1.2 Valeurs et vecteurs propres
D´ efinition 3 ( Valeurs et vecteurs propres ) Soit fun endomorphisme d’un K- espace vectoriel E, on dit que
v2Eest un vecteur propre de fsi
v¤0 ; 92KWf. v / D v : (1.1)
Le scalaire est appel´ e valeur propre de fcorrespond au vecteur propre v.
Remarque 1.2 ( Important ).
1. Les vecteurs propres sont non nuls.
2. Les valeurs propres peuvent ˆ etre nulles.
3. Si vest un vecteur propre de fcorrespond ` a la valeur propre , alors pour tout 2Knon nul le vecteur  v
est aussi un vecteur propre de fcorrespond ` a la mˆ eme valeur propre .
Th´ eor` eme 1 ( Principale ) Soit fun endomorphisme de Eun K- espace vectoriel de dimension finie. Alors fest
diagonalisable si et seulement si il existe une base de Eform´ ee par les vecteurs propres de f.
preuve du th´ eor` eme 1.
H) On suppose que fest diagonalisable, alors par l’utilisation de la D´ efinition 1page 2on a l’existence d’une
base fe1;   ; engde Etelle que
M.f/feigD0
B
B
B
@
a11 0   0
0 a22    0
:
:
::
:
:::::
:
:
0 0    ann
1
C
C
C
A
;(1.2)
alors on note par Xiles composantes du vecteur eidans la base fe1;   ; engce qui donne

41 R´ eduction des endomorphismes M.Houbad
XiDM. ei/feigD
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
0
:
:
:
0
1
0
:
:
:
0
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
 i´
eme composante ;
ce qui permet de conclure que
Mf. ei/feigDM.f/feigM. ei/feigD0
B
B
B
@
a11 0   0
0 a22    0
:
:
::
:
:::::
:
:
0 0    ann
1
C
C
C
A
Xi
ainsi
Mf. ei/feigDai i
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
0
:
:
:
0
1
0
:
:
:
0
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
 i´
eme composante Dai i M. ei/feig;
en conclusion
8i2f1 ;    ; n gWMf. ei/feigDai i M. ei/feig;
donc
8i2f1 ;    ; n gWf. ei/Dai i ei;
alors eiest un vecteur propre qui correspond ` a la valeur propre ai i ce qui donne que la base
fe1;   ; eng
est form´ e par les vecteurs propres de l’endomorphisme f.
(H On suppose qu’il existe une base fv1;   ; vngform´ ee par les vecteurs propres de fce qui permet d’´ ecrire
8i2f1 ;    ; n g;9i2KWf. vi/Divi:
Alors il est simple de conclure le fait que
M.f/fvigD0
B
B
B
@
10   0
0 2   0
:
:
::
:
:::::
:
:
0 0    n
1
C
C
C
A
:
cette matrice n’est rien autre qu’ une matrice diagonale, en utilisant la D´ efintion 1page 2on peut conclure que
l’endomorphisme fest diagonalisable. 2
Remarque 1.3 ( Important ). Sur la diagonale principale d’une matrice diagonale associ´ ee ` a un endomorphisme
fapparaissant les valeurs propres de ce dernier.
1.3 D´ etermination des valeurs et des vecteurs propres
1.3.1 D´ etermination des valeurs propres
D´ efinition 4 ( Polynˆ ome caract´ eriqtique ) Soit fun endomorphisme d’un K- espace vectoriel Ede dimension
finie, on appelle polynˆ ome caract´ eristique de fle polynˆ ome
Pf.  / Ddet .fId /Ddet .AI/ ;
tel que Aest la matrice associ´ ee ` afdans n’importe quelle base de E

Universit´ e de Tlemcen 1.3 D´ etermination des valeurs et des vecteurs propres 5
D´ efinition 5 ( Multiplicit´ e ) Soit Pun polynˆ ome, alors si
P .  / D.  0/˛0Q.  / ; Q. 0/¤0 ;
on dit que 0est une racine de multiplict´ e˛0du polynˆ ome Pet on la note
˛0Dmulti. 0/ :
Proposition 1 Les valeurs propres de fsont exactement les racines de son polynˆ ome caract´ eristique.
preuve de la proposition 1.
H) Soit 0une valeur propre de fdonc
9v2EIv¤0Wf. v / D0vH) f0Id . v / D0 ;
ce qui affirme qu’ on a
v2Ker .f0Id / ;
or vu que v¤0cela permet de conclure que
Ker .f0Id /¤f0g;
alors l’endomorphisme f0Id n’est pas injectif donc il n’est pas bijectif donc n´ ecessairement sa matrice
associ´ ee n’est pas du rang maximal, autrement dit
det .f0Id /D0 ;
cela est exactement le polynˆ ome caract´ eristique ´ evalu´ e au point 0, donc 0est une racine du Pf.
(H Inversement soit 0une racine de Pfautrement Pf. 0/D0, vu la D´ efinition 4page 4
det .f0Id /D0 ;
alors l’endomorphisme f0Id n’est pas bijective, donc n’est pas injective ce qui permet d’´ ecrire
Ker .f0Id /¤f0gH) 9 v2E; v ¤0Wf0Id . v / D0H) f. v / D0v ;
alors vest un vecteur propre de fet 0c’est la valeur propre de fcorrespondant. 2
D´ efinition 6 ( Spectre ) Soit fun endomorphisme d’une K- espace vectoriel Ede dimension quelconque, alors
on appelle le spectre de fl’ensemble des valeurs 2Ktel que
fId ;
n’est pas injective, et il est not´ e
Sp .f/ :
Proposition 2 ( Importante ) Dans le cas de la dimension finie de l’espace, l’ensemble des valeurs propres de f
coincide avec le spectre de f.
Exemple 2 Soit l’endomorphisme fde R3d´ efinie par
f. X / D0
@
xCyCz
xyCz
xCyz1
A;
sa matrice associ´ ee dans la base canonique de R3not´ ee B2M3.R/d´ efinie par
BD0
@
1 1 1
11 1
1 1 11
A;