Estimation de paramètres

CHAPITRE 8
Estimation de paramètres
1. Distribution des moyennes des échantillons
Dans ce chapitre, nous étudierons comment est distribué la moyenne de
tous les échantillons de taille npossibles d’une certaine population. Soit une
certaine v.a. Xdéfinie sur une population. Celle-ci peut être par exemple
•la proportion de fumeurs
•l’âge moyen de la population
Puisque sonder toute la population peut être pénible, on peut opter pour un
sondage c’est-à-dire de prendre un échantillon (une partie de la population)
afin d’estimer soit une proportion ou une moyenne dans la population. Avant
d’entrer dans les détails, revons sur certaines notations :
Définition Exemple
NTaille de la population Population du Qc = 7 000 000
Xv.a. étudiée Âge d’un québécois
µmoyenne de la population âge moyen des québécois
σXécart type de la population écart type de l’âge des québécois
nTaille d’un échantillon 100 québécois
¯xMoyenne de l’échantillon âge moyen dans l’échantillon
sÉcart type de l’échantillon écart type de l’âge moyen de l’échantillon
L’idée ici est de se servir de ¯xafin d’estimer µ. Mais, à quel point est-ce
que cette estimation est bonne et dans quelles conditions ? C’est ce que nous
tenterons de découvrir dans ce chapitre.
L’aspect le plus important afin de savoir si notre estimation est bonne
est sans doute la taille de l’échantillon n.
Exemple 8.1.Lors d’un examen sur 10, une classe de 20 personnes a
obtenue les notes suivantes :
145

146 8. Estimation de paramètres
SOLUTION
Exemple fait en classe.
Comme le montre l’exemple précédent, les ¯xisont importants.
Définition 13.Soit une population de taille N. On définit la v.a ¯ X:
la distribution des moyennes de tous les échantillons de taille n.
Théorème 8.1 (Théorème centrale limite).Soit une variable aléatoire
X.
Cas 1) Si X∼N(µ, σ), alors ¯ X∼N µ, σ2
n.
Cas 2) Si Xa une espérance µet de variance σ2,Xn’est pas normalement
distribué et n > 30, alors
•¯ X≈N µ, σ2
nsi la population est infinie ou si l’échantillon
est choisi avec remise.
•¯ X≈Nµ, σ2
n
N−n
N−1si la population est finie ou si l’échan-
tillon est choisi sans remise.

8.2. Estimation de la moyenne d’une population 147
IMPORTANT
On considère qu’une population est infinie si N > 20n.
Exemple 8.2.Le poids d’un rat de laboratoire est distribué normalement
avec une moyenne de 228.6gavec un écart type de 17.8g. On prend au hasard
16 rats. Quelle est la probabilité que la moyenne des poids des 16 rats soit
inférieure à 220g?
SOLUTION
Posons X: le poids d’un rat de laboratoire. Nous avons que X∼N228.6,17.82.
Nous avons ¯ Xla moyenne de poids de 16 rats. Alors, ¯ X∼N228.6,17.82
16 .
Nous cherchons
P(¯ X < 220) = PZ < 220 −228.6
17.8
√16
=P Z < −8.6
4.45
=P(Z < −1.93)
= 0.5−P(0 < Z < 1.93)
= 0.5−0.4732
= 0.0268
2. Estimation de la moyenne d’une population
Soit {x1, x2, x3, ..., xn}les nvaleurs d’une variable aléatoire Xd’un
échantillon choisit aléatoirement. Nous sommes intéressés à estimer la va-
leur de la moyenne de la population entière, c’est-à-dire µ. Il existe deux
façons d’estimer µ.
Définition 14 (Estimation ponctuelle).Soit {x1, x2, x3, ..., xn}les nva-
leurs d’une variable aléatoire Xd’un échantillon. L’estimation ponctuelle
de la moyenne de la population, notée ˆµ, est donnée par ˆµ= ¯x.
Ce type d’estimation est le plus simple. Par contre, plus la taille de
l’échantillon est petite, moins l’estimation sera réaliste. C’est pourquoi le
deuxième type d’estimation est plus utilisé.
Définition 15 (Estimation par intervalle de confiance).Soit {x1, x2, x3, ..., xn}
les nvaleurs d’une variable aléatoire Xd’un échantillon. L’estimation par
intervalle de confiance de la moyenne de la population est donnée par
µ∈[¯x−ME, ¯x+M E],avec une probabilité 1−α
Ici, ME est la marge d’erreur et 1−αest le niveau de confiance.

148 8. Estimation de paramètres
Regardons tout d’abord ce que signifie le niveau de confiance. Il s’agit
de la probabilité que la moyenne de la population µ(qui est inconnue) soit
dans l’intervalle de confiance IC. Mathématiquement, ceci revient à écrire
P(¯x−ME ≤µ≤¯x+ME) = 1 −α
Il ne reste plus à déterminer comment calculer la marge d’erreur ME. Il est
clair que la marge d’erreur dépend de la valeur de 1−α. Plus cette valeur
est proche de 1, plus la marge d’erreur sera grande pour s’assurer que µsoit
dans l’intervalle et vice-versa. Regardons comment calculer ME dans le cas
où X∼Nµ, σ2.
On sait la distribution des moyennes de échantillons de taille n,¯ X, est
¯
X∼Nµ, σ
√n.
On est intéressé à déterminer ME tel que
P(µ−Me ≤¯ X≤µ+ME) = 1 −α.
Pour déterminer ME, nous devons utiliser la cote Z. Ainsi,
P(µ−Me ≤¯ X≤µ+ME) = Pµ−Me −µ
σ/√n≤Z≤µ−Me −µ σ/√n
=P−ME
σ/√n≤Z≤ME σ/√n
= 2P(0 ≤Z≤Zα/2) = 1 −α,
où
Zα/2=ME
σ/√n
Ainsi, en déterminant Zα/2, on obtient que
ME =Zα/2
σ
√n.
Ainsi, la probabilité que
¯x∈[µ−Me, µ +ME]
est de 1−α. Cependant, nous sommes intéressés à déterminer un intervalle
pour µ. Le fait que ¯x∈[µ−Me, µ +ME]signifie que
¯x≥µ−ME
et
¯x≤µ+ME.
En isolant µdans les deux inéquations, on obtient que
¯x+ME ≥µet ¯x−ME ≤µ.
D’où µ∈[¯x−ME, ¯x+ME].

8.2. Estimation de la moyenne d’une population 149
Exemple 8.3.Le résultat à un test psychométrique que l’on fait subir aux
enfants d’âge préscolaire est une variable obéissant à une loi normale d’écart
type 6. On prélève un échantillon au hasard de 144 enfant et on obtient un
résultat moyen de 55. Faites une estimation par intervalle de confiance à
94%.
SOLUTION
allo le monde
Malheureusement, il est rare que nous connaissons déjà σou que la po-
pulation suive une loi normale. Le prochain théorème nous permettra de
connaître la distribution de ¯ Xet ainsi de déterminer M E selon le cas.
Théorème 8.2.Soit un échantillon de taille n.
Cas 1) Si X∼Nµ, σ2, alors ¯
X∼N µ, σ2
net ME =zα/2
σ
√n
Cas 2) Si Xest quelconque, σ2connue et n≥30, alors ¯
X≈Nµ, σ2
net
ME =zα/2
σ
√n
Cas 3) Si Xest quelconque, σ2inconnue et n≥30, alors ¯ X≈Nµ, s2
n
et ME =zα/2
s
√n
Cas 4) Si X∼Nµ, σ2, mais σ2inconnue et n < 30, alors ¯
X−µ
s/√n≈Tn−1
et ME =tn−1,α/2
s
√n