Électrostatique

TD Physique - Électrostatique - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2012
Électrostatique
I - Lignes de champ d’un champ sphérique ⋆
Rappeler le champ créé par une charge ponctuelle et tracer les lignes de champ. Calculer alors les lignes de
champs équipotentielles et les tracer.
II - Distribution volumique ⋆⋆
On considère une sphère de rayon R de distribution volumique en charge
 (
2 )
R
ρ 1 − a r
si r 6 √
0
2
R
a
ρ(r) =

0 sinon
Déterminer la charge totale contenue dans cette sphère.
III - Lignes de champ ⋆⋆
−
→
2k cos θ
k sin θ
Soit le champ E de composantes polaires Er =
et Eθ =
. Déterminer l’équation polaire des
r3
r3
lignes de champ, et les tracer. Mêmes questions pour les équipotentielles, par deux méthodes.
IV - Calcul de flux ⋆ ⋆ ⋆⋆
k
(3 cos2 θ − 1). Calculer le champ électrique associé
r3
→
puis le flux de ce champ à travers une calotte sphérique d’axe −
ez et de demi-angle au sommet α, ie définie par
r = R; θ ∈ [−α, α].
Soit le potentiel, en coordonnées sphériques, V (r, θ, φ) =
V - Champ créé par un segment chargé ⋆ ⋆ ⋆
→
On considère un segment uniformément chargé (densité λ), parallèle à un vertical −
ey et centré sur un axe
−
→
horizontal ex . Le segment a une longueur totale 2a. On considère un point A(0, Y ) avec y > a et un point B(X, 0).
Faire un dessin du système. Calculer le champ créé en Y par la distribution de charge linéïque. Même question
en B. Dans les deux cas, que vaut le champ si on a respectivement y ≫ a√et x ≫ a ? Pouvait-on s’y attendre ?
Calculer le potentiel créé en A et en B. On rappelle qu’une primitive de 1/ x2 + 1 est Argshx.
VI - Champ créé par un fil infini ⋆⋆
On considère un fil infini uniformément chargé (densité λ). Effectuer les raisonnements de symétrie et d’invariance pour simplifier le problème. Calculer alors le champ électrique en tout point de l’espace. En déduire le
potentiel.
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TD Physique - Électrostatique
VII - Plan infini ⋆
Calculer champ et potentiel créés par un plan infini chargé surfaciquement (densité σ). Y-a-t-il une discontinuité
de champ au passage de la surface ? Quelle est son expression ?
VIII - Champ créé par une sphère ⋆
On considère une sphère uniformément chargée en volume (densité ρ). Effectuer les raisonnements de symétrie
et d’invariance pour simplifier le problème. Calculer alors le champ électrique en tout point de l’espace. En déduire
le potentiel. Tracer la norme du champ en fonction de la distance au centre de la sphère.
IX - Champ créé par une surface sphèrique ⋆
On considère une sphère creuse dont la surface est uniformément chargée en surface (densité σ). Effectuer les
raisonnements de symétrie et d’invariance pour simplifier le problème. Calculer alors le champ électrique en tout
point de l’espace. En déduire le potentiel. Tracer la norme du champ en fonction de la distance au centre de la
sphère.
X - Champ créé par un disque uniformément chargé ⋆
→
On considère un disque de rayon R chargé en surface de densité σ positive, d’axe −
ex horizontal. Sans calcul,
prévoir l’allure des lignes de champ. Calculer le champ créé sur l’axe. Vérifier qu’il y a discontinuité du champ au
passage de la surface. Que vaut cette discontinuité ? Calculer le potentiel sur l’axe. Cas limite des grandes distances
devant le rayon du disque. Conclusion ? Cas limite des faibles distances devant le rayon du disque. Conclusion ?
XI - Condensateur ⋆
On considère deux plans infinis parallèles portant des charges surfaciques uniformes et opposées. Étudier le champ
dans l’espace. Comment peut-on alors définir la capacité d’un condensateur ?
XII - Modèle de noyau ⋆ ⋆ ⋆
On représente un atome par un noyau central O de rayon a et contenant Z protons de charge +e, et un cortège
électronique dont la densité volumique de charges en un point M situé à une distance r de O est ρ = Ar−n . Sachant
que l’atome est électriquement neutre, montrer que n > 3. Déterminer la constante A. Calculer E(r) et V (r). La
théorie montre que ρ(r) et V (r) sont reliés par ρ = KV 3/2 . En déduire n et V (r).
XIII - Potentiel de Yukawa ⋆ ⋆ ⋆
Soit O un point fixe. Une distribution de charges crée en un point M (r) de l’espace le potentiel, dit de Yukawa :
q
V (r) =
e −r/a
4πε0 r
Déterminer E(r). Que vaut la limite en 0 du champ ? Que peut-on en déduire ? Calculer le flux du champ à travers
la sphère de centre O et de rayon R. Que valent les limites de ce flux pour R → ∞ et R → 0 ? Conclure.
XIV - Disque chargé ⋆ ⋆ ⋆
Un disque de centre O et de rayon R porte des charges réparties avec une densité surfacique
R
σ(r) = σ0 √
2
R − r2
Calculer le potentiel au centre du disque, puis la charge totale de celui-ci.
2