Force exercée sur un disque en aluminium par une

Force exercée sur un disque en aluminium par une
sphère métallique chargée électriquement
Calcul préliminaire : expression du vecteur champ électrique créé en un
point de son axe de symétrie par un disque chargé électriquement.
On considère un disque de rayon R, de centre O chargé en surface avec une densité
surfacique de charge uniforme . Il s'agit de déterminer l'expression du vecteur
champ ⃗
E créé par ce disque en un point M de l'axe (Oz) : voir figure n° 1 ci­dessous.
Tout plan contenant l'axe (Oz) est plan de symétrie pour la source du champ. Or on
sait que le vecteur ⃗
E doit appartenir à tout plan de symétrie de la source passant par
M. Pour appartenir à la fois à tous les plans contenant l'axe (Oz), le vecteur champ
doit être colinéaire à cet axe :
⃗
E=E z⋅⃗
uz
Soit un petit élément de surface du
disque centré en P, d'aire dS. Cet élé­
ment porte la charge dq = .dS. Il crée
en M un champ élémentaire de vecteur :
σ⋅dS u⃗
⃗
dE=
⋅
4 π ϵ0 PM 2
avec ⃗
u : vecteur unitaire colinéaire à
⃗
PM . Le projeté de ce vecteur sur l'axe
(Oz) est :
dE z=
σ⋅dS cos(ϕ)
⋅
.
4 π ϵ 0 PM 2
PM =
z
;
cos (ϕ)
dS=r⋅d θ⋅dr
or :
r=z⋅tan (ϕ)
et, en différenciant : dr =
z
⋅d ϕ . En reportant ces résultats dans l'expression de dEz , on obtient :
2
cos (ϕ)
z⋅d ϕ cos 2( ϕ)
σ
dE z=
⋅z⋅tan(ϕ)⋅ 2 ⋅
⋅cos (ϕ)⋅d θ= σ ⋅d θ⋅sin(ϕ)⋅d ϕ
2
4 π ϵ0
4 π ϵ0
cos (ϕ)
z
Pour obtenir Ez , il faut intégrer cette expression sur tout le disque :
2π
ϕm
E z= σ ⋅∫ d θ⋅∫ sin (ϕ)d ϕ= σ ⋅( 1−cos (ϕm ) )
4 π ϵ0 0
2 ϵ0
O
Au final :
⃗
E= σ ⋅( 1−cos (ϕm ) )⋅u⃗z
2 ϵ0
Imaginons le point M infiniment près du disque, au­dessus de celui­ci, c'est à dire à la
cote z = 0+ . Quel que soit le rayon du disque, même si celui­ci est très faible, nous
⃗ = σ ⋅⃗
u . Pour des raisons
avons nécessairement : ϕm≈ π soit : cos(ϕm )≈0 soit : E
2
2 ϵ0 z
de symétrie, si le point M est sur l'axe à la cote z= 0 ­ , le vecteur champ sera l'opposé
du précédent. Conclusion :
Pour des points M de l'axe (Oz) :
E= σ ⋅⃗
u ; si z = 0­ : ⃗
E= −σ⋅⃗
u .
si z = 0+ : ⃗
2 ϵ0 z
2 ϵ0 z
Remarque 1 : le vecteur champ n'est pas défini en z = 0 car ce point appartient au
disque chargé et le vecteur champ créé par une charge ne peut se définir au point où se
trouve la charge ; en effet, l'expression du vecteur champ créé en un point M par une
⃗
q
PM
charge ponctuelle q placée en un point P s'écrit : ⃗
; si les point P et M
E=
⋅
4 π ϵ 0 PM 3
sont confondus, l'expression du vecteur champ n'a pas de sens puisque PM = 0 !
remarque 2 : on retrouve la discontinuité classique de la composante normale d'un vec­
teur champ à la traversée d'une surface chargée : E z (O + )−E z (O- )= ϵσ
0
Action électrostatique d'une sphère métallique chargée sur un petit
disque métallique posé sur celle-ci.
On imagine une sphère métallique (S) de rayon R placée sur un support isolant et por­
tant une charge électrique Q. La charge est supposée répartie uniformément en sur­
Q
. En un point M2 à l'extérieur de
2
4 π⋅R
la sphère mais infiniment près de celle­ci, la charge Q crée un champ électrique dont le
face ; la densité surfacique de charge est : σ=
vecteur est donnée par le théorème de Coulomb (voir figure n° 2 ci­dessus) :
⃗
ES (M 2)= ϵσ ⋅⃗n .
0
On pose au sommet M de cette sphère un petit disque en aluminium de rayon r ≪R
de centre M et de très faible épaisseur (disque en rouge sur la figure 2). Puisque
r ≪R on peut considérer que le contact sphère – disque se fait sur toute la surface
inférieure du disque. Les charges électrique se répartissant toujours sur la surface
extérieure d'un conducteur, le disque acquiert sur sa face supérieure une charge :
q 1=σ⋅π⋅r 2 ;
la répartition de charge sur la sphère n'étant pas modifiée sauf au contact sphère ­
disque. La charge restante de la sphère étant q 2=Q−q 1 .
Notons (1) le disque de rayon r, de centre M et de charge q 1 ; continuons à noter (S) la
sphère de charge Q avant le contact de celle­ci avec le disque et notons (2) la sphère
lorsqu'elle est en contact avec le disque, sa charge étant alors q2 .
Il s'agit maintenant de déterminer les caractéristique de la force exercée par
(2) sur (1) : ⃗
F . Remarquons d'abord que q1 et q2 étant nécessairement de même
signe, cette force est nécessairement répulsive.
Puisque r ≪R , le champ créé par (2) au niveau du disque est quasi uniforme, il est
donc possible de poser en très bonne approximation :
⃗
F =q1⋅⃗
E 2 ( M ) où ⃗
E2 (M ) représente le vecteur champ créé par (2) au point M. Pour
obtenir ce vecteur champ, on peut utiliser le principe de superposition :
⃗
ES (M )=⃗
E 1 (M )+⃗
E 2( M ) .
Une difficulté supplémentaire apparaît : le vecteur champ créé en M par (S) n'est pas
défini pour la raison déjà expliquée. Nous allons donc appliquer ce principe de super­
position aux point M1 et M2 : deux points situés sur la même normale à la surface, de
part et d'autre de M et très près de M (voir figure 2).
En M1 : ⃗
ES ( M 1)=⃗
E 1 (M 1 )+⃗
E2 (M 1) . Le vecteur champ créé par la sphère à l'intérieur
de celle­ci est nul : ⃗
E (M )=⃗0 . Pour le vecteur champ créé par le disque de rayon r,
S
1
E2 (M 1)=−σ⋅⃗n .
nous pouvons utiliser le résultat acquis au paragraphe précédent : ⃗
2 ϵ0
Nous en déduisons :
⃗
E2 (M 1)= σ ⋅⃗n .
2 ϵ0
En M2 : ⃗
ES (M 2)=⃗
E 1 (M 2)+⃗
E2 ( M 2 ) . Le vecteur champ créé par la sphère vaut :
⃗
ES (M 2)= ϵσ ⋅⃗n . Celui créé par le disque vaut : ⃗
E2 ( M 1)= σ ⋅⃗n . 0
2ϵ
0
Nous en déduisons :
⃗
E2 (M 2)= σ ⋅⃗
n .
2 ϵ0
E2 (M 1)= σ ⋅⃗n =⃗
E2 (M 2) . Le vecteur champ créé par (2) ne subit pas Nous obtenons : ⃗
2 ϵ0
de discontinuité à la traversée de la surface. Nous pouvons donc poser :
⃗
E2 (M )= σ ⋅⃗
n .
2ϵ 0
Remarque : la cause de la discontinuité à la traversée de la sphère du vecteur champ
créé par la sphère (S) est la présence de charges sur la sphère en M. Pour la sphère (2),
il n'y a plus de charge en M, les charges étant passées sur le disque. Il est donc logique
d'obtenir une continuité du vecteur champ en M créé par (2).
L'expression de la force exercée sur le disque (1) par la sphère (2) s'écrit donc :
q 1⋅σ
⃗
F =q1⋅⃗
E 2 (M )=
⋅⃗n .
2ϵ 0
Remarque : imaginons un étudiant peu rigoureux faisant les deux approximations sui­
vantes :
­ puisque q 1≪Q , on peut considérer le vecteur champ en M créé par la charge q2 est
très peu différent de celui créé par la charge Q : ⃗
E (M )≈⃗
E (M ) (oubliant ainsi que le
2
S
vecteur champ créé en M par la sphère (S) n'est pas défini…) ;
ES ( M)≈⃗
ES (M 2)= ϵσ ⋅⃗n ;
­ puisque les points M et M2 sont extrêmement proches : ⃗
0
q ⋅σ
Cet étudiant obtient ainsi : ⃗
F =q1⋅⃗
E S (M )= 1ϵ ⋅⃗
n . Cet étudiant obtient une valeur
0
double de la valeur correcte !
Dans l'expression correcte obtenue précédemment, on peut remplacer q1 et  par leurs valeurs : σ=
2
Q
2 Q⋅r
; ;
q
=σ⋅π⋅r
=
1
4 R2
4 π⋅R2
ce qui donne :
Q2⋅r 2
⃗
F=
⋅⃗
n .
4
32 π ϵ0 R
Si l'intensité de cette force est supérieure au poids du disque, celui­ci va se soulever.